第5章 圖像復(fù)原

本章重點(diǎn)：圖像退化的一般模型非約束復(fù)原方法約束復(fù)原方法非線性復(fù)原方法第5章圖像復(fù)原

5.1基本概念5.2非約束復(fù)原5.3有約束復(fù)原5.4非線性復(fù)原方法5.5幾種其他圖像復(fù)原技術(shù)5.6小結(jié)第5章圖像復(fù)原

5.1基本概念5.1.1圖像退化一般模型5.1.2成像系統(tǒng)的基本定義5.1.3連續(xù)函數(shù)的退化模型5.1.4離散函數(shù)的退化模型圖像退化：圖像再形成、傳輸和記錄過程中，由于成像系統(tǒng)、傳輸介質(zhì)和設(shè)備的不完善，導(dǎo)致圖像質(zhì)量下降。典型表現(xiàn)：模糊、失真、噪聲原因：光學(xué)系統(tǒng)的像差、衍射、非線性、幾何畸變、成像系統(tǒng)與被攝物體的相對運(yùn)動(dòng)、大氣湍流效應(yīng)等。圖像的復(fù)原：盡可能恢復(fù)圖像的本來面目，沿著圖像退化的逆過程恢復(fù)圖像。典型的圖像復(fù)原：根據(jù)圖像退化的先驗(yàn)知識建立一個(gè)退化模型，以此模型為基礎(chǔ)，采用各種逆退化處理來進(jìn)行恢復(fù)，使圖像質(zhì)量得到改善。一般過程：弄清退化原因—建立退化模型—反向推演—恢復(fù)圖像評價(jià)準(zhǔn)則：最小均方準(zhǔn)則、加權(quán)均方準(zhǔn)則、最大熵準(zhǔn)則與圖像增強(qiáng)的區(qū)別：二者目的都是改善圖像質(zhì)量。圖像增強(qiáng)不考慮退化，不顧后果，只要看著舒服就行。復(fù)原需要知道退化機(jī)制等先驗(yàn)知識，據(jù)此找出相應(yīng)的逆過程解算方法，從而得到復(fù)原的圖像。5.1.1圖像退化一般模型圖像恢復(fù)處理的關(guān)鍵問題在于建立退化模型。在缺乏足夠的先驗(yàn)知識的情況下，可利用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)對模糊或噪聲等退化過程進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立及描述，并針對此退化過程的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行圖像復(fù)原。圖像退化過程的先驗(yàn)知識在圖像復(fù)原技術(shù)中起著重要作用。在濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，就相當(dāng)于尋求點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)。點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)是成像系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。其物理概念為：物點(diǎn)經(jīng)成像系統(tǒng)后不再是一點(diǎn)，而是一個(gè)彌散的同心圓。如果成像系統(tǒng)是一個(gè)空間不變系統(tǒng)，則物平面的點(diǎn)光源在物場中移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)光源的像只改變其位置而并不改變其函數(shù)形式，可以利用同一函數(shù)形式處理圖像平面中的每一個(gè)點(diǎn)。5.1.1圖像退化一般模型退化過程被模型化為一個(gè)系統(tǒng)(或算子)H，原始圖像f(x，y)在經(jīng)過該系統(tǒng)退化作用后與一個(gè)加性噪聲n(x，y)相疊加而產(chǎn)生出最終的退化圖像g(x，y)?？捎脭?shù)學(xué)表達(dá)式表示為：f(x,y)Hn(x,y)g(x,y)圖5-1圖像退化的一般過程（5-1）

5.1.2成像系統(tǒng)的基本定義

在信號處理領(lǐng)域中，常常提及線性移不變系統(tǒng)（或線性空間不變系統(tǒng)），線性移不變系統(tǒng)有許多重要的性質(zhì)，合理地利用這些性質(zhì)將有利于我們對問題的處理。線性移不變系統(tǒng)的定義：如果輸入信號為f1(x,y),f2(x,y)，對應(yīng)的輸出信號為g1(x,y),g2(x,y)，通過系統(tǒng)后有下式成立：

那么，系統(tǒng)H是—個(gè)線性系統(tǒng)。其中k1,k2為常數(shù)，如果k1=k2=1，則

如果H為線性系統(tǒng)，那么，兩個(gè)輸入之和的響應(yīng)等于兩個(gè)響應(yīng)之和。顯然，線性系統(tǒng)的特性為求解多個(gè)激勵(lì)情況下的輸出響應(yīng)帶來很大方便。

