微分中值定理課件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十九講微分中值定理腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)習(xí)要求：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微分。了解n

階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。第五節(jié)微分中值定理第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分一.費(fèi)馬定理二.羅爾中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理費(fèi)馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)等于時(shí),函數(shù)的極限值.在點(diǎn)x處的差商導(dǎo)數(shù)與差商我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍”性質(zhì),推出其整體的或“大范圍”性質(zhì).為此,我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式,

這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”.

這些中值定理的創(chuàng)建要?dú)w功于費(fèi)馬、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家.首先,從直觀上來看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.導(dǎo)數(shù)與差商相等！將割線作平行移動(dòng),那么它至少有一次會(huì)達(dá)到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點(diǎn)P處成為切線,即在點(diǎn)P處與曲線的切線重合.也就是說,至少存在一點(diǎn)使得該命題就是微分中值定理.極值的定義一.費(fèi)馬定理可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零.定理費(fèi)馬定理的幾何解釋如何證明？則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？但是……不保證在內(nèi)部！水平的可保證在內(nèi)部一點(diǎn)取到極值二.羅爾中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理實(shí)際上,切線與弦線AB平行.最小值至少各一次.證最小值至少各一次.由費(fèi)馬定理可知：例1證其中,綜上所述,連續(xù)可微端點(diǎn)函數(shù)值相等例2分析例2證由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)分析問題的條件,作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵.且滿足羅爾定理其它條件,例3證想想,看能不能找到證明的方法.例4分析例4證則由已知條件可知:該矛盾說明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,能否再一次使用羅爾定理?如果需要,當(dāng)然可以使用.例5證例6證引理1達(dá)布中值定理達(dá)布中值定理費(fèi)馬定理的一種推廣證明引理1證明達(dá)布中值定理請(qǐng)自己完成!如何描述這一現(xiàn)象三.拉格朗日中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)定理切線與弦線AB平行如何利用羅爾定理來證明？則由已知條件可得：故由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)證定理的證明方法很多,例如,可作輔助函數(shù)拉格朗日有限增量公式某一時(shí)刻達(dá)到它的平均速度.拉格朗日中值定理告訴我們,在t=a到t=b的時(shí)間段內(nèi),連續(xù)運(yùn)動(dòng)的物體至少會(huì)在還有什么？推論1推論2(C

為常數(shù))推論3用來證明一些重要的不等式推論4用來判斷函數(shù)的單調(diào)性在推論4中,推論5則再由推論4,即得命題成立.該推論可以用來證明不等式.證解例7故從而例8證例9證例10證延拓!例11證從而例12解例13解又故從而即例14證則又且故即例15證在拉格朗日中值定理中,將曲線用參數(shù)方程表示,會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行,即它們的斜率相等.注意:并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定.四.柯西中值定理設(shè)則至少存在一點(diǎn)有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理,