有限字長效應

第7章有限字長效應概述定點制表示及量化誤差濾波器系數(shù)量化誤差數(shù)字濾波器的定點運算誤差§7.1概述：問題的提出(1)輸入信號經(jīng)A/D變換而產(chǎn)生的量化誤差(2)濾波器的系數(shù)量化誤差。(3)運算誤差。數(shù)字系統(tǒng)，存儲單元的容量有限。有限字長的影響，主要表現(xiàn)在以下三方面即A/D變換器將模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平時產(chǎn)生的量化誤差。即把系統(tǒng)系數(shù)用有限二進制數(shù)表示時產(chǎn)生的量化誤差。數(shù)字運算運程中，為限制位數(shù)而進行尾數(shù)處理，以及為防止溢出而壓縮信號電平的有效字長效應§7.1概述字長的定義用來表示數(shù)的寄存器位數(shù)字長有限:

8,16,32,64有限字長效應定義：量化和運算誤差給數(shù)字信號處理的實現(xiàn)精度和濾波器穩(wěn)定性帶來不良影響重點解決：有限字長效應造成的誤差影響有多大？兩種分析方法各種誤差源的最不利組合－－造成y(n)的最大誤差各種誤差的統(tǒng)計特征－－輸出誤差的統(tǒng)計特征§7.1概述—研究目的1.若字長（通用計算機）固定，進行誤差分析，可知結果的可信度，若置信度差，要采取改進措施。2.用專用DSP芯片實現(xiàn)數(shù)字信號處理時，定點與硬件采用字長有關：(1)一般采用定點實現(xiàn)，涉及硬件采用的字長。(2)精度確定字長。因此，必須知道為達到設計要求所需精度下必須選用的最小字長。(3)由最小字長選用專用DSP芯片類型由于選用不同DSP芯片，價格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等價格差異很大§7.2定點制表示及量化誤差二進制數(shù)的表示量化及量化誤差§7.2定點制表示及量化誤差二進制的表示1、定點制：小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變?nèi)纾?.375（0.011）21個符號位；b位尾數(shù)位b＋1位寄存器－1～＋1之間絕對值小于1二進制的表示1、定點制：小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變2、浮點制：將一個數(shù)表示成尾數(shù)和指數(shù)兩部分如：3＝0.75×22表示成0.11×20100.11010寄存器中尾數(shù)：bm＋1位決定運算精度階碼：bc＋1位決定動態(tài)范圍通常為1，當不為1時調(diào)整階碼，使其為1§7.2定點制表示及量化誤差定點制二進制數(shù)的表示定點二進制數(shù)x有原碼、反碼和補碼三種表示形式若x=0.X1X2Xb，則其原碼、反碼和補碼分別定義為§7.2定點制表示及量化誤差例子：（1）原碼從x10=0.75和x10=-0.75看看原碼、補碼、反碼的表示方法。解:（1）原碼為x10=0.75=>(x2)原=0.110原碼x10=-0.75=>(x2)原=1.110原碼通用公式：其中B0:符號位，B0=1代表負數(shù)；Bi：i=1,b,其中b代表字長位數(shù)，B1~Bb代表b位字長的尾數(shù)0.11001.11000.2-1……...2-b1.2-1……...2-b正數(shù)：負數(shù)：（2）補碼和反碼x10=0.75=>(x2)補=0.110=原碼x10=-0.75=>(x2)補=1.010=反碼+1x10=0.75=>(x2)反=0.110=原碼x10=-0.75=>(x2)反=1.001=除符號位外原碼各位取反§7.2定點制表示及量化誤差2、定點表示產(chǎn)生誤差（1）加法：任何加法運算不會增加字長，但可能產(chǎn)生溢出

xB10.110-->0110+xB20.011-->0011

xB1+xB2=9/81.001,其真值為-7/8，（2）乘法：不會溢出，但字長加倍溢出，使其變?yōu)樨摂?shù)例：b=3=>0.101×0.0111011010.001111

