《指數函數和對數函數》設計

《指數函數和對數函數》教學設計教學目標1．通過本節(jié)教學，使學生能從綜合和應用的角度，進一步熟練指數函數、對數函數的概念、性質及其圖象等基本知識，會解簡單的指數方程和對數方程．2．使學生在運用指數、對數知識時，能以函數理論為指導，注意數形結合法、換元法、分類討論思想方法的運用．3．通過本節(jié)教學，力求使學生取得對函數內容的理解、方法的運用上的綜合提高．深化對函數思想的理解與運用，從而提高學生思維水平．重點難點本節(jié)課教學是在函數一般理論復習之后，通過以這兩類常見函數為載體進一步鞏固深化對函數概念及函數有關性質的理解．因此本節(jié)課的教學重點應放在與其它函數知識的聯系，如函數單調性與實數大小比較的關聯；及由指數函數、對數函數構成的復合函數和其它函數的性質研究．本節(jié)課的教學難點是通過指數函數、對數函數的復習，進一步體會函數思想，自覺使用數學思想方法解決有關綜合問題．教學過程指數函數和對數函數是兩類主要的常見函數，由于它們互為反函數，故對它們的研究注意利用反函數這個工具，把握兩者的聯系，并從聯系的角度把握它們的概念、性質及圖象．此外特別注意由它們構成的復合函數或較復雜函數性質的研究，注意在小綜合題中提高對函數思想的認識．一、指數函數、對數函數基礎知識梳理與基本方法的運用1．綜合使用有關概念和運算法則，處理指數或對數式的運算例1設a，b，c都是正數，且3a＝4b＝6c，那么．分析此題意在通過等式關系考查指數函數和對數函數的概念和性質及指對基本運算．解法一要由已知得到a，b，c的表示式，可以令3a＝4b＝6c＝t，解法二由題設聯想2×3＝6，在指數運算范圍內也可完成．令評述在指數式和對數式變換中如果只會套用公式．作簡單直接計算．則難以獲得正確結果．如果能自覺運用各種數學思想方法如分析法、綜合法、方程的思想等，則很容易找出思路．此題除以上兩種思路外，還有其它途徑如用特殊值法來排除．2．比較大小的三個基本層次對于一般的兩個實數的大小比較將放到不等式再進行系統復習．這里研究的比較大小，通常指兩類數，一類稱為冪形數，另一類稱為對數形數，這兩類數的大小比較通常需用到有關函數的單調性．例2比較大?。?1)lg(2x＋2)與lg(x＋1)(2)與與2log2ax(1＜a＜2)(1)分析如果把2x＋2和x＋1這兩個數單獨拿出來比大小，應對x進行分類討論，而在這里則無須討論．因為有對數函數定義域作保證．解函數y＝lg在(0，＋∞)上是增函數．①當x＞-1時，(2x＋2)-(x＋1)＝x＋1＞0，所以2x＋2＞x＋1＞0，②因此lg(2x＋2)＞lg(x＋1)．評述這里用到的是構造函數的方法比較大?。渲衛(wèi)g(2x＋2)＞lg(x＋1)的得到必須是由以上①、②兩條共同保證得到，特別是②，必須注明大于零的條件，以保證兩個自變量在相應函數的單調區(qū)間內．(2)分析這兩個數不屬于同一類型數，故不能直接構造函數比大小，可以間接利用特殊數比較大小．這里與顯然都大于0，也都小于1，故不能借助0和即，＜評述這里用到的方法是搭橋比較法又稱間接比較法．間接比較的關鍵是恰當使用分析法，選擇哪個數來搭橋是次要的，通過此題對這種方法有所認識理解才是重要的．(3)分析兩個實數的大小比較可將它們相減通過變形判斷差的符號．由于1＜a＜2，故lga＞0，lga＜lg2，lg2a＞0，又x＞0，于是當0＜x＜1時，lgx＜0，可得logax＜2log2ax；當x＝1時，lgx＝0，可得logax＝2log2ax；當x＞1時，lgx＞0，可得logax＞2log2ax．例3已知1＜x＜d，令a＝(logdx)2，b＝logdx2，c＝logd(logdx)，則[]．A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b分析此題是選擇題，故可以利用特殊值法得到a，b，c的大小關系，不過如果能注意到a，b，c三個數內在結構上的聯系，不妨構造函數，借助函數性質和圖象解決，也不失為一種好辦法．解令logdx＝u，則由1＜x＜d，得0＜u＜1，又a＝u2(0＜u＜1＝，b＝2u(0＜u＜1＝，c＝logdu(0＜u＜1)．如圖1易知b＞a＞c．評述此題借助函數圖象，從形的角度比較大小，使問題變得更直觀．3．指數方程、對數方程的基本類型歸納例4解下列指數方程：(1)3·16x＋36x＝2·81x；(2)5x＋1＝3x2-1．