5.1.2成像系統(tǒng)的基本定義如果一個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，稱為時(shí)不變系統(tǒng)或非時(shí)變系統(tǒng)。否則，就稱該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。對于二維函數(shù)來說，如果則H是移不變系統(tǒng)(或稱為位置不變系統(tǒng)，或稱空間不變系統(tǒng))，式中的α和β分別是空間位置的位移量。說明：系統(tǒng)的輸入在x與y方向上分別移動(dòng)了α和β，系統(tǒng)輸出對于輸入的關(guān)系仍然未變，移動(dòng)后圖像中任一點(diǎn)通過該系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于在該點(diǎn)的輸入值，而與該點(diǎn)的位置無關(guān)。5.1.2成像系統(tǒng)的基本定義在圖像復(fù)原處理中，往往用線性和空間不變性的系統(tǒng)模型加以近似。這種近似的優(yōu)點(diǎn)是使線性系統(tǒng)理論中的許多理論可直接用于解決圖像復(fù)原問題。圖像復(fù)原處理特別是數(shù)字圖像復(fù)原處理主要采用的是線性的、空間不變的復(fù)原技術(shù)。5.1.3連續(xù)函數(shù)的退化模型

一幅連續(xù)的輸入圖像f(x,y)可以看作是由一系列點(diǎn)源組成的。因此，f(x,y)可以通過點(diǎn)源函數(shù)的卷積來表示。即在不考慮噪聲的一般情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過退化系統(tǒng)H后的輸出為（5-6）（5-5）5.1.3連續(xù)函數(shù)的退化模型

把式（5-5）代入到式（5-6）可知，輸出函數(shù)對于非線性或者空間變化系統(tǒng)，要從上式求出f(x,y)是非常困難的。

為了使求解具有實(shí)際意義，現(xiàn)在只考慮線性和空間不變系統(tǒng)的圖像退化。（5-7）對于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后的輸出顯然有：

其中稱為該退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)對坐標(biāo)為處的沖激函數(shù)的響應(yīng)。

式（5-8）表明，只要已知系統(tǒng)對沖激函數(shù)的響應(yīng)，那么就可以非常清楚地知道退化圖像是如何形成的。5.1.3連續(xù)函數(shù)的退化模型當(dāng)沖激響應(yīng)函數(shù)已知時(shí)，從f(x,y)得到g(x,y)非常容易，但從g(x,y)恢復(fù)得到f(x,y)卻仍然是件不容易的事。在這種情況下，退化系統(tǒng)的輸出就是輸入圖像信號與該系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積：事實(shí)上，圖像退化除成像系統(tǒng)本身的因素之外，還要受到噪聲的污染，如果假定噪聲n(x,y)為加性白噪聲，這時(shí)式（5-9）可以寫成：5.1.3連續(xù)函數(shù)的退化模型式（5-10）是連續(xù)函數(shù)的退化模型。

圖像復(fù)原實(shí)際上就是已知的情況下，從（5-10）式求的問題。進(jìn)行圖像復(fù)原的關(guān)鍵問題是尋求降質(zhì)系統(tǒng)在空間域上沖激響應(yīng)函數(shù)。5.1.4離散函數(shù)的退化模型

為方便計(jì)算機(jī)對退化圖像進(jìn)行恢復(fù)，必須對式(5-10)中的退化圖像、退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)、要恢復(fù)的輸入圖像進(jìn)行均勻采樣離散化。因此，需要將連續(xù)函數(shù)模型轉(zhuǎn)化并引申出離散的退化模型。為了研究方便，先考慮一維情況，然后再推廣到二維離散圖像的退化模型。

5.1.4離散函數(shù)的退化模型1.一維離散情況退化模型為使討論簡化，暫不考慮噪聲存在。設(shè)f(x)為具有A個(gè)采樣值的離散輸入函數(shù)，h(x)為具有B個(gè)采樣值的退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，則經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)為輸入f(x)和沖激響應(yīng)h(x)的卷積：分別對f(x)和h(x)用添零延伸的方法擴(kuò)展成周期M≥A+B-1的周期函數(shù)，即5.1.4離散函數(shù)的退化模型

