高三數(shù)學第一輪復習 一元二次不等式及其解法 新人教B版

學案2一元二次不等式及其解法名師伴你行SANPINBOOK1.考點1考點2填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測考點3考點4名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

考綱解讀

一元二次不等式的解法(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計求解的程序框圖.名師伴你行SANPINBOOK3.考向預(yù)測

從近幾年的高考試題看，高考中常常以小題的形式考查簡單的一元二次不等式或可化為一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函數(shù)零點的分布以小題形式考查相應(yīng)一元二次方程中未知參數(shù)的取值范圍，或以解答題形式出現(xiàn)單獨考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法，也可能與函數(shù)相結(jié)合考查參數(shù)的取值范圍等.返回目錄

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1.任何一個一元二次不等式都可變形為或

(a＞0)的形式.2.設(shè)a≠0，x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實根，且x1＜x2，對一元二次不等式ax2+bx+c＞0.(1)當a＞0時,若Δ=b2-4ac＞0，則其解集為

；ax2+bx+c＞0ax2+bx+c＜0{x|x>x2或x<x1}名師伴你行SANPINBOOK5.若Δ=b2-4ac=0，則其解集為

;若Δ=b2-4ac＜0，則其解集為

.(2)當a＜0時,若Δ=b2-4ac≥0，則其解集為

;若Δ=b2-4ac<0，則其解集為

.3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要條件是

;ax2+bx+c＜0恒成立的充要條件是

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{

x∈R|x≠}a＜0且b2-4ac＜0{x|x1＜x＜x2}空集Ra＞0且b2-4ac＜0名師伴你行SANPINBOOK6.解下列不等式：（1）①-x2+2x-＞0;②8x-1≤16x2.（2）解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1＜0.考點1一元二次不等式解法返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK7.【分析】(1)題可直接按一元二次不等式的步驟進行求解.（2）題可先分解因式，求出對應(yīng)方程的根，然后對根的大小進行討論，從而得不等式的解.【解析】（1）①兩邊都乘以-3，得3x2-6x+2＜0,∵3＞0,且方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+,∴不等式的解集是〔x|1-＜x＜1+〕.②8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集為R.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK8.(2)原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)＜0,當a=0時,不等式的解為x＞1,當a≠0時，不等式變?yōu)閍(x-)(x-1)＜0,若a＜0,則(x-)(x-1)＞0,∴x＜或x＞1.若a＞0,則(x-)(x-1)＜0,∴當a＞1時,解為＜x＜1;當a=1時,解集為;當0＜a＜1時,解為1＜x＜.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK9.綜上,當a＜0時,不等式的解集為﹛x|x＜或x＞1﹜;當a=0時,不等式的解集為{x|x＞1};當0＜a＜1時,不等式的解集為﹛x|1＜x＜﹜;當a=1時，不等式的解集為;當a＞1時，不等式的解集為﹛x︱＜x＜1﹜.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK10.

解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論；首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進行討論；其次根據(jù)根是否存在，即Δ的符號進行討論；最后在根存在時，根據(jù)根的大小進行討論.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK11.解下列不等式：（1）2x2+4x+3>0;（2）-3x2-2x+8≥0;（3）12x2-ax>a2(a∈R).

【解析】(1)∵Δ=42-4×2×3<0,∴方程2x2+4x+3=0沒有實根，二次函數(shù)y=2x2+4x+3的圖象開口向上，與x軸沒有交點，2x2+4x+3>0恒成立，∴不等式2x2+4x+3>0的解集為R.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK12.（2）原不等式可化為3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0,∴方程3x2+2x-8=0的兩根為-2,,結(jié)合二次函數(shù)y=3x2+2x-8的圖象可知原不等式的解集為｛x|-2≤x≤｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK13.(3)由12x2-ax-a2>0(4x+a)(3x-a)>0,①a>0時，-<,解集為｛x|x<-或x>｝;②a=0時，x2>0，解集為{x|x∈R且x≠0};③a<0時，->,解集為｛x|x<或x>-｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK14.已知f（x）=x2-2ax+2，當x∈［-1,+∞)時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍.【分析】可以從函數(shù)的角度進行考慮，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，也可以從方程的角度考慮，可轉(zhuǎn)化為對方程根的討論.考點2含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK15.【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.①當a∈(-∞,-1)時，結(jié)合圖象知，f（x）在［-1,+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min=f(-1)=2a+3,要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK16.②當a∈［-1,+∞)時，f（x）min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，Δ＞0a＜-1f(-1)≥0,解得-3≤a≤1.即Δ=4a2-4（2-a）≤0或返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK17.

