現(xiàn)代控制工程基礎-講稿-4

3.7卡爾曼(Kalman)濾波

傳統(tǒng)濾波主要是依據(jù)有用信號與噪聲信號處于不同頻帶來實現(xiàn)。在20世紀中葉，人們根據(jù)實際信號的統(tǒng)計特性，利用最優(yōu)化方法給出了信號真值的估計方法。由于實際信號中往往包含噪聲和干擾信號，因此這種估計也可以看成是濾波?？柭鼮V波是通過對線性系統(tǒng)輸入/輸出信號的觀測數(shù)據(jù)，應用最優(yōu)化方法對線性系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計的算法。因此，卡爾曼濾波是一種線性最優(yōu)估計方法。

卡爾曼濾波方法易于計算機編程實現(xiàn),并能夠?qū)ΜF(xiàn)場采集的數(shù)據(jù)進行實時的估計。因此，卡爾曼濾波是目前應用最為廣泛的濾波方法,在控制、通信等多個領域得到了廣泛應用?，F(xiàn)代控制工程基礎條件：設受到均值為零的白噪聲ω(t)∈Rp干擾的線性系統(tǒng)為現(xiàn)代控制工程基礎（1）卡爾曼濾波問題ω(t)與ν(t)彼此不相關，它們的協(xié)方差矩陣為（δ(t-t0)是δ函數(shù)）其輸出含有均值為零的白噪聲ν(t)∈Rm，此時觀測方程為Q(t)和R(t)分別非負定對稱矩陣和正定對稱矩陣。初始狀態(tài)X(t0)的均值E[X(t0)]=b和協(xié)方差E[(X(t)-b)(X(t)-b)T]=P(t0)都為已知。協(xié)方差：表示二個變量的總誤差，定義為E[X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E(Y))T]現(xiàn)代控制工程基礎任務：我們的目標是從觀測信號z(t)中估計出系統(tǒng)的狀態(tài)變量X(t)，希望估計值越接近實際狀態(tài)值X(t)越好。這個問題就可表述為：對于已知的控制式和觀測式從時間t0開始觀測的值為z(t)，根據(jù)區(qū)間t0≤t≤t1內(nèi)的觀測值z(t)找出狀態(tài)X(t2)的最優(yōu)線性估計，即要求估計類型t2>t1，預測（或外推）問題t2=t1，濾波問題t2<t1，平滑（或內(nèi)插）問題卡爾曼濾波

是z(t)的線性函數(shù)估計無偏差估計誤差的方差最小現(xiàn)代控制工程基礎（2）卡爾曼濾波算法在T很小時有關系離散化取等間隔采樣t=Tk（T采樣周期，k=0,1,2,…），那么在一個采樣周期內(nèi)（可認為u(τ)=u(k)、ω(τ)=ω(k)），有觀測式的離散化為白噪聲序列ω(k)和ν(k)的均值為零，且滿足現(xiàn)代控制工程基礎

最優(yōu)預測算法已知：求：根據(jù)觀測序列z(0)，z(1)，…，z(k)找出狀態(tài)X(k+1)的最優(yōu)線性估計，使得：

是觀測序列z(0)，z(1)，…，z(k)的線性函數(shù)估計誤差的方差最小估計無偏差現(xiàn)代控制工程基礎解：卡爾曼預測估計計算的方法很多，用數(shù)學歸納法推演的預測估計遞推算法是：(a)由給定的和P0，令和(b)由下式計算t0時刻的最優(yōu)增益矩陣K(0)（觀測估計誤差的修正矩陣）(c)由下式計算X(1)的最優(yōu)預測估計(d)由下式計算估計誤差的方差矩陣P(1)(e)返回到(b)計算t1時刻（k=1）的K(1)，從而可計算重復遞推計算就可獲得k=0,1,2,…時的狀態(tài)預測估計值現(xiàn)代控制工程基礎

最優(yōu)濾波算法已知：求：根據(jù)觀測序列z(0)，z(1)，…，z(k+1)找出狀態(tài)X(k+1)的最優(yōu)線性估計，使得：

是觀測序列z(0)，z(1)，…，z(k+1)的線性函數(shù)估計誤差的方差最小估計無偏差現(xiàn)代控制工程基礎解：卡爾曼濾波計算的方法很多，仍用數(shù)學歸納法推演得到的濾波估計遞推算法是：(a)由給定的和P0，令和(b)由下式計算t1時刻的狀態(tài)估計誤差的方差矩陣P(1)(c)由下式計算t1時刻的最優(yōu)增益矩陣K(1)(d)由下式計算t1時刻的狀態(tài)估計(e)返回到(b)計算下一時刻的狀態(tài)估計重復遞推計算就可獲得k=0,1,2,…時的狀態(tài)估計值現(xiàn)代控制工程基礎5.魯棒控制(RobustControl)與應用5.1引言

