第七章 相 關(guān) 分 析

第七章相關(guān)與回歸分析問(wèn)題：1、某研究人員調(diào)查了杭州在校大學(xué)生的每周平均自習(xí)時(shí)間，并收集了相應(yīng)的期末考試成績(jī)，他想知道研究自習(xí)時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，如何判斷這種關(guān)系的表現(xiàn)形式，關(guān)系的密切程度以及它們之間如何作用？2、某企業(yè)想做廣告來(lái)宣傳某產(chǎn)品，如何了解和判斷廣告費(fèi)用與銷售之間的關(guān)系，以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膹V告投入？相關(guān)與回歸分析概述簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析線性回歸分析非線性回歸分析第一節(jié)概述概念現(xiàn)象之間的關(guān)系表現(xiàn)為：函數(shù)關(guān)系：一種確定性、嚴(yán)格的依存關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確表示出來(lái)。相關(guān)關(guān)系：現(xiàn)象之間存在一定的數(shù)量依存關(guān)系，但不是固定的。現(xiàn)象之間客觀存在數(shù)量上的依存關(guān)系。這種依存關(guān)系不是確定的從某種角度說(shuō)，函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的特例。相關(guān)關(guān)系種類因素多少單相關(guān)：兩個(gè)因素復(fù)相關(guān)：三個(gè)以上因素相關(guān)形態(tài)直線相關(guān)（線性相關(guān)）：表現(xiàn)近似直線曲線相關(guān)：表現(xiàn)近似曲線。正相關(guān)：同向變化負(fù)相關(guān)：反向變化相關(guān)程度完全相關(guān)：實(shí)質(zhì)就是確定性的函數(shù)關(guān)系不完全相關(guān)：這個(gè)是要研究的相關(guān)分析。無(wú)相關(guān)：因素之間完全沒(méi)有關(guān)系。平均意義上的相關(guān)回歸分析的主要內(nèi)容1、確定現(xiàn)象之間的相關(guān)性以及其相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式；2、確定相關(guān)關(guān)系的密切程度；3、選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；4、測(cè)定估計(jì)值的可靠程度。5、檢驗(yàn)相關(guān)關(guān)系的顯著性。相關(guān)回歸分析是為了消除偶然因素影響，以找出現(xiàn)象之間的依存關(guān)系和程度以及變動(dòng)規(guī)律。主要內(nèi)容如下：相關(guān)分析：研究變量之間關(guān)系的密切程度回歸分析：研究變量變動(dòng)之間的因果關(guān)系第二節(jié)簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析散點(diǎn)圖（scatterplot)兩種相關(guān)分析方法：定性分析（圖表法）和定量分析（相關(guān)系數(shù)）。定性分析一般只適用于兩個(gè)變量?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぶС鍪杖肷Ⅻc(diǎn)圖相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)定量說(shuō)明現(xiàn)象之間的密切程度。積差法相關(guān)系數(shù)：用無(wú)量綱的系數(shù)形式表示變量之間的相關(guān)程度。協(xié)方差：用來(lái)表示變量關(guān)聯(lián)程度的絕對(duì)指標(biāo)。顯然受標(biāo)志大小的影響。簡(jiǎn)捷計(jì)算方法（三個(gè)簡(jiǎn)捷公式）已知平均值時(shí)，可采用：已知平均值和標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可采用：相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)和相關(guān)程度的判斷標(biāo)準(zhǔn)特點(diǎn)判斷標(biāo)準(zhǔn)：一般地產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.2例某企業(yè)生產(chǎn)調(diào)查,資料如下：計(jì)算產(chǎn)量和生產(chǎn)費(fèi)用的相關(guān)系數(shù)。19365763667612960.40960.01960.00360.02560.31360.772452028.163.360.364.1620.1656.2積差法：簡(jiǎn)捷法：產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.21620.2522.0923.0427.044000048400625007290078400302200108.428009901175129614565717第三節(jié)線性回歸分析概述概念對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以進(jìn)行估計(jì)或預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)方法。