計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型

我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱(chēng)為古典概型

稱(chēng)這種試驗(yàn)為有窮等可能隨機(jī)試驗(yàn)或古典概型.定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.

一、古典概型

假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果

假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，e1,e2,…，eN

,即再注意到基本事件彼此互斥，得若等可能概型中某事件A包含有k個(gè)基本事件，即則事件A的概率為二、古典概型的計(jì)算公式

這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題.定義2設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：稱(chēng)此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱(chēng)為古典方法.

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.請(qǐng)回答：1、怎樣的一類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型？2、如何計(jì)算古典概型中事件的概率？為什么這樣計(jì)算？下面我們就來(lái)介紹如何計(jì)算古典概率.三、古典概率計(jì)算舉例例1把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫(xiě)在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：CISNCEE問(wèn)：在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE

的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：

這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次.解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！

這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù).

具體地說(shuō)，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解：=0.3024允許重復(fù)的排列問(wèn)：錯(cuò)在何處？例2某城市的號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從0-9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率.計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個(gè)不同數(shù)字中取5個(gè)的排列例3設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無(wú)放回抽樣.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？次品正品……M件次品N-M件正品解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4n雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成n堆，每堆2只.問(wèn):“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？例5.將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.令A(yù)={三次中恰有一次出現(xiàn)正面}B={三次中至少有一次出現(xiàn)正面}求P(A),P(B)樣本空間S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}例6.袋中有6只球,其中4只白球,2只紅球,現(xiàn)從袋中取球2次,每次1只.就放回抽樣與不放回抽樣兩種情形,計(jì)算概率:(1)取到的兩只球都是白球(2)取到的兩只球顏色相同(3)取到的兩只求中至少有一只白球解放回抽樣的情形(1)

(2)(3)

不放回抽樣(1)(2)(2)(3)例7.袋中有6只球,其中4只白球,2只紅球,六個(gè)人分別從袋中各取一球,就放回抽樣與不放回抽樣兩種情形,計(jì)算六人中的任一個(gè)人取到白球的概率.解放回抽樣不放回抽樣例8.某旅行社100人中有43人會(huì)英語(yǔ),有35人會(huì)日語(yǔ),32人會(huì)英,日兩種語(yǔ)言,9人會(huì)英,日,法三種語(yǔ)言.且每人至少會(huì)英,日,法三種語(yǔ)言之一種.若從中任選一人,求(1)此人會(huì)英,日兩種語(yǔ)言,但不會(huì)法語(yǔ)的概率(2)此人只會(huì)法語(yǔ)的概率解令A(yù)={此人會(huì)英語(yǔ)}B={此人會(huì)日語(yǔ)}C={此人會(huì)法語(yǔ)}則有P(A)=0.43,P(B)=0.35P(AB)=0.32,P(ABC)=0.09(1)P==0.32-0.09=0.23(2)例9.將一顆骰子拋擲4次，問(wèn)至少出一次“6”點(diǎn)的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”點(diǎn)}A發(fā)生{出1次“6”點(diǎn)}{出2次“6”點(diǎn)}{出3次“6”點(diǎn)}{出4次“6”點(diǎn)}直接計(jì)算A的概率較麻煩,我們先來(lái)計(jì)算A的對(duì)立事件={4次拋擲中都未出“6”點(diǎn)}的概率.于是=0.518

因此

==0.482由于將一顆骰子拋擲4次,共有

=1296種等可能結(jié)果,而導(dǎo)致事件={4次拋擲中都未出“6”點(diǎn)}的結(jié)果數(shù)有=625種

例10.有r個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同生日”的概率.

為求P(A),先求P()解：令A(yù)={至少有兩人同生日}={r個(gè)人的生日都不同}則用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為

=1-0.524=0.476

美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)別開(kāi)生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫(xiě)下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.

這個(gè)概率不算小，因此它的出現(xiàn)不值得奇怪.計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，這個(gè)概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下頁(yè)表所示：

表3.1

人數(shù)至少有兩人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來(lái)的.實(shí)際上,這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過(guò)23時(shí)，打賭說(shuō)至少有兩人同生日是有利的.請(qǐng)看演示：生日問(wèn)題“等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是：

在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的算法錯(cuò)在哪里？錯(cuò)在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？正確的答案是：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：

有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：

有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個(gè)人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：

有n個(gè)旅客，乘火