以機器人為典型代表的Mechatrnics時代發(fā)展到現(xiàn)在，解決了許多過去單純由機械系統(tǒng)或電子系統(tǒng)無法和難以解決的問題。可以看到，Mechatrnics技術的發(fā)展，迫切需要解決復雜控制問題的先進控制理論和技術的支持，從而推動了現(xiàn)代控制理論的發(fā)展。在現(xiàn)代控制理論的研究中，尤其是允許被控系統(tǒng)存在某種程度不確定性的“魯棒控制”獲得驚人的發(fā)展，它為解決最優(yōu)控制需要準確模型等問題提供了有力的方法。現(xiàn)代控制工程基礎魯棒性(Robustness):指系統(tǒng)在不確定因素影響下保持某些性能的能力，或表示系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、響應特性、可控性等）對不確定性的“強壯”程度。

經(jīng)典控制理論利用相對穩(wěn)定概念和方法設計反饋控制，可使系統(tǒng)在不確定性的一定范圍內(nèi)仍能保持控制質(zhì)量。因此，經(jīng)典控制理論中的反饋控制本質(zhì)上是魯棒的。但是，經(jīng)典控制理論無法直接用于多輸入多輸出系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論給出了許多解析的控制方法，使控制系統(tǒng)的設計精確化，但是這些控制方法忽視了被控系統(tǒng)的不確定性。因此，現(xiàn)代控制，尤其是最優(yōu)控制還難以保證系統(tǒng)控制的魯棒性?，F(xiàn)代控制工程基礎

從控制角度來看，在最優(yōu)控制中既然不確定問題客觀存在，那么是否可以考慮補償不確定因素所帶來的影響，以保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制質(zhì)量。這就是魯棒控制研究的主要內(nèi)容，亦即被控系統(tǒng)含有不確定性時，如何設計控制使系統(tǒng)盡可能接近理想的指標。因此，魯棒控制是基于不確定因素的最優(yōu)控制。魯棒控制的基本思想是:對系統(tǒng)的不確定性，采用一種在某范圍內(nèi)變化的不確定量來描述，并將這個量用一定方式引入到控制計算中，由此獲得的最優(yōu)控制就具有魯棒性。5.2魯棒控制的基本概念（1）系統(tǒng)的不確定性描述

現(xiàn)代控制工程基礎

控制系統(tǒng)的不確定性一般分為兩類:

（1）外部不確定性，如干擾輸入等（2）內(nèi)部不確定性，如參數(shù)誤差、量測誤差等對于系統(tǒng)的不確定性，一般用一個系統(tǒng)集（Σ,ΔΣ）來描述，其中的Σ是系統(tǒng)的精確已知部分，稱為標稱系統(tǒng)；ΔΣ是系統(tǒng)不確定性因素所構成的集合。

在某時刻，實際系統(tǒng)可以認為是由標稱系統(tǒng)Σ和不確定性因素集合ΔΣ中的某個元素組成的?，F(xiàn)代控制工程基礎系統(tǒng)的不確定性往往采用不確定變量和不確定函數(shù)來表示，即對于線性系統(tǒng)，有θ是表示不確定性參量(或未知參量)Δf、Δg、Δh、Δd表示不確定性函數(shù)(或未知函數(shù))，也稱為攝動函數(shù)A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)是受不確定性參量影響的結(jié)構已知的矩陣ΔA、ΔB、ΔC、ΔD表示未知矩陣，也稱為攝動矩陣現(xiàn)代控制工程基礎對于傳遞函數(shù)描述的線性系統(tǒng)，其所含不確定性可表示為注：加法不確定性表示和乘法不確定性表示還可表示為G0(s)是系統(tǒng)的標稱傳遞函數(shù)ΔG(s)表示不確定性對應的傳遞函數(shù)，稱為未知傳遞函數(shù)

