第4章 幾何變換

第四章

圖像的幾何變換

數(shù)字圖像的幾何變換就是對圖像進(jìn)行如下處理：改變圖像的幾何位置、幾何形狀、幾何尺寸等幾何特征。

幾何變換的特點(diǎn)是：改變圖像像素的空間位置，而不改變像素灰度值。本章主要內(nèi)容：4.1位置變換：圖像的平移、鏡像、旋轉(zhuǎn)4.2形狀變換：圖像的縮放、錯切4.1圖像的位置變換圖像的位置變換是指圖像的尺寸和形狀不發(fā)生變化，只是將圖像進(jìn)行平移，或者作鏡像變換，或者進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。圖像的位置變換的一個應(yīng)用實例：目標(biāo)配準(zhǔn)。4.1.1圖像的平移目的：改變圖像在畫布上的位置。方法：將圖像的所有像素都按要求進(jìn)行垂直或者水平移動。

設(shè)圖像的任一像素坐標(biāo)為(i,j),圖像在畫布上沿行方向與列方向分別移動Δi與Δj。假設(shè)平移后的像素坐標(biāo)為（i’,j’)。則平移計算公式為：

注意：i與j是原圖像的像素坐標(biāo)，i’與j’是平移后的圖像像素坐標(biāo)。4.1.1圖像的平移平移后的圖像內(nèi)容沒有變化。但“畫布”一定要擴(kuò)大，否則就會丟失信息。將圖像進(jìn)行平移，取Δi＝1與Δj＝2畫布沒有擴(kuò)大畫布擴(kuò)大板書計算photoshop演示4.1.2圖像的鏡像（翻轉(zhuǎn)）鏡像分為水平鏡像和垂直鏡像

一、水平鏡像（水平翻轉(zhuǎn)）

以圖像垂直中軸線為中心，交換圖像的左右兩部部分。假設(shè)圖像的大小為M×N，水平鏡像計算公式為：123123123123其中，（i,j)為原圖像某個像素的坐標(biāo)，（i’,j’)為該像素在新圖像中的坐標(biāo)。123123二、垂直鏡像（垂直翻轉(zhuǎn)）

以圖像水平中軸線為中心，交換圖像的上下兩部分。設(shè)圖像的大小為M×N，垂直鏡像的計算公式為：123123其中，（i,j)為原圖像某個像素的坐標(biāo)，（i’,j’)為該像素在新圖像中的坐標(biāo)。4.1.2圖像的鏡像photoshop演示4.1.3圖像的旋轉(zhuǎn)這個計算公式計算出的值為小數(shù)，而坐標(biāo)值為正整數(shù)。計算結(jié)果中的新坐標(biāo)值可能超過原圖像所在的空間范圍。圖像的旋轉(zhuǎn)：以圖像中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)，按照順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度。圖像逆時針旋轉(zhuǎn)的計算公式如下：圖像旋轉(zhuǎn)時，為了避免信息的丟失，應(yīng)當(dāng)擴(kuò)大畫布，并將旋轉(zhuǎn)后的圖像平移到新畫布上。圖像的旋轉(zhuǎn)例題結(jié)論：按照圖像旋轉(zhuǎn)計算公式獲得的結(jié)果與想象中的差異很大。板書：計算像素（1，1）的旋轉(zhuǎn)新坐標(biāo)圖像旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了兩個問題：1）因為相鄰像素之間只能有8個方向，而旋轉(zhuǎn)方向卻是任意的，使得像素的排列不是完全按照原有的相鄰關(guān)系。2）會出現(xiàn)許多的空洞點(diǎn)。我們來看一個旋轉(zhuǎn)圖像的畫面效果。空洞點(diǎn)

新圖像中的空洞可以采用插值方法填充插值方法有兩種方式：一、近鄰插值法二、均值插值法一、近鄰插值法對于判斷為空洞點(diǎn)的像素，用其同一行（或列）中的相鄰像素值來填充。二、均值插值法對于空洞的像素，用其相鄰四個像素的平均顏色來填充。（0，128，0）（255，0，0）（102，204，254）（0，102，254）（89，109，127）計算平均顏色