5.1.4離散函數(shù)的退化模型

5.1.4離散函數(shù)的退化模型

代入到式(5-15)，因此M×M階矩陣H可寫為:式中，g，f都是M維列向量，H是M×M階矩陣，矩陣中的每一行元素均相同，只是每行以循環(huán)方式右移一位，因此矩陣H是循環(huán)矩陣?？梢宰C明：循環(huán)矩陣相加還是循環(huán)矩陣，循環(huán)矩陣相乘還是循環(huán)矩陣。5.1.4離散函數(shù)的退化模型

2．二維離散模型

展成M≥A+C-1和N≥B+D-1個(gè)元素的周期函數(shù)。5.1.4離散函數(shù)的退化模型

則輸出的降質(zhì)數(shù)字圖像為：式中x=0,1,2,…,M-1;y=0,1,2,…,N-1。式(5-19)的二維離散退化模型同樣可以采用矩陣表示形式：5.1.4離散函數(shù)的退化模型

式中g(shù),f是MN×1維列向量，H是MN×MN維矩陣。其方法是將g(x,y)和f(x,y)中的元素堆積起來排成列向量。5.1.4離散函數(shù)的退化模型

如果考慮到噪聲的影響，一個(gè)更加完整的離散圖像退化模型可以寫成如下形式：上述離散退化模型是在線性空間不變的前提下得出的。目的是在給定g(x,y)，并且知道退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)和噪聲分布n(x,y)的情況下，估計(jì)出沒退化前的原始圖像f(x,y)。這種退化模型已為許多恢復(fù)方法所采用，并有良好的復(fù)原效果。在實(shí)際應(yīng)用，要想從式(5-26)得出，其計(jì)算工作是十分困難的。為了解決這樣的問題，必須利用循環(huán)矩陣的性質(zhì)，來簡化運(yùn)算得到可以實(shí)現(xiàn)的方法。5.2非約束復(fù)原5.2.1非約束復(fù)原的代數(shù)方法5.2.2逆濾波器方法5.2.1非約束復(fù)原的代數(shù)方法圖像復(fù)原的主要目的是在假設(shè)具備退化圖像g及H和n的某些知識的前提下，估計(jì)出原始圖像f的估計(jì)值，估計(jì)值應(yīng)使準(zhǔn)則為最優(yōu)（常用最?。?。如果僅僅要求某種優(yōu)化準(zhǔn)則為最小，不考慮其它任何條件約束，這種復(fù)原方法為非約束復(fù)原方法。代數(shù)復(fù)原方法的中心是尋找一個(gè)估計(jì)，使事先確定的某種優(yōu)化準(zhǔn)則為最小。如果退化模型是式(5-26)的形式，就可以用線性代數(shù)中的理論解決圖像復(fù)原問題。我們可以選擇最小二乘方作為優(yōu)化準(zhǔn)則的基礎(chǔ)。5.2.1非約束復(fù)原的代數(shù)方法在并不了解噪聲項(xiàng)n的情況下，希望找到一個(gè)f，使得對在最小乘方意義上來說近似于g，也就是說，希望找到一個(gè)f，使得：5.2.1非約束復(fù)原的代數(shù)方法實(shí)際上是求的極小值問題。求式(5-30)的極小值方法可以采用一般的求極值的方法進(jìn)行處理。5.2.2逆濾波器方法逆濾波復(fù)原法也叫做反向?yàn)V波法，其主要過程是首先將要處理的數(shù)字圖像從空間域轉(zhuǎn)換到傅立葉頻率域中，進(jìn)行反向?yàn)V波后再由頻率域轉(zhuǎn)回到空間域，從而得到復(fù)原的圖像信號?；驹砣缦?。如果退化圖像為g(x，y)，原始圖像為f(x,y)，在不考慮噪聲的情況下，其退化模型用（5-8）式表示，現(xiàn)將其重寫如下：5.2.2逆濾波器方法逆濾波法復(fù)原的基本原理：H(u,v)可以理解為成像系統(tǒng)的“濾波”傳遞函數(shù)，在頻域中系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與原圖像信號相乘實(shí)現(xiàn)“正向?yàn)V波”，這里,G(u,v)除以H(u,v)起到了“反向?yàn)V波”的作用，這意味著，如果已知退化圖像的傅立葉變換和“濾波”傳遞函數(shù)，則可以求得原始圖像的傅立葉變換，經(jīng)反傅立葉變換就可求得原始圖像f(x，y)。5.2.2逆濾波器方法F(x,y)H(u,v)M(u,v)N(u,v)G(u,v)圖5-2實(shí)際的逆濾波處理框圖

