數(shù)學(xué)必修ⅲ人教新課標(biāo)同步知識點學(xué)練考-隨機事件的概率

隨機事件的概率2【教法探析】【學(xué)法導(dǎo)引】

【模擬練習(xí)】【真題再現(xiàn)】31.必然事件：在條件S下，

，叫做相對于條件S的必然事件.2.不可能事件：在條件S下，

，叫做相對于條件S的不可能事件.3.確定事件：

統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件.4.隨機事件：在條件S下

的事件，叫做相對于條件S的隨機事件.

一定會發(fā)生的事件一定不會發(fā)生的事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生必然事件與不可能事件45.頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下

，

，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件中A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例

為事件A出現(xiàn)的頻率.對于給定的隨機事件A，由于隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率

fn（A）

上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為

.重復(fù)n次試驗觀察某一事件A是否出現(xiàn)穩(wěn)定在某個常數(shù)事件A的概率56.一般地,對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱

（或稱

）,

記作

（或

）.7.一般地,若

,且

,那么稱事件A與事件B相等,記作A=B.8.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的

（或

），記作

（或

）.事件B包含事件A事件A包含于事件B和事件并事件A∪BA+B69.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱事件為事件A與事件B的

（或

）,記作

（或

）.10.若A∩B為不可能事件（A∩B=）,那么稱事件A與事件

B

.11.若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A

與事件B互為

.12.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則

.積事件交事件互斥對立事件A∩BABP（A∪B）=P（A）+P（B）7

1.概率是研究隨機現(xiàn)象的，是從隨機現(xiàn)象中研究其規(guī)律的，它為應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題提供了新的思想方法.學(xué)習(xí)時要從日常生活中的實例出發(fā)，動手實驗，正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及規(guī)律性.（1）要結(jié)合實際例子搞清楚一些基本概念，如必然事件、不可能事件、隨機事件、隨機事件發(fā)生的概率等.（2）建立事件與集合的聯(lián)系，便于利用集合表示的直觀性來研究事件，且便于弄清各種事件間的關(guān)系，從而可將概率知識的學(xué)習(xí)深入一步.8（3）隨機試驗（一次試驗）是隨機現(xiàn)象；對“試驗”一詞要作廣義的理解.例如，擲一次骰子、打一次靶、作一次天氣預(yù)報、參加一次考試、做一次化學(xué)實驗等，都是一次試驗.

2.概率意義下的“可能性”與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計”是不同的,也就是說:單獨一次結(jié)果的不肯定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性,才是概率意義下的“可能性”.

3.概率的統(tǒng)計定義,實際也是求一個事件的概率的基本方法.9

4.從集合的角度看,幾個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交.事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.由于集合是可以進(jìn)行運算的,故可用集合表示的事件也能進(jìn)行某些運算.設(shè)A,B是兩個事件,那么在同一試驗中,A或B中至少有一個發(fā)生就表示A∪B發(fā)生.我們稱事件A∪B為事件A,B的并.它可以推廣如下:在同一試驗中,A1,A2，…，An中至少有一個發(fā)生即表示A1∪A2∪…∪An發(fā)生,10事實上,也只有其中的某一個會發(fā)生.

5.概率加法公式都必須在各個事件彼此互斥的前提下使用,因此使用公式前先要判斷事件是否互斥.

6.在求稍微復(fù)雜的概率時,通常有兩種方法:一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是直接求P（A）有困難時,轉(zhuǎn)化為求P（）.11學(xué)點一必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象

【分析】必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象的概念是解題的關(guān)鍵.判斷以下現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象還是必然現(xiàn)象：現(xiàn)象1：在平面內(nèi),n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°;現(xiàn)象2：某人明天起床的時間（準(zhǔn)確的）；現(xiàn)象3：12∶10在學(xué)生餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)；現(xiàn)象4：在一定溫度和穩(wěn)定電壓U下（直流電），導(dǎo)體內(nèi)的電流強度（R為導(dǎo)體的電阻）.12

【評析】隨機現(xiàn)象要滿足以下三個條件：（1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）所有可能的結(jié)果是預(yù)先知道的，且不止一個；（3）每做一次試驗總會出現(xiàn)可能結(jié)果中的一個，但在試驗之前，不能肯定會出現(xiàn)哪個結(jié)果.

【解析】判斷一個現(xiàn)象是否為隨機現(xiàn)象，關(guān)鍵看這一現(xiàn)象發(fā)生的可能性，若一定發(fā)生或一定不發(fā)生，則它就不是隨機現(xiàn)象，否則為隨機現(xiàn)象.現(xiàn)象2、現(xiàn)象3為隨機現(xiàn)象，現(xiàn)象1、現(xiàn)象4為必然現(xiàn)象.13學(xué)點二必然事件、不可能事件、隨機事件的判斷指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件.（1）某體操運動員參加下周舉行的運動會，事件“他獲得全能冠軍”;（2）同時擲兩顆骰子，事件“點數(shù)之和不超過12”;（3）某人購買福利彩票，事件“他中獎”;（4）a,b∈R，比較a+b+2與a+b+1的大小，事件“a+b+2<

a+b+1”.

【分析】考查隨機事件的概念.14

【解析】（1）中事件“他獲得全能冠軍”有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生，故其為隨機事件.（2）中事件“點數(shù)之和不超過12”是必然要發(fā)生的，故其為必然事件.（3）中事件“他中獎”有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故該事件為隨機事件.（4）中事件“a+b+2<a+b+1”是不可能發(fā)生的，故該事件為不可能事件.