經(jīng)過插值處理之后，圖像效果就變得自然。Photoshop演示鏡像與旋轉(zhuǎn)4.2圖像的形狀變換所謂圖像的形狀變換是指圖像的形狀發(fā)生了變化，主要包括放大、縮小、錯切等。4.2.1圖像的縮小圖像縮小有按比例縮小和不按比例縮小兩種情況。圖像縮小之后，像素的個數(shù)減少，承載的信息量小了，畫布可相應(yīng)縮小。圖像縮小方法有兩種：（1）基于等間隔采樣的縮小方法；（2）基于局部均值的縮小方法。(a)按比例縮小(b)不按比例縮小一、基于等間隔采樣的圖像縮小方法原理：該方法通過對原圖像的均勻采樣，等間隔地選取一部分像素，從而獲得小尺寸圖像的數(shù)據(jù)，并且盡量保持原有圖像特征不丟失。6×63×3算法描述：設(shè)原圖像大小為M×N,縮小為k1M×k2N，（k1<1，k2<1）。算法步驟如下：1）設(shè)舊圖像是f(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.新圖像是g(i,j),i=1,2,…,k1M,j=1,2,…,k2N.2）計算采樣間隔Δi=1/k1，Δj=1/k23）g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)例題:縮小6×6的圖像，設(shè)k1=2/3,k2=3/4;f21f23f24f25f26f31f33f34f35f36f51f53f54f55f56f61f63f64f65f66根據(jù)：g(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)對于：i=1，j＝1→g(1,1)=f(1×3/2,1×4/3)＝f21對于：i=2，j＝1→g(2,1)=f(2×3/2,1×4/3)＝f31……………f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66注意：不按比例縮小會導(dǎo)致幾何畸變。采樣間隔：Δi=3/2，Δj=4/3原圖像f（i,j)＝fij新圖像g（i,j）f11f12f13f14f15f16f21f22f23f24f25f26f31f32f33f34f35f36f41f42f43f44f45f46f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66新圖像大小：k1M×k2N＝4×5板書計算二、基于局部均值的的圖像縮小方法

由于基于等間隔采樣的方法無法反映未被采樣的像素信息。為此可采用基于局部均值的圖像縮小方法，其實現(xiàn)步驟如下：(1)計算新圖像的大小，計算采樣間隔Δi=1/k1，Δj=1/k2(2)對新圖像的像素g（i,j)，計算其在原圖像中對應(yīng)的子塊f(i,j)：

（3）根據(jù)下式求出縮小的圖像：例題：k1=0.7,k2=0.6→Δi=1.4,Δj=1.7板書演算：f（1，1），f（3，4）

4.2.2圖像放大圖像放大有兩種：按比例放大或不按比例放大。圖像放大從字面上看，是圖像縮小的逆操作。但是，從信息處理的角度來看，圖像縮小是對信息的一種簡化，而圖像放大則需要為增加的像素填入適當(dāng)?shù)幕叶戎?，是對未知信息的估計。兩種圖像放大方法：（1）基于像素放大原理的圖像放大方法（2）基于雙線性插值的圖像放大方法

4.2.2.1基于像素放大原理的圖像放大方法基本思想是：如果需要將原圖像放大k倍，則將原圖像中的每個像素值，填在新圖像中對應(yīng)的k×k大小的子塊中。放大5倍當(dāng)圖像放大k1×k2倍，就好像每個像素放大了k1×k2倍。算法描述：設(shè)原圖像大小為M×N,放大為k1M×k2N，（k1>1，k2>1）。算法步驟如下：1）設(shè)原圖像是F(i,j):i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.新圖像是G(i,j):i=1,2,…,k1M;j=1,2,…,k2N.2）計算采樣間隔：Δi=1/k1

Δj=1/k23）G(i,j)=f(Δi×i,Δj×j)以上方法與等間隔采樣的圖像縮小方法步驟相同例題k1=1.2；k2=2.5→Δi=0.83;Δj=0.4G(i,j)=f(Δi×i;,Δj×j;)教材g16有誤G(2,4)的板書計算G為4×8的新圖像

4.2.2.2基于雙線性插值的圖像放大方法基于雙線性插值的圖像放大方法能夠有效消除圖像高倍放大時出現(xiàn)的“馬賽克現(xiàn)象”，使得圖像的放大效果更加自然。請看potoshop軟件的演示效果比較。（先縮10倍）算法步驟如下：(1)按照基于像素放大原理的圖像放大方法，確定每一個原圖像的像素在新圖像中對應(yīng)的子塊。(2)對新圖像中每一個子塊，僅對其一個像素進(jìn)行填充。在每個子塊中選取一個填充像素的方法如下：對右下角的子塊，選取子塊中右下角的像素；對末列、非末行子塊，選取子塊中的右上角像素；對末行、非末列子塊，選取子塊中的左下角像素；對剩余的子塊，選取子塊中的左上角像素。(3)通過雙線性插值方法計算剩余像素的值。對所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以根據(jù)該像素的上方與下方的已填充的像素值，采用雙線性插值方法計算得到。第i2行g(shù)(i1,j)g(i2,j)g(i,j)第i1行第i行第j列板書計算g(3,1)對剩余像素的值，可以利用該像素的左方與右方的已填充像素的值，通過線性插值方法計算得到。