圖5-2的模型包括了退化和恢復(fù)運(yùn)算。退化和恢復(fù)總的傳遞函數(shù)可用H(u,v)M(u,v)來表示。H(u,v)叫做輸入傳遞函數(shù)，M(u,v)叫做處理傳遞函數(shù)，H(u,v)M(u,v)叫做輸出傳遞函數(shù)。一般情況下，將圖像的退化過程視為一個(gè)具有一定帶寬的帶通濾波器，隨著頻率的升高，該濾波器的帶通特性很快下降，即H(u,v)的幅度隨著離u，v平面原點(diǎn)的距離的增加而迅速下降，而噪聲項(xiàng)N(u，v)的幅度變化是比較平緩的。在遠(yuǎn)離u,v平面的原點(diǎn)時(shí)，N(u，v)／H(u,v)的值就會變得很大，而對于大多數(shù)圖像來說，F(xiàn)(u,v)卻變小，在這種情況下，噪聲反而占優(yōu)勢，自然無法滿意地恢復(fù)出原始圖像。這一規(guī)律說明，應(yīng)用逆濾波時(shí)僅在原點(diǎn)鄰城內(nèi)采用1／H(u,v)方能奏效。

5.3有約束復(fù)原5.3.1有約束的最小二乘方圖像復(fù)原5.3.2維納濾波方法5.3.3有約束最小平方濾波5.3.4去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊5.3.1有約束的最小二乘方圖像復(fù)原有約束圖像復(fù)原技術(shù)是指除了要求了解關(guān)于退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之外，還需要知道某些噪聲的統(tǒng)計(jì)特性或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。根據(jù)所了解的噪聲的先驗(yàn)知識的不同，采用不同的約束條件，從而得到不同的圖像復(fù)原技術(shù)。最常見的是有約束的最小二乘方圖像復(fù)原技術(shù)。在最小二乘方復(fù)原處理中，有時(shí)為了在數(shù)學(xué)上更容易處理，常常附加某種約束條件。例如，可以令Q為f的線性算子，那么，最小二乘方復(fù)原問題可看成是使形式為||Qf||2的函數(shù)，服從約束條件的最小化問題。5.3.1有約束的最小二乘方圖像復(fù)原為最小。式中λ為一常數(shù)，是拉格朗日系數(shù)。加上約束條件后，就可以按一般求極小值的方法進(jìn)行求解。5.3.1有約束的最小二乘方圖像復(fù)原5.3.1有約束的最小二乘方圖像復(fù)原式中1/λ必須調(diào)整到約束條件被滿足為止。求解式(5-45)的核心就是如何選用一個(gè)合適的變換矩陣Q。選擇Q形式不同，就可得到不同類型的有約束的最小二乘方圖像復(fù)原方法。如果選用圖像f和噪聲n的相關(guān)矩陣Rf和Rn表示Q就可以得到維納濾波復(fù)原方法。如選用拉普拉斯算子形式，即使某個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)最小，就可推導(dǎo)出有約束最小平方恢復(fù)方法。5.3.2維納濾波方法維納濾波是假設(shè)圖像信號可近似看成為平穩(wěn)隨機(jī)過程的前提下，按照使原圖像和估計(jì)圖像之間的均方誤差達(dá)到最小的準(zhǔn)則函數(shù)來實(shí)現(xiàn)圖像復(fù)原的。從式(5-44)出發(fā)，將式(5-44)重寫如下：其中Rf和Rn分別是圖像f和噪聲n的相關(guān)矩陣，因?yàn)閳D像f和噪聲n的每個(gè)元素值都是實(shí)數(shù)，所以Rf和Rn都是實(shí)對稱矩陣。5.3.2維納濾波方法在大部分圖像中，鄰近的像素點(diǎn)是高度相關(guān)的，而距離較遠(yuǎn)的像素其相關(guān)性卻較弱。由此，典型的圖像自相關(guān)函數(shù)通常隨著與原點(diǎn)距離的增加而下降。圖像的功率譜隨著頻率的升高而下降。也就是典型的相關(guān)矩陣只在主對角線方向上有一條非零元素帶，而在右上角和左下角的區(qū)域?qū)榱阒?。像素的相關(guān)性只是它們相互距離而不是位置函數(shù)的性質(zhì)，可將Rf和Rn都用塊循環(huán)矩陣表達(dá)。設(shè)W為變換矩陣，A和B分別對應(yīng)于Rf和Rn相應(yīng)的對角矩陣，根據(jù)循環(huán)矩陣對角化的性質(zhì)可知，A和B中的諸元素分別為Rf和Rn中諸元素的傅立葉變換，并用Sf(u,v)和Sn(u,v)表示。5.3.2維納濾波方法

