數(shù)學(xué)建模-彩票中的數(shù)學(xué)

彩票中的數(shù)學(xué)

前言：本文考慮了單注收益率、彩民心理因素、彩票設(shè)置公平度等因素，盡管量化這些因素不一定恰如其分，但以這些

因素構(gòu)造判別函數(shù)還是合理的，文章?lián)伺卸ìF(xiàn)行方案的優(yōu)劣，規(guī)劃岀更優(yōu)的方案。正如文章的討論所述所得

優(yōu)化方案與銷售額有關(guān)是一個大缺陷。許多地方并沒有為彩民提供恰當(dāng)?shù)男畔?，正確認(rèn)識和分析彩票活動。

摘要：本模型主要討論的是如何評判傳統(tǒng)型彩票和樂透型彩票的一般評獎方案的合理性問題。

首先根據(jù)彩票中獎規(guī)則，利用（假設(shè)為）古典概率求岀了這兩種類型彩票的各種獎項(xiàng)岀現(xiàn)的可能性。

把每注彩票是否中獎看成貝努利試驗(yàn)，在假設(shè)每期彩票的銷售量（足夠多，一般滿足）的前提下，由貝努利大數(shù)定律近似服從為正態(tài)分布，從而求岀了每注彩票的平均收益率。

在此基礎(chǔ)上，結(jié)合公平尺度，利用彩民的博彩心理因素構(gòu)造了評判方案合理性的判別函數(shù)，利用MATLAB6.1軟件編程計(jì)算，判別岀題目所給方案的獎金設(shè)置的優(yōu)劣，并且利用這個判別函數(shù)，我們建立了求解最優(yōu)方案的非線性規(guī)劃模型。

通過求解所建立的模型，找到在給定銷售注數(shù)下最優(yōu)方案及獎項(xiàng)和獎金額的設(shè)置。

關(guān)鍵詞：彩票；二項(xiàng)分布；期望收益率；判別函數(shù)

1問題的重述（略）

2模型的假設(shè)及符號說明

2.1模型的假設(shè)

1）每注彩票只可兌付最高獎級獎金，不可兼得，亦不能全餐；

2）假設(shè)彩票的規(guī)則是具有公平合理的原則；

3）假設(shè)彩票的發(fā)行費(fèi)用（被彩民分擔(dān)）不計(jì)，彩票總獎金比例一般為銷售總金額的50%

4）假設(shè)高項(xiàng)獎按事先設(shè)定的百分比分配，且按當(dāng)期的各獎級實(shí)際中獎注數(shù)來平均分配該獎

級；

5）獎金取的多少取決于當(dāng)期彩票投注額，投注額越多，獎金越高，反之亦然;

6）假設(shè)彩民大都存在博彩心理。

2.2符號說明

盯叭：我污壬1奔獎是否粧砸耒+即審"0我

=1,2,-,7）表示k等宴中獎注數(shù)；

=1,2,3）示i等獎的獎金額：

釗心表示當(dāng)期已骨出的膨栗注數(shù)；

即衣：仃-1,2,-,7）表麗每注農(nóng)票第l壩獎的獎金飆；

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為咕曲+3詁；

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7J邑?:表示一注中莫懸票彼取走的獎金比率，即單注卷果的晉為收益率;n

閉尺：表呑巣i零獎的申獎?chuàng)p卑（i-1,2,-.7）.

9山；仁=1,2,3）表示第i聲獎的獎金分配的百分比;表示爾彩心理屬數(shù)：

II）.表示撫項(xiàng)矍寰頜崔總獎項(xiàng)中廝占的比例；

護(hù)判別方家合厘性的判別函數(shù)n

3問題的分析

1求兩種類型彩票每注中各獎項(xiàng)的概率

設(shè)彩票有7等獎，對某一方案而言，每注彩票中各等獎的概率是可求的，分別用來表示中一等獎到七等獎的概率。由古典概率問題求得傳統(tǒng)型和樂透型概率如下

(略)

3.2設(shè)當(dāng)期銷售n注彩票.研究每注彩票的收益

由于出期膨味的總獎金與售出惡栗注數(shù)A有關(guān)*注彩墓中.獲得第=器獎的中共注數(shù)屯是隨機(jī)變量，且呂服從二項(xiàng)分布SP)即

p(e(=t>=cXd--

由貝驚利乂數(shù)定律可知，當(dāng)畀足棒犬時誌t近似服從正態(tài)井布，

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高項(xiàng)獎的第i等獎的獎金額置，由題目中給出的計(jì)算方法得

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若尿能示心=1,2,3?尊獎是否被取走談!1$眼從兩點(diǎn)分娥。毗=0表示；習(xí)某段皺取龍諱=1春示』等笑聯(lián)取龍，基甘布率為

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若W聯(lián)禾取走的獎金總額飛=主工血+立嬴仇它是一牛隨機(jī)變*rJHU-表示單注器累的[-1Ji.4ra