g(i,j1)g(i,j2)g(i,j)第j1

列第j列第j2列第i行板書計算g(1,2)g(2,7)的推測Photoshop演示算法效果4.2.3圖像錯切圖像的錯切變換可看成是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。錯切變換可分為兩種。一種是水平錯切，水平方向的線段發(fā)生傾斜。另一種是垂直錯切，垂直方向的線段發(fā)生傾斜。錯切的計算公式如下：圖像錯切的例題圖像錯切后的像素行、列坐標(biāo)中只有一種發(fā)生了變化。圖像旋轉(zhuǎn)，則是行坐標(biāo)與列坐標(biāo)同時發(fā)生變化。Photoshop的實驗綜合運(yùn)用幾何變換技術(shù)計算f(1,1)的新坐標(biāo)4.3圖像的仿射變換圖像仿射變換提出的意義是采用通用的數(shù)學(xué)變換公式，來表示前面給出的幾何變換。為了能夠采用統(tǒng)一變換公式表示平移變換，引入齊次坐標(biāo)概念。平移公式：4.3.1齊次坐標(biāo)原坐標(biāo)為(x,y)，定義齊次坐標(biāo)為：（wx,wy,w）

這里，令系數(shù)w取值為1，即像素（i，j）的齊次坐標(biāo)為（i，j，1）。4.3.2仿射變換可以定義仿射變換如下：有了齊次坐標(biāo)，就可以用矩陣形式表示為：圖像的平移：圖像的旋轉(zhuǎn)：4.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換4.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換圖像的水平鏡像：圖像的垂直鏡像：4.3.3仿射變換表示圖像的幾何變換圖像的水平錯切：圖像的垂直錯切：投影變換是指在某個視點(diǎn)下，三維物體在平面上的投影。術(shù)語：視點(diǎn)；投影面；投影線如下圖所示，當(dāng)視點(diǎn)位于z軸（0,0,h)，物體上的點(diǎn)p(x,y,z)在平面上的投影P(X,Y,0)的計算公式如下：xyzVp=(0,0,h)

視點(diǎn)p(x,y,z)

空間上的點(diǎn)P(X,Y,0)

投影面上的點(diǎn)4.4投影變換例題z=0時，X=hx/h=x,Y=hy/h=yz=1時，X=hx/(h-1)=1.5xY=hy/(h-1)=1.5y所以：P1=(1,1)P2=(2,1)P3=(1,2)P4=(2,2)P5=(1.5,1.5)P6=(3,1.5)P7=(1.5,3)P8=(3,3)已知立方體的8個頂點(diǎn)：p1=(1,1,0)p2=(2,1,0)p3=(1,2,0)p4=(2,2,0)P5=(1,1,1)p6=(2,1,1)p7=(1,2,1)p8=(2,2,1)假設(shè)視點(diǎn)位于(0,0,3)，即h=3，求立方體各頂點(diǎn)在XOY平面上的投影。p1p3p4p2p5p6p7p8xzy投影變換的結(jié)果:根據(jù)視點(diǎn)到投影面之間的距離是否為無窮遠(yuǎn)，將投影方式分為透視投影和平行投影兩種。4.4.1透視投影

視點(diǎn)到投影面之間的距離有限。透視投影的特點(diǎn)是：模擬了照相機(jī)的拍攝效果，如平行線的投影可能不再保持平行；近處物體的投影相對要大些。立方體的透視投影效果透視投影效果原理示意圖視點(diǎn)位于無窮遠(yuǎn)，因此只須指明投影方向與投影平面。平行投影的特點(diǎn)是：平行線的投影仍然保持平行，投影結(jié)果與物體到投影面的距離無關(guān)。4.4.2平行投影立方體的平行投影效果平行投影原理示意圖4.5圖像幾何畸變的校正當(dāng)鏡頭沒有正對拍攝目標(biāo)物時，即目標(biāo)物不是垂直于成像面上時，就會發(fā)生幾何畸變。

常見的有枕形或桶形的圖像畸變，例如二維條碼圖像的畸變：

常見的有枕