把式(5-49)代人到式(5-45)，并考慮到H也是循環(huán)矩陣，也可以對角化，即可以寫成：H＝WDW－1

，代入式(5-46)，得：5.3.3有約束最小平方濾波維納濾波的最優(yōu)準(zhǔn)則是以圖像和噪聲的相關(guān)矩陣為基礎(chǔ)的，所得到的結(jié)果是對一族圖像在平均的意義上是最佳的，同時(shí)要求圖像和噪聲都屬于隨機(jī)場，并且它的頻譜密度是已知的。在實(shí)際情況下，人們往往沒有這一方面的先驗(yàn)知識，一般很難得到，除非采取適當(dāng)?shù)墓β首V模型。有約束最小平方復(fù)原是一種以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法。在用該方法復(fù)原過程中，對每個(gè)給定的圖像都是最佳的。它只需要知道有關(guān)噪聲的均值和方差的先驗(yàn)知識就可對每個(gè)給定的圖像得到最優(yōu)結(jié)果。5.3.3有約束最小平方濾波有約束最小平方復(fù)原仍然是以最小二乘方濾波復(fù)原式(5-45)為基礎(chǔ)的，關(guān)鍵是如何選擇合適的變換矩陣Q。下面先從一維情況進(jìn)行討論，然后擴(kuò)展到二維。如給定一維離散函數(shù)f(x)，該函數(shù)在某一點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)可近似表示為：5.3.3有約束最小平方濾波矩陣C稱為平滑矩陣，f為圖像向量。對于二維情況f(x,y)在(x,y)處的二階導(dǎo)數(shù)可用下式近似：5.3.3有約束最小平方濾波（5-60）與有約束的最小二乘方圖像復(fù)原準(zhǔn)則函數(shù)式(5-43)及復(fù)原函數(shù)式(5-45)進(jìn)行比較，可以理解式(5-43)中的變換矩陣Q相當(dāng)于約束最小平方復(fù)原的最佳準(zhǔn)則中的平滑矩陣C，由此可得：5.3.3有約束最小平方濾波對應(yīng)于每一個(gè)元素(當(dāng)M=N)．可表示成：上式u=0,1,2,…,N-1;v=0,1,2,…,N-1。是一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，當(dāng)調(diào)節(jié)滿足時(shí)，式（5-69）才能達(dá)到最優(yōu)。5.3.3有約束最小平方濾波上述介紹的圖像復(fù)原是假設(shè)退化系統(tǒng)是空間不變，信號和噪聲是平穩(wěn)的條件下得到的，對于隨空間改變的模糊、時(shí)變模糊，以及非平穩(wěn)信號與噪聲的系統(tǒng)引起的模糊，其精確的圖像復(fù)原方法要復(fù)雜很多。5.3.4去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊

在獲取圖像過程中，由于景物和攝像機(jī)之間的相對運(yùn)動(dòng)，往往造成圖像的模糊。其中由均勻直線運(yùn)動(dòng)所造成的模糊圖像的恢復(fù)問題更具有一般性和普遍意義。因?yàn)樽兯俚?、非直線的運(yùn)動(dòng)在某些條件下可以看成是均勻的、直線運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果。由目標(biāo)物或攝像機(jī)相對運(yùn)動(dòng)造成圖像模糊的模型。設(shè)圖像f(x,y)有一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)，令x0(t)和y0(t)分別為在x和y方向上運(yùn)動(dòng)的變化分量。t表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。記錄介質(zhì)的總曝光量是在快門打開到關(guān)閉這段時(shí)間的積分。則模糊后的圖像為：5.3.4去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊

5.3.4去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊

若x(t)，y(t)的性質(zhì)已知，傳遞函數(shù)可直接由式（5-73）求出，因此，f(x,y)可以恢復(fù)出來。下面直接給出沿水平方向和垂直方向勻速運(yùn)動(dòng)造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)的近似表達(dá)式。由水平方向均勻直線運(yùn)動(dòng)造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)用以下兩式表示：5.3.4去除由勻速運(yùn)動(dòng)引起的模糊