解(1)原方程變形為3·42x＋4x·9x＝2·92x，可化為所以即(2)原方程兩邊取對數得(x＋1)lg5＝(x2-1)lg3，即(x＋1)[lg5-(x-1)lg3]＝0，解得x1＝-1或x2＝log315．所以原方程的解為x＝-1或x＝log315．評述解指數方程的常用方法有化同底法，取對數法及換元法等．通過這些方法將指數方程化為代數方程求解．例5解下列對數方程：解(1)原方程可化為4(2-x)＝(x-1)2，即x2＋2x-7＝0．所以log3x＝-2或log3x＝1．所以評述解對數方程的基本方法有化同底法、換元法等．其中要特別注意對數換底公式及對數運算法則的合理使用．由于解對數方程一般都是非同解變形，故必須要進行驗根．解指數方程，對數方程的問題既是考查基本運算能力，又是考查對數函數，指數函數性質在解方程中的應用．二、綜合運用函數概念和性質，解決由指數函數、對數函數構成的復合函數或其它函數的問題例6(1)已知-1≤x≤2，求函數f(x)＝3＋2·3x＋1-9x的最大值和最小值；分析(1)此函數為一個指數函數和一個二次函數的復合函數，處理這類問題的基本方法即用換元法轉化為區(qū)間上二次函數的最值問題．x∈R求出u＞0，從而可以得到y的取值范圍．當然此題也可以借助2x這個常見函數的值域建立一個關于y的不等式．-(t-3)2＋12，故當t＝3即x＝1時，f(x)取最大值12，當t＝9即x＝2時，f(x)取最小值-24．解得-2＜y＜1．所以函數的值域為(-2，1)．(1)求函數f(x)的定義域；(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由；(3)指出函數f(x)的單調區(qū)間；(4)求函數f(x)的反函數f-1(x)．分析此題是由指數或對數函數構成的復合函數中較為典型的一例，意在通過此題全面熟悉把握復合函數性質的研究，體會換元法在復合函數研究中的作用．所以f(x)的定義域為{x|x＜2b或x＞-2b}．(2)對f(x)定義域內任意x，有所以f(x)為奇函數．當a＞1時在(0，＋∞)上是增函數；當0＜a＜1時，在(0，＋∞)上是減函數．它的單調性直觀觀察可得，如圖2，于是有當a＞1時，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，＋∞)上都是增函數，當0＜a＜1時，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，＋∞)上都是減函數．例8已知y＝loga(2-ax)在[0，1]上是x的減函數，則a的取值范圍是[]．A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．(2，＋∞)分析作為選擇題，此題解法相當多，但無論哪種解法，都要注意任意函數的單調區(qū)間必定是其定義域的子區(qū)間，還要注意復合函數單調性的規(guī)律．這里決定a的取值范圍的條件有三個：(1)使y＝loga(2-ax)有意義得到的a＞0，a≠1，2-ax＞0；(2)保證x的復合函數在[0，1]上是減函數，且u＝2-ax(a＞0)為減函數而得到的a＞1；(3)保證區(qū)間[0，1]是函數定義域的子區(qū)間而得到的條件，綜合起來即解法二此題若利用排除法，還可以有如下處理思路：當a∈(0，1)時，若0≤x1＜x2≤1，則2-ax1＞2-ax2，故loga(2-ax1)＜loga(2-ax2)即y＝loga(2-ax)在[0，1]上是x的增函數，不是減函數，故排除A，C．當a＞2時，函數y在x＝1處無定義，排除D，選B．評述此題作為選擇題應優(yōu)先考慮特殊方法，而在一個題目的求解過程中也不一定用單一辦法來處理，可以多種方法綜合使用，這也利于對函數概念和性質有更加透徹全面的理解和掌握．域為[loga(n-1)，logaa(m-1)]．(1)求證：m＞3；(2)求a的取值范圍．n＞m，又由函數值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得證．y＝logau為減函數，所以y＝f(x)在[m，n]上為減函數，從而f(x)的值域為[f(n)，ax2＋(2a-1)x＋3-3a＝0．