二面角的平面角的題型歸納與方法

二面角的平面角的題型歸納與方法二面角的平面角題型歸納與方法求二面角是高考中必考內(nèi)容，學(xué)習(xí)過(guò)程中要備受矚目，利用傳統(tǒng)方法求解二面角的要點(diǎn)是第一知道二面角的平面角，再轉(zhuǎn)變到三角形中解決，而利用法向量可以降低問(wèn)題的難度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成程序化的求解過(guò)程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。一、法向量求二面角步驟1、建立合適的直角坐標(biāo)系，當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系；若是沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但圖形中有必然對(duì)稱(chēng)關(guān)系，〔如正三棱柱、正四棱柱等〕利用圖形對(duì)稱(chēng)性建立空間直角坐標(biāo)系解題；其他頁(yè)可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立坐標(biāo)系。2、求法向量：一般用待定系數(shù)法求解，一般步驟以下：〔1〕設(shè)出平面的法向量為n＝〔x，y，z〕；〔2〕找出〔求出〕平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)

a(a1,b1,c1)，b(a2,b2,c2)；3〕依照法向量的定義建立關(guān)于個(gè)解，即得法向量。

na0x、y、z的方程組；〔4〕解方程組，取其中的一nb03、利用數(shù)量積公式求角：設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)半平面的法向量，那么由n1n2求得n1,n2，而n1,n2的大小或其補(bǔ)角的大小即為二面角的cosn1,n2n1n2大小，應(yīng)注意n1，n2的方向。因此二面角的大小可以經(jīng)過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，他等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。二、考題剖析例1、在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為矩形，ABPA1BC(a0).aP(Ⅰ)當(dāng)a1時(shí)，求證：BDPC；(Ⅱ)假設(shè)BC邊上有且只有一個(gè)Q，使得PQQD，點(diǎn)求此時(shí)二面角APDQ的余弦值.AD解：(Ⅰ)當(dāng)a1時(shí)，底面ABCD為正方形，BDAC又由于BDPA,BD面PAC又PC面PAC,BDPCBQC(Ⅱ)由于AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，以以下圖，令A(yù)B1，可得BCa則B(1,0,0),D(0,a,0)C(1,a,0),P(0,0,1)-1-二面角的平面角的題型歸納與方法設(shè)BQm，那么Q(1,m,0)(0ma)要使PQQD，只要PQQD1m(am)0z即m2am10,由0a2，此時(shí)m1。P因此BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD時(shí)，Q為BC的中點(diǎn)，且a2AyD設(shè)面PQD的法向量p(x,y,1)BCQpQD0xy01,1)那解得p(1,x么即pDP02y1022取平面PAD的法向量q(1,0,0),那么的大小與二面角APDQ的大小相等pq6APDQ的余弦值為6因此,因此二面角pq66議論：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，因此有一個(gè)自由度，可把n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).求解法向量一般借助方程思想，幾何問(wèn)題代數(shù)化，求得法向量再結(jié)合向量數(shù)量積公式求得二面角。例2、在以以下圖的周?chē)wABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．求二面角C－AB－D的大??；剖析：由于此題中沒(méi)有垂直關(guān)系，需要搜尋〔或作出三線垂直的直線〕。解：依照簡(jiǎn)單證明AB平面BCD，設(shè)以過(guò)B點(diǎn)且∥CDA的向量為x軸，BC、BA為y軸和z軸建立以以下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，那么A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，BD=(1，1，0)，BA=(0，0，a)平面ABC的法向量CD=(1，0，0)設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，那么zBDn0xy0BCABAn0az0D取n=(1，－1，0)cosCD，CDn2n|CD||n|2∴二面角C－AB－D的大小為45°By議論：解決此題要點(diǎn)是建立合適的直角坐標(biāo)系，C求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得法向量。再利用公式出空間角。xD-2-二面角的平面角的題型歸納與方法例3、如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)．1〕證明PA//平面BDE；2〕求二面角BDEC的平面角的余弦值；【剖析】〔1〕以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸的正方向2，那么A建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PDDC2,0,0，P0,0,2，E0,1,1，B2,2,0，PA(2,0,2)，DE(0,1,1)，DB(2,2,0)．設(shè)n1(x,y,z)是平面BDE的一個(gè)法向量，那么由n1DE0yz01得n1(1,得n11,1)．，取yDB0

2x2y0∵1，PAn1，又平面，PAn220PABDE因此PA//平面BDE．〔2〕由〔1〕知n1(1,1,1)是平面BDE的一個(gè)法向量，又n2DA(2,0,0)是平面DEC的一個(gè)法向量．設(shè)二面角BDEC的平面角為，由圖可知n1,n2∴coscosnn1n2231,n2||n2|323|n1故二面角BDEC的余弦值為3．3議論：第一問(wèn)應(yīng)用向量直接計(jì)算，防范了作輔助線、平移轉(zhuǎn)變的麻煩；可見(jiàn)運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題時(shí)，第一要合適建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算，最后轉(zhuǎn)變成幾何結(jié)論.例4、以以下圖的幾何體ABCDE中,DA平面EAB，CB//DA,EADAAB2CB，EAAB，M是EC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:DMEB;D(Ⅱ)求二面角MBDA的余弦值.解:分別以直線AE,AB,AD為x軸、y軸、z軸，建立如C圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)CBa，那么MAA(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)B，E-3-二面角的平面角的題型歸納與方法因此M(a,a,a).23(Ⅰ)證:DM(a,a,-a),EB(2a,2a,0)2DMEBa(-2a)a2a00DMEB,即DMEB.(Ⅱ)解:設(shè)平面MBD的法向量為n(x,y,z),DB(0,2a,-2a)，由nDB,nDM得znDB2ay-2az0yz33nDMaxay-az0xyz022