《信息光學(xué)》第二章二維線性系統(tǒng)

本章主要內(nèi)容1、線性系統(tǒng)2、線性不變系統(tǒng)3、抽樣定理1、線性系統(tǒng)用算符描述系統(tǒng)的作用！1）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示1、線性系統(tǒng)2）線性系統(tǒng)的定義

若對于任意兩個輸入函數(shù)f1和f2對于任意復(fù)數(shù)常數(shù)a1和a2，均有如下關(guān)系成立：則表明該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)！1、線性系統(tǒng)圖例：線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)1、線性系統(tǒng)3）基元函數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)（系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)）一系列的“基元函數(shù)”的和分解（傅里葉級數(shù)展開）（這些基元函數(shù)可能是函數(shù)、階躍函數(shù)、余弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)等形式）對應(yīng)的“基元函數(shù)”響應(yīng)的和合成如何確定基元函數(shù)的響應(yīng)？1、線性系統(tǒng)

舉例：選取基元函數(shù)為脈沖函數(shù)(函數(shù))根據(jù)脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)，可將任意函數(shù)分解為：任意函數(shù)都可以看作xy平面上不同位置處的很多函數(shù)的線性組合，而每一個位于(,)坐標(biāo)的函數(shù)的權(quán)重因子就是函數(shù)在該點的數(shù)值f(,)。這種分解方法稱為脈沖分解。于是系統(tǒng)的輸出為：由于系統(tǒng)是線性的，系統(tǒng)算符可以寫進(jìn)積分號內(nèi)(與積分算符交換順序)，直接作用到各個基元函數(shù)上：1、線性系統(tǒng)若令