成為六位數(shù)，截尾變成0.001。產(chǎn)生誤差。理論上十進制數(shù)可用無窮多位二進制數(shù)表示符號位有效數(shù)字位實際中，只能用有限位近似表示(b+1)位，這種過程稱為量化。§7.2定點制表示及量化誤差尾數(shù)處理方法截尾尾數(shù)處理方法舍入截尾誤差b+1位以后都丟掉舍入誤差b+2位為1，b+1位為1b＋2位為0b+2位以后都丟掉§7.2定點制表示及量化誤差截尾量化舍入量化截掉b位后數(shù)據(jù)視b+1位后數(shù)據(jù)的大小決定b位數(shù)據(jù)的值§7.2定點制表示及量化誤差截尾誤差（1）對于正數(shù)的截尾量化誤差（2）對于負數(shù)的截尾量化誤差§7.2定點制表示及量化誤差（1）對于正數(shù)的截尾量化誤差一個信號x(n)：由于有限字長：看出:b1>b所以，原碼和補碼的截尾誤差為：發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0情況。0.2-1……………..2-b00…………...0b1-bb最小誤差0.2-1……………..2-b11……………1最大誤差（2）對于負數(shù)的截尾量化誤差截尾量化誤差與負數(shù)表示方式有關。負數(shù)原碼表示，其截尾量化誤差：發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0情況。1.2-1……………..2-b00…………...0b1-bb最小誤差1.2-1……………..2-b11……………1最大誤差負數(shù)補碼表示，其截尾量化誤差：同樣，負數(shù)截尾量化誤差，最大誤差=±q,最小誤差=0.2、舍入誤差0.10101010

……………0bb1舍去：0.1010-->信號比原來小;舍入：0.1011-->信號比原來大;所以，最大誤差為q/2,最小誤差為-q/2舍入量化誤差范圍為|en|<q/2對于正數(shù)和負數(shù)補碼、負數(shù)的原碼與負數(shù)反碼的舍入誤差都為：截尾誤差舍入誤差范圍正數(shù)和補碼負數(shù)截尾誤差范圍為原碼負數(shù)和反碼負數(shù)截尾誤差范圍為區(qū)別：舍入誤差對稱分布，截尾誤差單極性分布。一般來講截尾誤差>舍入誤差§7.2定點制表示及量化誤差

上面我們分析了量化誤差的范圍，但要精確地知道誤差究竟是多大，幾乎是不可能的。視信號具體情況而定。所以我們只要知道量化誤差的平均效應即可。它可以作為設計的依據(jù)。例如：A/D變換器量化誤差--決定A/D所需字長。量化誤差的統(tǒng)計方法§7.2定點制表示及量化誤差為了進行統(tǒng)計分析，對e(n)的統(tǒng)計特性作以下假設：(1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列

即它的統(tǒng)計特性不隨時間變化。即,均與n無關。(2)e(n)與取樣序列x(n)是不相關的。即E[e(n)*x(n)]=0(互相關函數(shù)=0）e(n)與輸入信號是統(tǒng)計獨立的。(3)e(n)序列本身的任意兩個值之間不相關。即e(n)本身是白噪聲序列E[e(n)*e(n)]=0(自相關函數(shù)=0）(4)e(n)在誤差范圍內(nèi)均勻分布（等概率分布的隨機變量）即P(e)（概率密度）下的面積=1量化誤差信號e(n)四個假設§7.2定點制表示及量化誤差截尾誤差：正數(shù)與負數(shù)補碼截尾誤差：截尾誤差：負數(shù)原碼與負數(shù)反碼截尾誤差：舍入誤差：P（e)e2-b2b0P（e)e-2-b2b0P（e)e-2-b/22b2-b/20截尾誤差與舍入誤差的概率密度§7.2定點制表示及量化誤差量化誤差的定義根據(jù)以上假設可知：量化誤差是：一個與信號序列完全不相關的白噪聲序列，即稱量化噪聲。它與信號的關系是相加性的。§7.2定點制表示及量化誤差量化噪聲的統(tǒng)計模型理想A/D采樣器xa(t)x(n)=xa(nT)e(n)§7.2定點制表示及量化誤差量化誤差信號e(n)的均值me和方差§7.2定點制表示及量化誤差(1)對于舍入誤差P（e)e2b0-2-b/22-b/2(2)對于正數(shù)及負數(shù)補碼截尾誤差P（e)e2b0-2-b(3)對于負數(shù)原碼及反碼的截尾誤差P（e)e2-b2b0（5）信噪比對于舍入處理：看出：（1）信號功率越大，信噪比越高（但受A/D變換器動態(tài)范圍的限制。（2）隨著字長b增加，信噪比增大，字長每增加1位，則信噪比增加約6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.79+6.02b例子

