第3講 頻率域穩(wěn)定判據(jù)

5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如圖，n階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：則開環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)顯然，輔助方程的階數(shù)為n階，且分子分母同階。還可以寫成：由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：

F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；

F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；

因此，如果F(s)的零點(diǎn)都位于S平面的左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。構(gòu)造閉環(huán)特征方程為輔助方程：……..(c)。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。假設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)為單值函數(shù)，且除了S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù)，也就是說F(s)在S平面上除奇點(diǎn)外處處解析，那么，對(duì)于S平面上的每個(gè)解析點(diǎn)，在F(s)平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。

[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：S平面與F(s)平面的映射關(guān)系

對(duì)于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線（稱為的映射）。同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖

曲線是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。[S]c[F]柯西幅角原理：設(shè)在Ｓ平面的右半側(cè)：有F(s)的ｚ個(gè)零點(diǎn)(閉環(huán)極點(diǎn))和Ｐ個(gè)極點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn))被Ｃ閉曲線包圍，當(dāng)某點(diǎn)Ｓ沿Ｃ一周時(shí)有：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。原點(diǎn)的圈數(shù)為包圍令SFRpzR)(),(-=pzpzpszsSFjpjiZi360*)(360*360)()()(11°-=°-°*=+D-+D=D??==若R>0，表示逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若R<0，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若R=0，不包圍原點(diǎn)。證明過程略（見教材）用輔助函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性仍不大方便。實(shí)際上，開環(huán)傳遞函數(shù)與輔助函數(shù)之間的關(guān)系非常簡(jiǎn)單，即上式意味著將F(s)平面的縱軸向右平移一個(gè)單位后構(gòu)成的平面，即為GH平面（如下圖）。

F(s)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)是GH平面的點(diǎn)。因此，f

繞F(s)平面原點(diǎn)的周數(shù)等效于s

繞GH平面點(diǎn)的周數(shù)。(-1,j0)00[GH][F]1需要解決兩個(gè)問題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)R，并由R確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。1、先假設(shè)G(s)H(s)在s平面虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針方向做一條曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：S平面閉合曲線的選擇映射到GH平面的圖形如下版Nyquist軌跡s由于正負(fù)虛軸在S平面上以實(shí)軸為對(duì)稱，它們?cè)贕H平面上的映射也應(yīng)對(duì)稱于實(shí)軸。奈氏軌跡的無窮大半圓弧在GH平面上的映射為常數(shù)K，當(dāng)n>m時(shí)，無窮大半圓弧在GH平面上的映射是它的坐標(biāo)原點(diǎn)（K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)）。s

在GH平面上的映射奈氏軌跡s

在GH平面上的映射稱為奈奎斯特曲線或奈氏曲線。2、當(dāng)G(s)H(s)在S平面的虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過開環(huán)極點(diǎn)(奇異點(diǎn))，軌跡必須避開虛軸上的所有開環(huán)極點(diǎn)。下版圖表示當(dāng)有開環(huán)極點(diǎn)為零時(shí)的奈氏軌跡和對(duì)應(yīng)的奈氏曲線映射，其中（1）（2）和（3）部分的定義與前面相同，第（4）部分為用一個(gè)半徑為無窮小的弧繞開原點(diǎn)（包括虛軸）上的極點(diǎn)。

圖1中第（4）部分無窮小半圓弧在GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為弧度。圖2（a）、（b）分別表示當(dāng)v=1和v=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是s的無窮小半圓弧在GH平面上的映射。圖1虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏軌跡圖2時(shí)的奈氏曲線s奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，平面上的開環(huán)頻率特性，按逆時(shí)針方向包圍點(diǎn)P周。當(dāng)位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0時(shí)，即當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于S平面左半部（包括原點(diǎn)和虛軸）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線不包圍GH平面的點(diǎn)。從上面的分析可知，奈氏曲線實(shí)際上是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的擴(kuò)展。當(dāng)已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性后，根據(jù)它的極坐標(biāo)圖和系統(tǒng)的性質(zhì)（是否含有積分環(huán)節(jié)、開環(huán)傳遞函數(shù)中分子分母的最高階次等）便可方便地在GH平面上繪制出奈氏曲線。由此得到基于開環(huán)頻率特性的奈氏判據(jù)如下：[例1]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點(diǎn)為-1，

-1j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為：Z=P-R=0+2=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[例2]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，R=1，而P=1，則Z=P-R=0,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)k=1時(shí)，奈氏曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。一種簡(jiǎn)易的奈氏判據(jù)正、負(fù)穿越的概念

G(jω)H(jω)曲線對(duì)稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用表示。負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用表示。

正穿越負(fù)穿越

若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。奈氏判據(jù)又可表述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變化到時(shí)，G(jω)H(jω)曲線在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之和為P/2

次。

P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時(shí)

Z=P-R=P-2N,N=N+-N-

若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是正、負(fù)穿越次數(shù)之和N=0。注意：這里對(duì)應(yīng)的ω變化范圍是。

例3:某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面(P=2)，G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(-1，j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋篘=

求得：Z=P-2N=2-2=0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。例4:兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:(a):N=N+-N–=（0-1）=-1，如已知P=0，所以

Z=P-2N=2

系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(b)

：K>1時(shí)，N=N+-N-=1-1/2=-1/2，如已知P=1，所以Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

K<1時(shí)，N=N+-N-=0-1/2=-1/2，如已知P=1，所以Z=P-2N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

K=1時(shí)，奈氏曲線穿過(-1,j0)

點(diǎn)兩次(對(duì)稱)，說明有兩個(gè)根在虛軸上，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

不穿過(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)負(fù)穿過(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)[例5]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，只看其中的一半圖形，穿過(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N-=N+=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)：Z=P-2N=0,故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[例6]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。解法一，從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而P=0，故Z=P-R=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解法二，只看其中的0—+∞的一半圖形（紅線），正、負(fù)穿越各一次，N+-N-=0，故Z=P-2N=P-2(N+-N-)=0,閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[例7]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：解法一，從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈，R=-2。因P=0，所以Z=P-R=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解法二，只看其中的0—+∞的一半圖形（紅線），負(fù)穿越一次,N-=1,故Z=P-2N=P-2(-N-)=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。

極坐標(biāo)圖 伯德圖

單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域 0db線以下區(qū)域 單位圓以外區(qū)域 0db線以上區(qū)域 負(fù)實(shí)軸 -1800線（相頻特性圖）因此，奈氏曲線自上而下