2022-2023學(xué)年河北省衡水中學(xué)高一年級上冊學(xué)期綜合素質(zhì)檢測二數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022–2023學(xué)年度高一年級上學(xué)期綜合素質(zhì)檢測二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人：方海燕第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=【答案】D【解析】【分析】分別求出各個(gè)函數(shù)的定義域和值域，比較后可得答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域和值域均為，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋粷M足要求；函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，不滿足要求；函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，不滿足要求；函數(shù)的定義域和值域均為，滿足要求；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解答的關(guān)鍵．2.已知，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?，且冪函?shù)在上單調(diào)遞增，所以b<a<c.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用；三是借助于中間變量比較大小.3.已知，則的值是A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合根式的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意知，，由于，故，則原式.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查根式的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，屬于中等題.4.區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個(gè)密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，最壞的情況需要進(jìn)行次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需時(shí)間大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意所求時(shí)間為，利用對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需時(shí)間為秒，則有；兩邊取常用對數(shù)，得；；所以.故選：D.5.設(shè)，，則下列命題正確的是（）．A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】列舉特殊數(shù)值，排除選項(xiàng).【詳解】A.時(shí)，，故A不成立；B.當(dāng)時(shí)，，故B不成立；C.當(dāng)時(shí)，，故C不成立；D.若，根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性可知，成立，故D正確.故選：D6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，是其圖象上的兩點(diǎn)，那么的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】，即，即，函數(shù)是上的增函數(shù)，故，解得.故選：A7.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足.若，則（）A. B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及，推出函數(shù)的周期為4，然后得出得出結(jié)果．【詳解】由函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，，，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為4，，，則，，，故選：C8.已知函數(shù)，，則圖象如圖的函數(shù)可能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的奇偶性和單調(diào)性即可判斷.【詳解】由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，和為非奇非偶函數(shù)，故A、B不符；當(dāng)x＞0時(shí)，單調(diào)遞增，與圖像不符，故C不符；為奇函數(shù)，當(dāng)x→＋時(shí)，∵y＝的增長速度快于y＝lnx的增長速度，故＞0且單調(diào)遞減，故圖像應(yīng)該在x軸上方且無限靠近x軸，與圖像相符.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下面說法中，錯(cuò)誤的是（）A.“中至少有一個(gè)小于零”是“”的充要條件；B.“”是“且”的充要條件；C.“”是“或”的充要條件；D.若集合是全集的子集，則命題“”與“”是等價(jià)命題.【答案】AC【解析】【分析】從充分性和必要性的角度，結(jié)合題意，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對：若，滿足中至少有一個(gè)小于零，但無法推出，故錯(cuò)誤；對：若，則只能是；若，則一定有，故“”是“且”的充要條件，則正確；對：若且，是的充分非必要條件，又因?yàn)槿簦瑒t或，是命題：若且，則的逆否命題，故其真假一致，則，是或的充分非必要條件，故錯(cuò)誤；對：因?yàn)榧鲜侨淖蛹?，故可得，故命題“”與“”是等價(jià)命題，則正確.綜上所述：A、C錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，注意細(xì)節(jié)處理即可.10.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】分析】利用給定條件結(jié)合基本不等式判斷A，C；利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷B；取特值判斷D作答.【詳解】因，，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，A不正確；因，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，B正確；因，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；因，，且，則取，即有，于是得，D不正確.故選：BC11.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個(gè)零點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)，有4個(gè)零點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】令得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)，則方程等價(jià)為，函數(shù)，開口向上，過點(diǎn)，對稱軸為對于A，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象：，此時(shí)方程有一個(gè)根，由可知，此時(shí)x只有一解，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象：，此時(shí)方程有一個(gè)根，由可知，此時(shí)x有3個(gè)解，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，圖像如A，故只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象：，此時(shí)方程有3個(gè)根，其中，，由可知，此時(shí)x有3個(gè)解，由，此時(shí)x有3個(gè)解，由，此時(shí)x有1個(gè)解，即函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題．12.定義“正對數(shù)”：，若，，則下列結(jié)論中正確的是.A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)所給的定義及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對四個(gè)命題進(jìn)行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對進(jìn)行分類討論，判斷出每個(gè)命題的真假.【詳解】對A，當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以．所以當(dāng)，時(shí)，，故A正確．對B，當(dāng)，時(shí)滿足，，而，，所以，故B錯(cuò)誤；對C，令，，則，，顯然，故C錯(cuò)誤；對D，由“正對數(shù)”的定義知，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；當(dāng)，時(shí)，有，從而，，所以；當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)?，所以，所以．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，，故D正確．故選AD．