任意角與弧度制

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角第一章三角函數(shù)

高中新課程數(shù)學(xué)必修④1知識(shí)探究（一）：角的概念的推廣

思考1：對(duì)于角的圖形特點(diǎn)有如下兩種認(rèn)識(shí)：①角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形（如圖1）；②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形（如圖2）.

圖2圖12思考2：如圖，一條射線的端點(diǎn)是O，它從起始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個(gè)角α，其中點(diǎn)O，射線OA、OB分別叫什么名稱？AOBα始邊終邊頂點(diǎn)3思考3：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個(gè)角嗎？

規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.4⑶角的概念經(jīng)過(guò)推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．⑴在不引起混淆的情況下，“角

”或“∠

”可以簡(jiǎn)化成“

”；⑵如果是零角=0°,零角的終邊與始邊重合

；注意5畫圖表示一個(gè)大小一定的角，先畫一條射線作為角的始邊，再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.βB2γAB1αO思考4：度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過(guò)上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到了任意大小.對(duì)于α＝210°，＝－150°，＝－660°，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？

6思考5：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

－120°，450°.129637思考7：一個(gè)角的始邊與終邊可以重合嗎？如果可以，這樣的角的大小有什么特點(diǎn)？

k·360°（k∈Z）

思考6：任意兩個(gè)角的數(shù)量大小可以相加、相減，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解釋一下這兩個(gè)式子的幾何意義嗎？

以50°角的終邊為始邊，逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)80°所成的角.

8知識(shí)探究（二）：象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy9思考2：如果角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo10思考3：銳角與第一象限的角是什么邏輯關(guān)系？鈍角與第二象限的角是什么邏輯關(guān)系？直角與軸線角是什么邏輯關(guān)系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.11思考5：在直角坐標(biāo)系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo12練習(xí)1、下列命題正確的是（）A、終邊相同的角一定相等B、第一象限角都是銳角C、銳角都是第一象限角D、小于90°的角都是銳角2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，則A∩B=（）A、｛銳角｝B、｛小于90°的角｝C、｛第一象限角｝D、以上都不對(duì)133、已知角α是第三象限角，則角-α的終邊在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限4、若是第二象限的角，則1800-是（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限

145、已知角α的終邊在下圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么α∈

30°xy15知識(shí)探究（三）：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°16思考2：與－32°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？

思考3：所有與－32°角終邊相同的角，連同－32°角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.思考4：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以怎樣表示？

17（3）下列角的終邊相同的是（）．A．與與與與B．C．D．

18思考5：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負(fù)半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負(fù)半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考6：終邊在x軸、y軸上的角的集合分別如何表示？

終邊在x軸上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；終邊在y軸上：S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.19思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？

第一象限：S={α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}；第二象限：S={α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}；第三象限：S={α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}；第四象限：S={α|－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}.20思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分別是第幾象限的角？90°＋k·360°<α<180°＋k·360°180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°21理論遷移例1在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.129°48′，第二象限角.22S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例2寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤＜720°的元素寫出來(lái).

23理論遷移例1在0°～360°范圍內(nèi)，找出與－950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.129°48′，第二象限角.例2求與3900°終邊相同的最小正角和最大負(fù)角.300°，-60°.24S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤＜720°的元素寫出來(lái).

－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.25例4已知角θ的終邊與30°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，試在0°～360°范圍內(nèi)，找出與終邊相同的角.110°，230°，350°.26弧度制27探究1：弧度的概念思考1：在平面幾何中，1°的角是怎樣定義的？將圓周分成360等份，每一段圓弧所對(duì)的圓心角就是1°的角.

思考2：在半徑為r的圓中，圓心角n°所對(duì)的圓弧長(zhǎng)如何計(jì)算？28思考3：如圖，把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad，讀作1弧度.那么，1弧度圓心角的大小與所在圓的半徑的大小是否有關(guān)？為什么？OABrr1rad 29思考4：約定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.如果將半徑為r圓的一條半徑OA，繞圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，若弧AB長(zhǎng)為2r，那么∠AOB的大小為多少弧度？－2rad.B2rOAr思考5：如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值如何計(jì)算？

30弧度制的性質(zhì)⑥角的弧度數(shù)的絕對(duì)值||=②整圓所對(duì)的圓心角為①半圓所對(duì)的圓心角為③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)．④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)．⑤零角的弧度數(shù)是零．31思考6：半徑為r的圓的圓心與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，交圓于點(diǎn)A，終邊與圓交于點(diǎn)B，下表中∠AOB的弧度數(shù)分別是多少？

弧AB的長(zhǎng)r2rOB旋轉(zhuǎn)的方向逆時(shí)針逆時(shí)針順時(shí)針順時(shí)針順時(shí)針∠AOB的弧度數(shù)-1-232探究（二）：度與弧度的換算

思考1：一個(gè)圓周角以度為單位度量是多少度？以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得度與弧度有怎樣的換算關(guān)系？思考2：根據(jù)上述關(guān)系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？

180°＝rad.

33思考3：根據(jù)度與弧度的換算關(guān)系，下表中各特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)分別是多少？

今后用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是如何理解的？

度00300450600900120013501500180027003600弧度034思考5：已知一個(gè)扇形所在圓的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α（）那么扇形的面積如何計(jì)算？

思考6：在弧度制下，與角α終邊相同的角如何表示？終邊在坐標(biāo)軸上的角如何表示？

終邊x軸上：終邊y軸上：

35知識(shí)遷移例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精確值；（2）精確到0.001的近似值.

36例3計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）∵

∴

（2）∵∴37（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：練習(xí)

38例2(1)已知扇形的圓心角為72°，半徑等于20cm，求扇形的弧長(zhǎng)和面積；（2）已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形的圓心角的弧度數(shù).

391．求圖中公路彎道處弧的長(zhǎng)（精確到