①由于m，n＞3，故方程①應有大于3的兩不等實根，注意到a＞0，所以應有評述此題是從復合函數角度較綜合考查對數的概念，函數單調性，且巧妙地利用方程根的概念將問題轉化為一元二次方程根的研究．同時提醒學生注意，求取值范圍的題目一般要求尋求使問題成立的充要條件．因此對問題進行變換時注意等價轉化．三、自覺應用數學思想方法，解決有關函數的小綜合題例10已知函數f(x)＝lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0)．(1)求y＝f(x)的定義域；(2)在函數y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸．分析此題第(2)問是從幾何角度探索函數圖象的特征，但此函數圖象并不會畫，也不易畫出，因此應轉化為代數角度探索該函數相關的性質．(0，＋∞)．(2)先證f(x)在(0，＋∞)上是增函數．任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數．假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直線AB平行于x軸，則x1≠x2，y1＝y2．這與f(x)在(0，＋∞)上是增函數(y1＝y2則x1＝x2)相矛盾．故在函數f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸．例11函數f(x)＝logax在區(qū)間[2，＋∞)上總有|f(x)|＞1成立，求實數a的取值范圍．分析此題從題意出發(fā)是要解無數多個關于a的不等式的問題，這實際上是無法操作的，所以必須將問題等價轉化為有限個不等式的求解問題．而轉化需在函數思想指導下來完成．解依題意f(x)＝logax在[2，＋∞)上總有|f(x)|＞1成立|logax|＞1對任意x∈[2，＋∞)都成立logax＞1或logax＜-1對任x∈[2，＋∞)總成立y＝logax在[2，＋∞)上的最小值大于1或y＝logax在[2，＋∞)的最大值小于-1．而函數y＝logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有當0＜a＜1時，有最大值loga2，于是有評述此題處理的過程體現了對等價變換和函數思想的認識與應用．例12已知函數f(x)＝log2(ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的定義域是R，求實數a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為R，求實數a的取值范圍．分析此題首先需將問題等價轉化為熟悉的問題．其次對含有字母系數不等式解的情況的討論注意全面準確．當a＝0時，不等式化為2x＋1＞0，顯然不合題意；綜上可得，當a＞1時，f(x)的定義域是R．當a＝0時，函數為u＝2x＋1，值域為R．符合題意；解得0＜a≤1．綜上所述當0≤a≤1時，f(x)的值域為R．評述此題解決的關鍵是等價變換和分類討論的思想的應用．特別是分類討論思想的應用要引起重視，分類討論注意對討論的起因的認識，這是理解和運用分類討論的關鍵．(1)求f(x)的定義域；(2)指出f(x)的單調性，并證明你的結論；(3)求滿足f(x)＜2的x的取值范圍．分析此題雖然是函數的常規(guī)題，但在研究方法上有值得思考的地方．如對f(x)單調性的研究，若直接依定義研究，則遇到較復雜的對數運f(x)＜2，若直接求解，則需解對數和無理混合型不等式，比較復雜，若利用函數單調性，把2看作f(x)的某個函數值，這樣只需解一個無理方程，在運算上會比較簡捷．由x1＜x2≤-1，知所以g(x2)-g(x1)＜0，即g(x2)＜g(x1)．當a＞1時，f(x2)＜f(x1)，即f(x)為減函數；當0＜a＜1時，f(x2)＞f(x1)，即f(x)為增函數．當0＜a＜1時，方程無解；當0＜a＜1時，f(x)在(-∞，-1]上是增函數，故f(x)≤f(-1)＝0＜2．因此定義域內任意x均滿足f(x)＜2，所以x≤-1．分析解含有參數的對數方程，可把方程等價轉化為一個混合組，這里不必孤立地解其中的每一個方程或不等式，然后再求各解集的交集，而可把“混合組”當作一個研究系統，著眼于系統的等價變換．當然2x-3≠0．因為k＞0，Δ＝16-16k＝16(1-k)，故當0＜k＜1時，方程⑥有