在Modem中，語音和音樂可視為一隨機過程，因此可用概率分布來表示這些信號。它們幅值在零附近，概率分布有一峰值，且隨幅度加大分布曲線急劇下降。當抽樣信號幅度>信號均方根值的3~4倍時，P(e)->0,則如對信號進行壓縮為Ax(n),并令,則一般不會出現(xiàn)限幅失真。若需要信噪比>70dB,至少需要多少位modem.P(e)e量化噪聲通過線性系統(tǒng)h(n)或H(z)求：量化噪聲通過線性系統(tǒng)后：1.系統(tǒng)輸出2輸出噪聲3輸出噪聲均值4輸出噪聲方差§7.2定點制表示及量化誤差（1）舍入噪聲通過線性系統(tǒng)分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無限精度的線性系統(tǒng)。（2）e(n)舍入噪聲，均值=0（3）線性相加（加性噪聲）->到輸出端輸出噪聲方差求解（2）截尾噪聲通過線性系統(tǒng)分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無限精度的線性系統(tǒng)。（2）e(n)截尾噪聲，（3）線性相加（加性噪聲）->到輸出端因字長有限，濾波器系數(shù)ak、bk量化后將產(chǎn)生誤差1.系統(tǒng)的實際頻響與所要求的頻響出現(xiàn)偏差。2.系統(tǒng)函數(shù)零極點的實際位置也與設計位置不同。嚴重時，使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。設系統(tǒng)只有單極點，理想DF的系統(tǒng)函數(shù)可表示為§7.3濾波器系數(shù)量化誤差例子設H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求維持系統(tǒng)穩(wěn)定性系數(shù)需要最小字長.(設濾波器作舍入處理）解：求系統(tǒng)穩(wěn)定性是求分母=0，求出極點，且極點<1.若量化設此時極點都在單位園上，則z=1代入：則量化誤差：IIR系數(shù)量化效應{ak}量化后的值保持穩(wěn)定性的IIRDF系數(shù)的最小字長量化后極點位置為了保持穩(wěn)定，設極點在單位圓內(nèi)接近z=1§7.3濾波器系數(shù)量化誤差系統(tǒng)對系數(shù)量化的靈敏度量化后極點第r個極點對第k個系數(shù)變化的敏感度位置誤差pr/ak越大，ak對pr的影響越大，反之亦然。將系數(shù)量化誤差所造成的零、極點位置誤差作為對系數(shù)量化靈敏度的度量?！?.3濾波器系數(shù)量化誤差系統(tǒng)對系數(shù)量化的靈敏度§7.3濾波器系數(shù)量化誤差

對級聯(lián)或并聯(lián)型，每個子系統(tǒng)最多只有兩個共軛極點，故對系數(shù)量化影響較小。極點彼此之間距離越遠，極點位置靈敏度就越低極點彼此越密集，極點位置靈敏度就越高FIR系數(shù)量化效應系數(shù)量化只影響零點，不涉及穩(wěn)定性問題，但會影響頻率特性。若要求頻響誤差為E(ej)，則所需字長為實際中，需要在估計字長的基礎上加上3~4位§7.3濾波器系數(shù)量化誤差IIRDF的極限環(huán)振蕩IIRDF乘積量化誤差的統(tǒng)計分析FIRDF中乘積量化的影響溢出問題§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差IIRDF的極限環(huán)振蕩設：y[-1]=7/8=0.111x[k]=0

b=3,a=1/2=0.100

由于字長有限，IIRDF零輸入下也有固定不變的輸出，或輸出在一定范圍內(nèi)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。乘法運算采用舍入量化處理，相應的差分方程為分析：§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差極限環(huán)震蕩無限精度輸出IIRDF的極限環(huán)振蕩§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差產(chǎn)生原因:量化使下式成立即系統(tǒng)的差分方程變?yōu)闃O點從原來的單位圓內(nèi)遷移到單位圓上，從而產(chǎn)生等幅序列形式的極限環(huán)震蕩。IIRDF的極限環(huán)振蕩§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差消除方法:1.適當?shù)卦黾幼珠L死區(qū)2.在濾波器的輸入端加入高頻脈沖，使輸出跳出死區(qū)，回到零。在一定時，增加字長b，死區(qū)也減小。IIRDF的極限環(huán)振蕩§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差IIRDF乘積量化誤差的統(tǒng)計分析乘積的舍入用噪聲源e[k]表示，對其做如下假設：1)各噪聲源均為白噪聲序列；2)各噪聲源統(tǒng)計獨立，互不相關；3)在量化噪聲范圍內(nèi)，各噪聲源都視為等概率密度分布?！?.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差直接I型結構乘積量化誤差分析直接I型結構乘積量化誤差單個噪聲源模型單個噪聲源方差§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差直接I型結構乘積量化誤差聯(lián)合噪聲源模型聯(lián)合噪聲方差§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差e[k]通過系統(tǒng)的平均噪聲功率e[k]所通過系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)He(z)=1/A(z)§7.4數(shù)字濾波器的定點運算誤差例子一個二階IIRDF低通，采用定點算法尾數(shù)舍入處理，分別計算：直接型，級聯(lián)型，并聯(lián)型三種結構的舍入誤差。其系統(tǒng)