【評析】準(zhǔn)確掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的概率是解題的關(guān)鍵.15學(xué)點三對概率概念的理解試解釋下列情況中概率的意義:（1）某商場為促進(jìn)銷售,實行有獎銷售活動,凡購買其商品的顧客中獎的概率為0.20;（2）一生產(chǎn)廠家稱:我們廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0.98.

【分析】概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小.

【解析】（1）指購買其商品的顧客中獎的可能性是20%.（2）是說其廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.

【評析】概率的本質(zhì)屬性是:從數(shù)量上反映出一個事件發(fā)生的可能性的大小,它的范圍是［0,1］,即任何一個事件A的概率都滿足0≤P（A）≤1.16一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下:

【分析】考查頻率與概率.（1）填寫上表中的男嬰出生頻率（如果用計算器計算，結(jié)果保留到小數(shù)點后第3位）；（2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)555496071352017190男嬰數(shù)2883497069948892男嬰出生頻率學(xué)點四通過大量重復(fù)試驗求概率17

【解析】（1）由公式可算出上表中的男嬰出生的頻率依次為（2）由（1）知，某年起幾年之內(nèi)新生嬰兒中男嬰出生的頻率雖然不盡相同，但頻率總是在0.517附近擺動，可知該地區(qū)新生嬰兒中男嬰出生的概率約為0.517.

【評析】一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率

總是趨近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率.18學(xué)點五判斷事件之間的關(guān)系

【分析】本題考查互斥事件與對立事件的概念.

某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參加演講比賽,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.

（1）恰有1名男生與恰有2名男生;

（2）至少有1名男生與全是男生;

（3）至少有1名男生與全是女生;

（4）至少有1名男生與至少有1名女生.19

【解析】

（1）因為“恰有1名男生”與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生,所以它們是互斥事件;當(dāng)恰有兩名女生時它們都不發(fā)生,所以它們不是對立事件.（2）因為恰有兩名男生時“至少有1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.（3）因為“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生,所以它們互斥;由于它們必有一個發(fā)生,所以它們對立.（4）由于選出的是一名男生一名女生時“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發(fā)生,所以它們不是互斥事件.20

【評析】互斥事件是概率知識中的重要概念,必須正確理解.（1）互斥事件是對兩個事件而言的.若有A,B兩個事件,當(dāng)事件A發(fā)生時,事件B就不發(fā)生;當(dāng)事件B發(fā)生時,事件A就不發(fā)生（即事件A,B不可能同時發(fā)生）,我們就把這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件,否則就不是互斥事件.（2）對互斥事件的理解,也可以從集合的角度去加以認(rèn)識.如果A,B是兩個互斥事件,反映在集合上,是表示A,B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合彼此互不相交.如果事件A1,A2,A3,…,An中的任何兩個都是互斥事件,即稱事件A1,A2,…,An彼此互斥,反映在集合上,表現(xiàn)為由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交.21（1）至多2人排隊等候的概率是多少？（2）至少3人排隊等候的概率是多少？

經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:

【分析】本題考查互斥事件求概率.

【解析】記事件在窗口等候的人數(shù)為0,1,2,3,4,5人及5人以上分別為A,B,C,D,E,F.（1）至多2人排隊等候的概率是P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.排隊人員012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04學(xué)點六利用概率加法公式和求概率22（2）方法一:至少3人排隊等候的概率是P（D∪E∪F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:因為至少3人排隊等候與至多2人排隊等候是對立事件,故由對立事件的概率公式,至少3人排隊等候的概率是P（D∪E∪F）=1-P（A∪B∪C）=1-0.56=0.44.∴至多2人排隊等候的概率是0.56,至少3人排隊等候的概率是0.44.23學(xué)點七將較復(fù)雜的事件分解成互斥事件試解釋下列情況中概率的意義:同時拋擲兩枚骰子,求至少有一個5點或6點的概率.

【分析】視其為等可能事件,進(jìn)而求概率.

【解析1】同時拋擲兩枚骰子,可能結(jié)果如下表:1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）24

【分析2】利用對立事件求概率.共有36個不同的結(jié)果，其中至少有一個5點或6點的結(jié)果有20個，所以至少有一個5點或6點的概率P（A）=

【解析2】至少有一個5點或6點的對立事件是沒有5點或6點，如上表，沒有5點或6點的結(jié)果共有16個，則沒有5點或6點的概率為.至少有一個5點或6點的概率為.25

【評析】（1）本題常出現(xiàn)的錯誤有兩類：一類是不符合題意，認(rèn)為含5的有6個，含6的有6個，∴至少有一個5點或6點的共有12個，從而所求概率為；另一類是沒有搞清楚A,B是否為互斥事件，直接利用公式P（A∪B）=P（A）+P（B）=

.（2）解題時，將所有基本事件全部列出來是避免重復(fù)和遺漏的有效方法；對于用直接法難于解決的問題，可求其對立事件的概率，進(jìn)而求得其概率.261.某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下:投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712

進(jìn)球頻率（1）計算表中進(jìn)球的頻率；（2）這位運動員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少？解：（1）由公式可計算出每場比賽該運動員罰球進(jìn)球的頻率依次為（2）由（1）知,每場比賽進(jìn)球的頻率雖然不同,但頻率總是在附近擺動,可知該運動員進(jìn)球的概率為.272.某廠產(chǎn)品的次品率為2%,問“從該廠產(chǎn)品中任意地抽取100件,其中一定有2件次品”這一說法對不對?為什么?解：這種說法不對.因為產(chǎn)品的次品率為2%,是指產(chǎn)品為次品的可能性為2%,所以從該廠產(chǎn)品中任意地抽取100件,其中可能有2件次品,而不是一定有2件次品.283.某城市有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件