由垂直方向均勻直線運(yùn)動(dòng)造成的圖像模糊模型及恢復(fù)用以下兩式表示：5.4非線性復(fù)原方法5.4.1最大后驗(yàn)復(fù)原5.4.2最大熵復(fù)原5.4.3投影復(fù)原方法5.4非線性復(fù)原方法前面兩節(jié)介紹的還原方法有一個(gè)顯著的特點(diǎn)：約束方程和準(zhǔn)則函數(shù)中的表達(dá)式都可改寫為矩陣乘法、這些矩陣都是分塊循環(huán)陣，從而可實(shí)現(xiàn)對角化。下面兩節(jié)介紹的方法則都屬于非線性復(fù)原方法。所采用的準(zhǔn)則函數(shù)都不能用W進(jìn)行對角化。因而線性代數(shù)的方法在這里是不適用的。5.4.1最大后驗(yàn)復(fù)原設(shè)f(x,y)和g(x,y)都作為隨機(jī)場、根據(jù)貝葉斯判決理論可知，若f(x,y)使下式最大,即求：圖像g(x,y)時(shí)，最大后驗(yàn)估值意義下對原圖像的估計(jì)。根據(jù)這一準(zhǔn)則導(dǎo)出的濾波復(fù)原方法稱為最大后驗(yàn)復(fù)原。

在最大后驗(yàn)復(fù)原中，將f,g看為非平穩(wěn)隨機(jī)場，通過假設(shè)圖像模型是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)場對一個(gè)不平穩(wěn)的均值作零均值Gauss起伏，可得出求解迭代序列：5.4.2最大熵復(fù)原由于反向?yàn)V波法的病態(tài)性，復(fù)原出的圖像經(jīng)常具有灰度變換較大的不均勻區(qū)域。下面介紹另一種通過最大化某種反映圖像平滑性的準(zhǔn)則函數(shù)來作為約束條件，以解決圖像復(fù)原中的病態(tài)的方法。首先我們假定圖像函數(shù)具有非負(fù)值，即：5.4.2最大熵復(fù)原其中B為最小的噪聲絕對值?？梢岳脠D像熵和噪聲熵來刻劃圖像的平滑性或均勻性。如何在滿足式（5-85）和圖像退化模型的約束條件下使復(fù)原后的圖像熵和噪聲熵最大。引入如下的拉格朗日函數(shù)：式中λmn(m,n=1,2,…,N)和β是拉格朗日乘子，ρ是加權(quán)因子。用于強(qiáng)調(diào)Hf和Hn之間的相互作用關(guān)系。5.4.2最大熵復(fù)原5.4.2最大熵復(fù)原使用迭代方法在一定的條件下總能得到上述方程組的解，從而獲得復(fù)原后的圖像，這種方法稱為最大熵復(fù)原方法。它還有其他變化形式，例如定義不同形式的熵可獲得不同的復(fù)原方法。最大熵復(fù)原方法隱含了正值約束條件，使復(fù)原后的圖像比較平滑，這種復(fù)原方法的效果比較理想，但缺點(diǎn)是計(jì)算量太大。5.4.3投影復(fù)原方法無論線性或非線性變質(zhì)系統(tǒng)，都可以用一代數(shù)方程組來描述：其中f(x,y)是原景物圖像；g(x,y)是變質(zhì)圖像；n(x,y)是系統(tǒng)噪聲；D是變質(zhì)算子，表示對景物進(jìn)行某種運(yùn)算。圖像復(fù)原的目的是解（5-90）式方程，找出f(x,y)的最好估值。非線性代數(shù)復(fù)原方法中一個(gè)有效方法是迭代法，投影復(fù)原方法就是迭代法之一。5.4.3投影復(fù)原方法

所謂迭代法是首先假設(shè)一個(gè)初始估值f(0)(x，y)，然后進(jìn)行迭代運(yùn)算。第k＋1次迭代值f(k＋1)(x，y)由其前次迭代值f(k)(x，y)決定。一個(gè)最好的初始估值可能是其中f和g分別是景物f（x，y）和退化圖像g（x，y）的采樣。αij為常數(shù)。對f（x，y）和g（x，y）的采樣數(shù)目分別為M和N，現(xiàn)在需要找到f的最好估值。采用投影迭代法實(shí)現(xiàn)。5.4.3投影復(fù)原方法