攝動量（函數(shù)）所表示的不確定性一般限于有限范圍內(nèi)，即攝動是有界的。若△G(s)是有界函數(shù)，即存在有理函數(shù)r(s)，滿足σmax(△G(ω))是△G(ω)的最大奇異值**奇異值：矩陣A*A的特征值的算術平方根，稱為矩陣A的奇異值（實矩陣有A*=AT）加法不確定性表示乘法不確定性表示W(wǎng)(s)是加權函數(shù)（一般是穩(wěn)定的有理函數(shù)）現(xiàn)代控制工程基礎例1：考察在摩擦系數(shù)為μ的路面上行駛的小車運動，若小車質(zhì)量為m，則在推動力f作用下的運動方程為實際上，運動中的小車載荷質(zhì)量m和路面磨擦系數(shù)μ都在變化，很難獲得它們的準確值，即小車運動方程中的系數(shù)具有不確定性。但是，小車載荷質(zhì)量m和路面磨擦系數(shù)μ的變化總是在某范圍內(nèi)，此時小車的運動方程可表示為（a、b為給定正常數(shù)）fvμvm即小車運動的標稱描述是微分方程，不確定性是一個參數(shù)集合現(xiàn)代控制工程基礎用傳遞函數(shù)描述就是式中顯然，描述不確定性的未知參量是△m、△μ。令系統(tǒng)的未知參數(shù)為則系統(tǒng)的運動方程又可表示為一般將A(θ)和B(θ)表示成標稱值和攝動量之和（2）函數(shù)的靈敏度(Sensitivity)

函數(shù)f(x1,…,xi,…,xn)對于變量xi的變化率，稱為函數(shù)f關于變量xi的靈敏度或感度，即

現(xiàn)代控制工程基礎

靈敏度表示如果僅當變量xi變化引起的f(x1,…,xi,…,xn)函數(shù)值變化很大，則表明函數(shù)f對變量xi的變化很敏感。但是，這樣定義的靈敏度不能完全反映函數(shù)f對任一變量xi(i=1,2,…,n)變化的敏感程度，因為各個變量的公稱數(shù)值在函數(shù)f中所占的比重一般是不同的。因此，嚴密的函數(shù)靈敏度定義是：現(xiàn)代控制工程基礎對于一個反饋控制系統(tǒng)，D(s)、G(s)分別是控制器和被控對象的傳遞函數(shù)。則反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為若被控對象有不確定的成分△G(s)<M（有界），閉環(huán)傳遞函數(shù)關于被控對象的靈敏度就是對于多變量系統(tǒng)就是現(xiàn)代控制工程基礎可以看出：（1）靈敏度S(s)仍然是關于復變量s的復變函數(shù)（2）靈敏度S(s)的大小表明系統(tǒng)受不確定性或變化的影響大小。靈敏度越小，表示系統(tǒng)受被控對象變化的影響越小，亦即系統(tǒng)在基本保持性能不變的情況下，允許被控對象有相對較大的變化（3）若閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)D(s)G(s)=Q(s)滿足從閉環(huán)控制系統(tǒng)對被控對象的靈敏度的情況下，有||S(s)||<<1，表明此時閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒性強。

靈敏度是對系統(tǒng)受不確定性因素影響程度的一種描述。因此，使靈敏度最小（或||S(s)||<<1）可作為控制設計的目標?，F(xiàn)代控制工程基礎（3）攝動界函數(shù)攝動量（函數(shù)）是對系統(tǒng)不確定性的一種描述，常采用H∞范數(shù)*來量測其攝動的范圍或大小，一般是有界攝動。稱攝動量（函數(shù)）的界函數(shù)為攝動界函數(shù)。在例1中，小車載荷質(zhì)量的攝動設為因此，傳遞函數(shù)G(s)用攝動函數(shù)r(s)表示就為顯然，小車系統(tǒng)傳遞函數(shù)的攝動函數(shù)r(s)滿足||r(s)||<<1時，系統(tǒng)的實際模型越接近標稱模型。*標量函數(shù)f(s)的H∞范數(shù)的定義：現(xiàn)代控制工程基礎

確定攝動界函數(shù)十分重要，確定的原則是：盡可能減少對不確定性分析的保守性，即使界函數(shù)所包含的攝動盡可能接近實際情況。

攝動界函數(shù)r(s)設計的一般方法是辨識法：在辨識獲得系統(tǒng)實際頻率特性函數(shù)G(ω)的基礎上，計算實際頻率特性函數(shù)G(ω)與標稱頻率特性函數(shù)G0(ω)的差，然后確定一個階數(shù)較低的能完全覆蓋且逼近（G(ω)-G0(ω)）的函數(shù)r(ω)。ω|G(ω)-G0(ω)||r(ω)|現(xiàn)代控制工程基礎（4）函數(shù)空間和H∞范數(shù)常見的函數(shù)空間有：Lp空間：滿足以下條件的可測函數(shù)*f:R+→R的集合L∞空間：滿足以下條件的可測函數(shù)f:R+→R的集合*可測函數(shù)：可由一個分段連續(xù)函數(shù)序列來逼近的函數(shù)*解析函數(shù)：在鄰域內(nèi)處處可導的函數(shù)，可展成收斂級數(shù)H2空間：在復平面的閉右半平面解析*，且滿足以下條件的復函數(shù)