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取n=100萬，150萬，200萬，300萬，和J用公式⑴求出了題目表三中29種方案，在不同n下每注彩票的平均收益率，從運(yùn)算結(jié)果看，隨著n的增大，平均收益率趨于穩(wěn)定值1

3.3從公平因素出發(fā)進(jìn)行分析

利用公平原則確定獎金在各個獎項(xiàng)中分配情況，中獎的概率P與第i項(xiàng)獎單注中獎金

額具有相關(guān)性，即中獎可能性越小，獎金額越高，例如，在打麻將中，和邊與和夾的幾率相差近2倍，獲得報酬也差2倍。再者中獎幾率和成本有直接關(guān)系，假設(shè)中一等獎的概率是0.

001，中二等獎的概率是0.01，則一等獎平均抽1000注(需2000元)才能中一次，而二等獎需要100注(需200元)，可見中獎收益和中獎概率應(yīng)成反比，最理想的情況為中獎概率和獎金額乘積等于常數(shù)。我們把總獎金額分成低項(xiàng)、高項(xiàng)兩部分，在每項(xiàng)內(nèi)部考慮公平因素，若考慮獎項(xiàng)為1到7等獎的方案

F由一磯仏L,2J）,F円=tz（Jk=itf,c3為當(dāng)數(shù)

理忙I稱邃公式為公平尺廣.

若低項(xiàng)獎的百分比為"則高項(xiàng)獎的百分比拘H-叮，Etj低項(xiàng)獎內(nèi)揶公平尺度有以耳公式{碼刊=Pg=珂和=Pj#jJtP+*4+n巴打+nPj,#*+-srt（2）

由高取罠內(nèi)部公平尺度有以下金式

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平程度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但山于卩岡遠(yuǎn)小于】?所以d很小，設(shè)戶=AsX4記％總公屮:因子。

4博彩心理的因素分析

彩民的興趣大小與單注收益率、公平度相關(guān)。對一個方案，彩民的看法主要是由收益決定的，我們用這個量的某個函數(shù)來衡量該方案的彩民的吸引力，而彩民的看法是一個心理因素，是一個很難準(zhǔn)確衡量的量。根據(jù)心理學(xué)的知識，人的心理因素的變化可用博彩心理函數(shù)來近似刻畫，博彩心理與單注的收益率有關(guān)，因此，取博彩心理函數(shù)為

ii＞O）二1-qF

其中t二表示銷售注數(shù)°

4模型的建立與求解

綜合以上的分析，我們用影響方案合理性的三個因子：收益期望，公平因素，博彩因素，來構(gòu)造給定方案合理性的評判函數(shù)，并且通過求解這個函數(shù)的值來判定各方案的優(yōu)劣。

1評價函數(shù)的構(gòu)造（第一問的解答）

方案的嚼引力函數(shù)/二博彩因子-公平因于，即

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根據(jù)彩票目前每期開獎的有關(guān)資料，以及題目中對單注一等獎獎金的約束，取彩票銷售注數(shù)n=200萬注進(jìn)行計(jì)算。

以29個方案的有關(guān)數(shù)據(jù)代人判別函數(shù)廠中，求出廠的值，通過比較廠值的大小，我們可以確定給定的各種方案的優(yōu)劣。

由此得到對29個方案的排序?yàn)?/p>

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9,5,丄丄,8,7,丄9,20,丄6,24,丄O,6,22,丄8,25,丄2,26,丄3,丄4,23,丄5,丄7,2丄,29,2,27,3,28,4,丄

4.2第二問的模型及解答

由問題一的求解結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)型和無特別號（23號）的方案已不可能列入最優(yōu)方案中，因此，問題二中只需在樂透型彩票的兩種方案（M/N和M+1/N）進(jìn)行討論，我們需要

卓出當(dāng)取何值，貶幾個獎項(xiàng)，高項(xiàng)獎的百分比r,及低項(xiàng)獎的獎金鎮(zhèn)屁為零少時方秦聶

鍛優(yōu)方案的目林函載仍然為問齟一的判別跑數(shù)，其中的變盤AGWe*"根昭題白的喪詁舀出的甦據(jù)和冋廂--的討論”滿足如豐的條件

5樂M專卞，卻w卅W切，氛9乓r,w0上仃_1，氛3）

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若銷售*坯裁系，則t等獎械取走的概率為H-（I-已）?），平均有nP,建罌桌獲i等婪a

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因此加弋冷而N最大為60,因比占莖巻疼?可妁東曲理60裁…

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綜合以上的分析可得到問題二的求解模型為

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11二正'

n-200x10*

把樂透型的蘭種悄況的柢率巴代人E式，利用NATLAB6J鋼程計(jì)算得到此罪線性規(guī)劃問題的疑優(yōu)解為

M-■7：.vr込r,=0.77,乓L0.11,

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上述結(jié)果是當(dāng)期卷票的注數(shù)n-200X10*時,應(yīng)選掙的方案?？朴么嗣停覀兦蟮胷當(dāng)期彩栗的銷魯注數(shù)Ft「I[?77J5O萬諾旳萬「300萬,4W7jtm萬時，應(yīng)選擇的最優(yōu)方累