【點(diǎn)睛】本題考查新定義及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，理解定義所給的運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，注意本題容易因?yàn)槔斫獠磺宥x及忘記分類論論的方法使解題無法入手致錯(cuò).第II卷（共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分；）13.計(jì)算____________【答案】5【解析】【分析】由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及對數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：原式，故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算及對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.14.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是_______________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，綜上，使得成立的的取值范圍是．故答案為．考點(diǎn)：分段函數(shù)不等式及其解法.【方法點(diǎn)晴】本題考查不等式的解法，在分段函數(shù)中結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式與冪函數(shù)不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．利用分段函數(shù)，結(jié)合分為兩段當(dāng)時(shí)，根據(jù)單調(diào)性，解指數(shù)函數(shù)不等式，取交集；當(dāng)時(shí)，解冪函數(shù)不等式，取交集，綜合取上述兩者的并集，即可求出使得成立的的取值范圍．15.已知函數(shù)定義域?yàn)椋覍τ谌我?，都有，且，則不等式的解集為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】任意，不妨設(shè)，由，構(gòu)造新函數(shù)，由，所以函數(shù)增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，由，所以不等式的解集為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式形式構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)而判斷新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.16.對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)有意義可得：，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，則，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)的值，最后取交集即可求解.【詳解】由題意可知：且成立，則，因?yàn)閷θ我獾?，不等式恒成立，也即在上恒成立，記，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則，所以，解得：；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，即在恒成立，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以時(shí)，，解得：，因?yàn)閷θ我獾?，不等式恒成立，則綜上可知：實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.四?解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.為了預(yù)防新型冠狀病毒，唐徠回民中學(xué)對教室進(jìn)行藥熏消毒，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：毫克）隨時(shí)間x（單位：h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放過程中，y與x成正比，藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與x的之間的函數(shù)關(guān)系；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低至0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．【答案】（1）（2）0.6【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，分段討論即可得出結(jié)論；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【小問1詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，且，解得又由，解得，所以；【小問2詳解】解：令，即，得，解得，即至少需要經(jīng)過后，學(xué)生才能回到教室．18.已知函數(shù)，其中為常數(shù)且滿足．（1）求的值；（2）證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，并判斷在上的單調(diào)性；（3）若對任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）詳見解析（3）【解析】分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解（2）由單調(diào)性的定義證明（3）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題【詳解】（1）由解得（2）由（1）得任取，則若，則故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)同理若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增（3）由題意由（2）知故的取值范圍是19.已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)的定義可求得實(shí)數(shù)的值；（2）利用函數(shù)與方程的思想，把函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化成方程有解的問題，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù)，得，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以滿足，即，所以，即對于一切恒成立，所以，故；【小問2詳解】由得若函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，即，所以，即方程在上有解，由指數(shù)函數(shù)值域可知，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)，且.（1）若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，函數(shù).若的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）4

（2）2

【解析】【分析】（1）先求出，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a；（2）將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)條件即可算出a.【小問1詳解】由題意，將代入得：；【小問2詳解】，其中，令，則有，是關(guān)于t的開口向上，對稱軸為的拋物線，，并且，在上的最大值為，又；21.已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）一個(gè)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到在上單調(diào)遞減，再利用零點(diǎn)存在性定理和，，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）將時(shí)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)單調(diào)性求最小值得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值解不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以在上存在零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn).【小問2詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，即令，則，因?yàn)椋?，所以，則在上單調(diào)遞減，，令，因?yàn)?，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，綜上可得的取值范圍為.22.設(shè)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),恒不為0,若存在不等于1的正常數(shù),對于任意實(shí)數(shù),等式恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).（1）若函數(shù)為函數(shù),求出的值；（2）設(shè),其中為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù).①比較與大??；②判斷函數(shù)是否為函數(shù),若是,請證明；若不是,試說明理由.【答案】（1）或；（2）①②是函數(shù)，證明見解析.【解