解不等式恒成立問題，通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK18.當a為何值時，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全體實數(shù).

【解析】①當a2-1=0,即a=±1時,若a=1,則原不等式為-1<0,恒成立.若a=-1,則原不等式為2x-1<0,即x<,不符合題目要求,舍去.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK19.②當a2-1≠0,即a≠±1時,原不等式的解集為R的條件是a2-1<0Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.解之得-<a<1.綜上所述,當-<a≤1時,原不等式的解集為全體實數(shù).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK20.考點3一元二次不等式的實際應(yīng)用

某種商品,現(xiàn)在定價p元,每月賣出n件,設(shè)定價上漲x成,每月賣出數(shù)量減少y成,每月售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)設(shè)x與y滿足y=kx(0<k<1),利用k表示當每月售貨總金額最大時x的值;(3)若y=x，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍.【分析】用所給出的已知量表示出定價、賣出數(shù)量、售貨總金額，列出關(guān)系式，正確地將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成不等式問題來求解.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK21.

【解析】

(1)按現(xiàn)在的定價上漲x成時,上漲后的定價為p(1+)元,每月賣出數(shù)量為n(1-)件,每月售貨總金額是npz元,因而npz=p(1+)·n(1-),所以z=.(2)在y=kx的條件下,z=,整理可得返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK22.由于0<k<1,所以>0,所以使z值最大的x值是x=.(3)當y=x時,z=,要使每月售貨總金額有所增加,即z>1,應(yīng)有(10+x)>100,即x(x-5)<0,所以0<x<5,所以所求x的范圍是(0,5).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK23.(1)實際應(yīng)用問題是新課標下考查的重點,突出了應(yīng)用能力的考查,在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn),如一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型.解題時要理清題意,準確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解法求解.(2)不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進行:①閱讀理解、認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準不等關(guān)系.②引進數(shù)學符號,用不等式表示不等關(guān)系.③解不等式.④回歸實際問題.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK24.某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車車速xkm/h有如下關(guān)系:s=，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？（精確到0.01km/h)返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK25.

【解析】設(shè)這輛汽車剎車前的車速為xkm/h,根據(jù)題意，有>39.5,移項整理，得x2+9x-7110>0,顯然Δ>0，方程x2+9x-7110=0有兩個實數(shù)根，即x1=-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集為{x|x<-88.94或x>79.94}.在這個實際問題中，x>0，所以這輛汽車剎車前的速度至少為79.94km/h.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK26.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象過A(t1,y1),B(t2,y2)兩點，且滿足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.（1）證明：y1=-a或y2=-a;（2）證明：函數(shù)f(x)的圖象必與x軸有兩個交點；（3）若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0}，解關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0.考點4三個“二次”的關(guān)系問題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK27.(1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.(2)當a>0時,二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上,圖象上的點A,B的縱坐標至少有一個為-a且小于零,∴圖象與x軸有兩個交點.

【分析】三個“二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）把初中數(shù)學與高中數(shù)學緊密地聯(lián)系在一起，因而也是高考命題的熱點，解決三個“二次”問題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運算，也就是要利用圖象來分析、解決問題.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK28.當a<0時,二次函數(shù)f(x)的圖象開口向下,圖象上的點A,B的縱坐標至少有一個為-a且大于零,∴圖象與x軸有兩個交點.故二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點.(3)∵ax2+bx+c>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0},從而方程cx2+bx+a=0有兩個根為x1=,x2=,則方程cx2-bx+a=0的兩個根為x1=-,x2=-.∵n<m<0,∴-<-.故不等式cx2-bx+a>0的解集為｛x|x>-或x<-｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK29.

(1)解一元二次不等式應(yīng)熟記它的解的結(jié)構(gòu),即當Δ>0,a>0時,ax2+bx+c>0x>x2或x<x1(x2>x1)(即大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0x1<x<x2(即夾在兩根之間).(2)解不等式的逆向問題是我們的薄弱點,是命題的亮點,是高考注重逆向思維考查的落腳點,因此我們應(yīng)熟練掌握由一元二次不等式解的結(jié)構(gòu)逆向推出不等式滿足的條件的方法.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK30.已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞-2x的解集為（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK31.(1)因為f（x）+2x＞0的解集為（1，3），所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0.因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.①由方程f（x）+6a=0，得ax2-（2+4a）x+9a=0.②因為方程②有兩個相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a＜0,舍去a=1.將a=-代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2-x-.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK32.