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5模型優(yōu)缺點(diǎn)的討論、

5.1優(yōu)點(diǎn)

本模型全面考慮了彩票的收益、公平度及博彩心理因素，建立了一個對彩票方案進(jìn)行評

價的模型。結(jié)合實(shí)例，用本模型可以尋找給定摸彩方法的最優(yōu)方案，并能對給定方案進(jìn)行評價。它利用評價函數(shù)，運(yùn)用公平尺度，結(jié)合收益原則，建立了優(yōu)化模型，這種方法是本模型最突出的特色。它使獎金的設(shè)置有章可循，在今后類似活動中有較科學(xué)的指導(dǎo)作用。

5.2缺點(diǎn)

本模型是對固定的銷售注數(shù)的基礎(chǔ)上，分析了給定摸彩方法的評判規(guī)則，并求出了最優(yōu)方案，但始終沒有能夠脫離銷售注數(shù)考慮問題，而且我們沒有解決設(shè)計(jì)不同的方案還會影響到銷售注數(shù)。

6寫的一篇短文

把握機(jī)會理智博彩

在高節(jié)奏的現(xiàn)代社會，人們的生活節(jié)拍加快，緊張的精神狀態(tài)渴求得到放松。彩票悄然走進(jìn)人們的生活，正在默默地發(fā)揮著心理按摩醫(yī)生的作用。

彩票是建立在機(jī)會均等的基礎(chǔ)上，公平競爭的娛樂性游戲。它把窮人和富翁的距離變得

不再遙遠(yuǎn)。它將成為社會保障基金多元化來源的一種，可以集中利用社會的閑散資金，“取之于民，用之于民”，用大家樂于支出的錢，辦大家希望辦成的事。不過值得注意的是，當(dāng)前人們在對彩票業(yè)的認(rèn)識和相關(guān)宣傳中存在著諸多似是而非的誤區(qū)。為了促進(jìn)這項(xiàng)具有重大意義的事業(yè)發(fā)展，我們通過對“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種彩票的各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎項(xiàng)和獎金額的設(shè)置的數(shù)學(xué)分析，給廣大彩民如下幾點(diǎn)建議：

一、購買彩票。奉獻(xiàn)愛心彩票是籌集資金的有效手段，在市場經(jīng)濟(jì)條件下，我國要大力發(fā)展教育、體育事業(yè)，搞好福利事業(yè)，完善社會保障體系，這些都需要大量資金，根據(jù)民政部門有關(guān)規(guī)定，彩票銷售總額的30％要作為社會福利基金專項(xiàng)專用，福利基金的三分之二用于本地區(qū)的社會福利事業(yè)，三分之一上交中央或本地政府調(diào)劑使用。所以購買一注彩票，既為自己增加了一次發(fā)財?shù)臋C(jī)會，也為社會奉獻(xiàn)了一片愛心。

二、把握尺度。合理購彩較高的預(yù)期收益總和較大的預(yù)期風(fēng)險相聯(lián)系。投資彩票游戲，并不是獲取收益的正常途徑。把彩票作為一種消遣，一種娛樂，把握尺度，合理購彩。忌當(dāng)成職業(yè)，透支賒帳博彩。彩民應(yīng)謹(jǐn)慎理智購彩，每期適當(dāng)投入幾元，既能買個希望夢想回家，也能享受開獎時刻的心動，又不至于因盲目的投入引發(fā)“家庭經(jīng)濟(jì)危機(jī)”。

三、講究投注的科學(xué)性。樹立彩民良好形象彩號的出現(xiàn)隨意性強(qiáng)，本身具有不可預(yù)測，是一種科學(xué)刺激、往往能帶給人驚喜的游戲。因此，彩票本身就是玩的心動與瀟灑。做一個文明彩民，將科學(xué)購彩進(jìn)行到底，把買彩當(dāng)作一項(xiàng)娛樂，重在參與。至今為止，還沒有發(fā)現(xiàn)哪一期特等獎的號碼是人為地被預(yù)先“研究”出來的。事實(shí)上，買彩者“心想”未必一定“事成”。購買者一定要理智對待。

從我們對“傳統(tǒng)型”和“樂透型”彩票中各種獎項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、對彩民的吸引力等因素的綜合分析中，可以看出，每注“樂透型”彩票比“傳統(tǒng)型”彩票的平均收益率大，而且樂透型彩票的趣味性也很高，它正逐漸成為世界彩票業(yè)的主流。

周而復(fù)始的夢想與希望，帶給人們的是一種輕松愉悅的心理體驗(yàn)過程，它能使人們在平時工作和生活中長期繃緊的神經(jīng)得以