分類直線回歸（線性回歸）曲線回歸（非線性回歸）簡(jiǎn)單直線回歸（一元線性回歸）多元線性回歸回歸分析要先確定因變量（結(jié)果），自變量（原因）。相關(guān)系數(shù)則不需要確定因果變量。簡(jiǎn)單直線回歸（一元線性回歸）確定自變量x和因變量y。一般根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、相關(guān)理論和常識(shí)確定。如果不能確定，或者兩個(gè)變量互為根據(jù)，則存在x為自變量，y為因變量（y倚x）的回歸方程和y為自變量，x為因變量（x倚y）的回歸方程。建立一元一次數(shù)學(xué)模型這里采用第一個(gè)模型。a稱為截距，b稱為斜率或回歸系數(shù)。a的經(jīng)濟(jì)含義一般不作解釋，b的經(jīng)濟(jì)含義是自變量變動(dòng)一個(gè)單位，因變量平均變動(dòng)b個(gè)單位。計(jì)算a和b參數(shù)a和b，是根據(jù)實(shí)際的觀測(cè)值（已知）計(jì)算出的。就是在模型中，x和y是已知的，a和b是未知的。一般采用最小平方法（最小二乘法）計(jì)算。推導(dǎo)如下：根據(jù)最小平方法原理，參數(shù)要使得理論值與實(shí)際值的離差平方和最小。假設(shè)Q是連續(xù)可微，最小值的必要條件是一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，即：將帶入Q，分別求一階偏導(dǎo)得：移項(xiàng)等到二元一次方程：從中可以解出：這樣就得到了直線回歸方程。··········回歸系數(shù)b還可以寫(xiě)成：判定系數(shù)R2用來(lái)測(cè)度回歸直線對(duì)實(shí)際值的擬合程度，或者說(shuō)是回歸直線對(duì)實(shí)際值變動(dòng)的解釋程度?？偲钍Ｓ嗥睿ㄎ幢唤忉專┗貧w偏差（被解釋）即判斷系數(shù)反映了因變量變動(dòng)中由自變量所解釋的程度。例根據(jù)上例中的資料，配合生產(chǎn)費(fèi)用倚產(chǎn)量的直線回歸方程，說(shuō)明斜率的經(jīng)濟(jì)含義，并預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量為300公斤時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用。產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.21620.2522.0923.0427.044000048400625007290078400302200108.425717800990117512961456這樣得出生產(chǎn)費(fèi)用倚產(chǎn)量的直線回歸方程：b（斜率）的經(jīng)濟(jì)含義表示產(chǎn)量增加一公斤，生產(chǎn)費(fèi)用平均增加0.0124萬(wàn)元。當(dāng)產(chǎn)量增加到300公斤時(shí)，則可以預(yù)測(cè)生產(chǎn)費(fèi)用為：估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差回歸直線或曲線是一種平均線。用來(lái)代表變量之間關(guān)系的一般水平。根據(jù)回歸線推測(cè)的因變量顯然與實(shí)際值有差異。這種差異大小說(shuō)明推算的準(zhǔn)確性以及回歸線代表性的大小。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就是用來(lái)說(shuō)明回歸方程推算結(jié)果的準(zhǔn)確性或代表性高低的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)。·········yx回歸平均線一般的平均數(shù)········yx··簡(jiǎn)單直線回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算簡(jiǎn)捷公式：相關(guān)系數(shù)和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的關(guān)系或相關(guān)系數(shù)與估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差表現(xiàn)為相反的關(guān)系。1、越大，越小。極端時(shí)，，此時(shí)，實(shí)際值與理論值完全相等，完全相關(guān)。2、越小，越大。極端時(shí)，,圖上表現(xiàn)為回歸線與數(shù)列的平均線重合，不相關(guān)。例計(jì)算上例回歸直線的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差產(chǎn)量（公斤）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）20042204.52504.72704.82805.2合計(jì)122023.2—1620.2522.0923.0427.044.09444.34244.71444.96245.0864108.4257178009901175129614560.0089110.0248380.0002070.0263730.0129050.073234根據(jù)回歸方程