它表示系統(tǒng)輸出平面(x,y)點對應(yīng)于輸入平面坐標(biāo)(,)點的函數(shù)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。系統(tǒng)輸出：上式描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的關(guān)系，稱其為“疊加積分”；只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點的脈沖響應(yīng)，就可以通過疊加積分完全確定系統(tǒng)的輸出；若系統(tǒng)輸入和輸出滿足上述疊加積分關(guān)系，該系統(tǒng)必然是線性系統(tǒng)。2、線性不變系統(tǒng)1）線性不變系統(tǒng)——線性系統(tǒng)的一個子類根據(jù)“疊加積分”原理，只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點的脈沖響應(yīng)，就可以通過疊加積分完全確定系統(tǒng)的輸出。但是，要得到輸入平面上所有可能位置上的脈沖響應(yīng)是非常困難的，甚至是不可能的。2）線性不變系統(tǒng)的定義若一個空間脈沖在輸入平面位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生了相應(yīng)位移，這樣的系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)。若若輸入脈沖延遲時間，其相應(yīng)h僅僅有相應(yīng)的時間延遲，而函數(shù)形式不變，這樣的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。2、線性不變系統(tǒng)疊加積分：卷積積分：對于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的作用可以用統(tǒng)一的一個脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征，系統(tǒng)的分析得到簡化！2、線性不變系統(tǒng)3）線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)卷積定理輸入頻譜輸出頻譜傳遞函數(shù)從空間域入手計算系統(tǒng)的輸出從頻率域入手計算系統(tǒng)的輸出*傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換.2、線性不變系統(tǒng)對于線性不變系統(tǒng)，可以找到更適合的“基元函數(shù)”，即復(fù)指數(shù)函數(shù)。根據(jù)傅立葉逆變換有：當(dāng)f(x,y)作為輸入時，系統(tǒng)輸出為：上式表明函數(shù)f(x,y)可以看成是很多不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，F(xiàn)(fx,fy)表示各種頻率成分的權(quán)重，這種分解方法稱為傅里葉分解。同理，根據(jù)線性疊加性質(zhì)，有根據(jù)傅里葉變換有？2、線性不變系統(tǒng)把輸入函數(shù)分解為各種不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，各個基元復(fù)指數(shù)函數(shù)在通過線性不變系統(tǒng)，仍然還是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)，但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、線性不變系統(tǒng)4）線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)什么叫本征函數(shù)？對于線性不變系統(tǒng)，輸入某一函數(shù)，如果相應(yīng)的輸出函數(shù)僅等于輸入函數(shù)與一個復(fù)比例常數(shù)的乘積，那么這個輸入函數(shù)就稱為這種系統(tǒng)的本征函數(shù)。(K是一復(fù)比例常數(shù))課后思考題試證明：復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)，即2、線性不變系統(tǒng)5）線性不變系統(tǒng)作為濾波器（濾波函數(shù)）系統(tǒng)級連（濾波器相連）3、抽樣定理1）在實現(xiàn)信息的記錄、存儲、發(fā)送和處理時，由于物理器件有限的信息容量，一個連續(xù)函數(shù)往往要用它在一些分立的取樣點上的函數(shù)值，即抽樣值表示。如何選擇抽樣間隔，才能恢復(fù)出原有連續(xù)函數(shù)？這就是抽樣定理要研究的問題。2）函數(shù)的抽樣利用梳狀函數(shù)對連續(xù)函數(shù)g(x,y)抽樣，有抽樣函數(shù)有函數(shù)的陣列構(gòu)成，各個空間脈沖在x方向和y方向的間距分別是X和Y。根據(jù)卷積定理，抽樣函數(shù)的頻譜為3、抽樣定理原函數(shù)的頻譜抽樣函數(shù)的頻譜2Bx2By假定g(x,y)是限帶函數(shù)，其頻譜Gs僅在頻率平面一個有限區(qū)域R內(nèi)不為零。若2Bx和2By分別表示包圍R的最小矩形在fx和fy方向上的寬度，則只要或Gs中各個頻譜區(qū)域就不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象；這樣，就可以使用濾波的方法，從Gs中抽取出原函數(shù)的頻譜G，從而恢復(fù)出原函數(shù)。3、抽樣定理因此，能由抽樣值還原原函數(shù)的條件就是：1)g(x,y)是限帶函數(shù)；2)在x,y方向抽樣點最大允許間隔分別是1/2Bx和1/2By，其中2Bx和2By是包圍G(fx,fy)的最小矩形在fx和fy上的寬度。3）函數(shù)的還原選擇一個合適的濾波器，將抽樣函數(shù)作為輸入，可使輸出為原函數(shù)，即恢復(fù)出原函數(shù)。3、抽樣定理假設(shè)選擇矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，即根據(jù)卷積定理，可得到若取最大允許的抽樣間隔，則即只要滿足抽樣的條件，在每個抽樣點上放置一個抽樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)作為內(nèi)插函數(shù)，由這些sinc函數(shù)的線性組合就可復(fù)原原函數(shù)。上式稱為惠特克-香農(nóng)抽樣定理。3、抽樣定理4）空間帶寬積若限帶函數(shù)在頻域、以外恒等于零，考慮函數(shù)在空域、的區(qū)間上抽樣數(shù)目最少應(yīng)為

*空間帶寬積SW定義為函數(shù)在空域和頻域中所占面積之積

空間帶寬積用來描述空間信號（如圖像）的信息量以及光學(xué)成像系統(tǒng)、信息處理系統(tǒng)能夠傳遞或處理的信息容量。

本章小結(jié)1）線性系統(tǒng)理論是傅里葉光學(xué)的理論基礎(chǔ)。傅里葉光學(xué)研究的就是光信息在線性系統(tǒng)中的傳遞、處理、變換和存儲等。2）線性系統(tǒng)滿足疊加積分的關(guān)系，利用這一關(guān)系，只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能點上的脈沖的響應(yīng)，就可確定出系統(tǒng)的輸出。但只有線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)才具有相同的函數(shù)形式。3）可同時從空域和頻域兩個角度研究信息在線性不變系統(tǒng)中傳輸?shù)男再|(zhì)。對于線性不變系統(tǒng)