四川大學(xué)自動化專業(yè)英語 微分方程模型階段

微分方程模型2一般方程其中(0)§1、微分方程穩(wěn)定性理論簡介345判定平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的兩種方法：

直接法——求出解的表達(dá)式，再由穩(wěn)定性的定義判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。(2)間接法——不求解，直接利用微分方程的性質(zhì)判定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性6(2)一階自治方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性7§2

、人口模型8基本假設(shè):人口的相對增長率為常數(shù)r.B：出生率D：死亡率人口函數(shù)：Malthus模型Malthus模型特點(diǎn):在有限的時間內(nèi),在生存空間和食物供應(yīng)充足的環(huán)境下,Malthus人口模型是比較準(zhǔn)確的;但是,由于生存空間有限、食物短缺、戰(zhàn)爭、疾病、自然災(zāi)害,以及人為控制人口增長等等原因,Malthus人口模型不能準(zhǔn)確地反映出人口的實(shí)際增長情況.9美國人口的Malthus預(yù)測值(單位:百萬)比較精確誤差增大整整高出一倍！10Logistic阻滯增長模型基本假設(shè):人口的相對增長率隨著人口數(shù)量的增加而減少,當(dāng)人數(shù)超過某飽和值N

后,相對增長率為負(fù).故x=0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn),x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn).A.直接法分析平衡點(diǎn)r:固有增長率11拐點(diǎn)12B.間接法分析析平衡點(diǎn)故N是穩(wěn)定平衡衡點(diǎn).13美國人口的Logisitc預(yù)測值(單位:百萬)很吻合1415§3、捕魚模型型16直接法分析析平衡點(diǎn)：：17圖解法：固定曲線調(diào)節(jié)E產(chǎn)量模型1819魚量方程同同產(chǎn)量模型型：效益模型2021比較：22當(dāng)漁場向眾眾多的盲目目經(jīng)營者開開放，只要要有微薄利潤，經(jīng)營營者也會去去捕撈，稱稱為盲目捕捕撈（或開開放式捕撈），，這將導(dǎo)致致捕撈過度度。捕撈過渡23242526一階自治方方程組的平平衡點(diǎn)及穩(wěn)穩(wěn)定性1、線性系統(tǒng)統(tǒng)稱為系數(shù)矩陣(5)當(dāng)特征根的的實(shí)部均小小于零時，，平衡點(diǎn)是是穩(wěn)定的；；當(dāng)存在實(shí)實(shí)部大于零零的特征根根時，平衡衡點(diǎn)是不穩(wěn)穩(wěn)定的。27記鞍點(diǎn)區(qū)

穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)中心區(qū)282、非線性系系統(tǒng)(4)(5)2930以兩種群為為例：A、捕食者-食餌系統(tǒng)；；B、相互依存存；C、相互競爭爭Lotka-Volterra模型:§4、生態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)模型313233捕食者(Predator)－食餌(Prey)系統(tǒng)平衡點(diǎn)：(1)用matlab軟件編程,可得x(t),y(t)及相軌線y(x).可以猜測,x(t),y(t)是周期函數(shù)數(shù).相應(yīng)地,y(x)是閉曲線.34(1)用一階近似似方程討論論平衡點(diǎn)的的穩(wěn)定性在原點(diǎn)(0,0)附近的一階階近似方程程為：特征根為a(>0)和c,所以原點(diǎn)是是不穩(wěn)定平平衡點(diǎn).平衡點(diǎn)及相相軌線35特征根為P點(diǎn)的穩(wěn)定性性不能由其其一階近似似方程判定定，所以直接接討討論論原原方方程程。。在點(diǎn)附附近近的的一一階階近近似似方方程程為為：：36相平平面面上上的的軌軌線線滿滿足足微微分分方方程程：：(2)(k是常常數(shù)數(shù))(2)相軌軌線線37記38當(dāng)x，y在第第一一象象限限時時，，有有根據(jù)據(jù)k值考考察察相相軌軌線線的的形形狀狀：：此時時軌軌線線退退化化為為一一點(diǎn)點(diǎn)，，即即平平衡衡點(diǎn)點(diǎn)。。394041k

減小42同理理可可得得：：即：：43引入入捕捕魚魚影影響響，，模模型型變變?yōu)闉椋海赫f明明捕捕撈撈量量增增大大對對食食餌餌有有利利。。44模型型的的延延伸伸應(yīng)應(yīng)用用:殺蟲蟲濟(jì)濟(jì)的的影影響響模型型的的局局限限性性:多數(shù)數(shù)p-p系統(tǒng)統(tǒng)無無周周期期震震蕩蕩,而是是趨趨于于某某穩(wěn)穩(wěn)定定的的平平衡衡點(diǎn)點(diǎn).呈周周期期變變化化的的生生態(tài)態(tài)系系統(tǒng)統(tǒng)應(yīng)應(yīng)該該是是結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)穩(wěn)穩(wěn)定定的的.極限限環(huán)環(huán)45平衡衡點(diǎn)點(diǎn)競爭爭模模型型r1,r2:固有有增增長長率率;N1,N2:飽和和量量;1,2:競爭爭力力46麻煩煩!47記4849分析析：：505152分析析：