f:C→C的集合H∞空間：在復平面的閉右半平面解析*，且在虛軸上的模有上確界（即滿足下式）的有理復函數(shù)f:C→C的集合現(xiàn)代控制工程基礎對于標量函數(shù)f(t)或f(s)，常見的范數(shù)有：Lp范數(shù)：L∞范數(shù)：H2范數(shù)：H∞范數(shù)：現(xiàn)代控制工程基礎穩(wěn)定性：系統(tǒng)受到擾動后的運動有界或能回復到原平衡狀態(tài)的性能

穩(wěn)定性有兩個含義:(1)系統(tǒng)在無外部輸入激勵下，受由擾動引起的初始狀態(tài)的影響的運動有界或能回到原平衡狀態(tài)。這是Lyapunov穩(wěn)定，稱為內(nèi)部穩(wěn)定性。

(2)系統(tǒng)對每個有界輸入，其輸出均是有界的。這種穩(wěn)定稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定，簡稱BIBO穩(wěn)定。一般地，系統(tǒng)輸出有界與系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)有界不等價。但是，對于線性定常系統(tǒng)，其輸出有界當且僅當內(nèi)部狀態(tài)有界，此時BIBO穩(wěn)定等價于內(nèi)部穩(wěn)定。5.3魯棒穩(wěn)定性現(xiàn)代控制工程基礎魯棒穩(wěn)定性：表示控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性對系統(tǒng)不確定性的保持能力。反映系統(tǒng)的不確定性或變化對其穩(wěn)定性的影響，或系統(tǒng)對多大程度上的不確定性仍能保持系統(tǒng)穩(wěn)定的能力。

一般地，對于被控對象的不確定性，設計不同的控制器所獲得的控制性能對不確定性的敏感程度(魯棒性)也是不同的。諸如穩(wěn)定性、干擾抑制性、最優(yōu)性等控制性能，對于系統(tǒng)中的不確定性的敏感性反映系統(tǒng)相關性能的“強壯”程度。相應地就有魯棒穩(wěn)定性、魯棒干擾抑制性、魯棒最優(yōu)性等?，F(xiàn)代控制工程基礎魯棒穩(wěn)定性的判據(jù)：G(s)K(s)u(t)y(t)-

考察右圖所示控制系統(tǒng)，G(s)是被控對象，K(s)是反饋器。設攝動函數(shù)△G(s)穩(wěn)定，r(s)是未知攝動△G(s)的穩(wěn)定界函數(shù)。那么，有(1)若未知攝動△G(s)有界，且滿足，則反饋控制系統(tǒng)對任意的未知攝動△G(s)是魯棒穩(wěn)定的充要條件是(2)若S(s)=(I+G(s)K(s))-1是系統(tǒng)對G(s)的靈敏度，對反饋控制系統(tǒng)的不確定性加法表示[G(s)+△G(s)r(s)]()，系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件是

由于有，則認為信號的L2范數(shù)是信號的能量的話，H∞范數(shù)就是表達信號在系統(tǒng)中傳遞，輸出與輸入的能量增益的最大值。

H∞范數(shù)可以用于對系統(tǒng)幅頻特性進行修正，即用界函數(shù)代替幅頻特性。H∞控制就是用函數(shù)的H∞范數(shù)作為設計指標的一種控制。（1）H∞范數(shù)的基本特性現(xiàn)代控制工程基礎5.4H∞控制的基本方法現(xiàn)代控制工程基礎以H∞范數(shù)作為指標設計的控制系統(tǒng)，可以表示成：G(s)K(s)wzyuu——控制輸入信號w——干擾輸入信號z——評價信號，或廣義輸出信號y——可量測輸出信號G(s)——含有不確定性的被控對象狀態(tài)空間表達式可以表示成：w到z的傳遞函數(shù)為yu注意：被控對象中的不確定性部分被抽出為ΔG時，H∞控制標準問題的基本結(jié)構就是G0(s)K(s)wzΔGba現(xiàn)代控制工程基礎

控制系