投影復(fù)原方法可以從幾何學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋。f=[f1

，f2

，…，fn]可看成在N維空間中的一個(gè)向量或一點(diǎn)，而（5-92）式中的每一個(gè)方程式代表一個(gè)超平面。我們選取初始估值為那么下一個(gè)推測值f(1)

取f(0)在第一個(gè)超平面：其中α1=[α11

，α12

，…，α1N]，式中的圓點(diǎn)代表向量的點(diǎn)積。然后類似于式(5-95)，我們再取f(2)在第二超平面：5.4.3投影復(fù)原方法

上的投影，……直到（5-92）中最后一個(gè)方程式，這就實(shí)現(xiàn)了第二個(gè)選代循環(huán)。接著上述方法連續(xù)不斷地迭代下去，便可得一系列向量f(0)

，f(M)

，f(2M)，……可以證明，對于任何給定的N，M和αij，向量f(KM)將收斂于f，即而且，如果(5-92)式有唯一解，那么f就是這個(gè)解。如果(5-92)式有無窮多個(gè)解，那么f是使下式取最小值的解由上可見，投影迭代法要求有一個(gè)好的初始估值f(0)開始迭代，才能獲得好的結(jié)果。5.5幾種其他圖像復(fù)原技術(shù)5.5.1幾何畸變校正5.5.2盲目圖像復(fù)原5.5.1幾何畸變校正在圖像的獲取或顯示過程中往往會產(chǎn)生幾何失真。這主要是由于攝像管攝像機(jī)及陰極射線管顯示器的掃描偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)有一定的非線性，因此會造成如圖5.4所示的枕形失真或桶形失真。圖(a)為原始圖像，圖(b)和圖(c)為失真圖像。5.5.1幾何畸變校正斜視角度獲得的圖像的透視失真。由于地球表面呈球形，攝取的平面圖像也將會有較大的幾何失真。對于這些圖像必須加以校正，以免影響分析精度。由成像系統(tǒng)引起的幾何畸變的校正有兩種方法:一種是預(yù)畸變法，采用與畸變相反的非線性掃描偏轉(zhuǎn)法，用來抵消預(yù)計(jì)的圖像畸變；另一種是后驗(yàn)校正方法。用多項(xiàng)式曲線在水平和垂直方向去擬合每一畸變的網(wǎng)線，然后求得反變化的校正函數(shù)。用這個(gè)校正函數(shù)即可校正畸變的圖像。5.5.1幾何畸變校正圖像的空間幾何畸變及其校正過程示意圖：5.5.1幾何畸變校正任意幾何失真都可由非失真坐標(biāo)系(x,y)變換到失真坐標(biāo)系的方程來定義。方程的一般形式為：設(shè)f(x,y)是無失真的原始圖像，而g(x’,y’)是f(x,y)畸變的結(jié)果，這一失真的過程是已知的，并且用函數(shù)h1和h2定義。于是有：5.5.1幾何畸變校正在圖像中本來應(yīng)該出現(xiàn)在像素(x,y)上的灰度值由于失真實(shí)際上卻出現(xiàn)在(x’,y’)上了。這種失真的復(fù)原問題實(shí)際上是映射變換問題。在給定了g(x’,y’),h1(x,y),h2(x,v)的情況下，其復(fù)原處理可如下進(jìn)行：5.5.1幾何畸變校正f(x,y)中點(diǎn)(x0,y0)的灰度值由g(x’,y’)中4個(gè)點(diǎn)的灰度值間的某種內(nèi)插法來確定。在以上方法的幾何校正處理中，如果得出的點(diǎn)處在圖像g(x’,y’)之外，則不能確定其灰度值，而且校正后的圖像多半不能保持其原來的矩形形狀。以上討論的是g,h1,h2都知道的情況下幾何畸變的校正方法。如果只知道g，而h1和h2都不知道，但是若有類似規(guī)則的網(wǎng)格之類的圖案可供參考利用，那么就有可能通過測量g中的網(wǎng)格點(diǎn)的位置來決定失真變換的近似值。5.5.2盲目圖像復(fù)原多數(shù)的圖像復(fù)原技術(shù)都是以圖像退化的某種先驗(yàn)知識為基礎(chǔ)，也就是假定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是已知的,即成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)已知。但在許多情況下難以確定退化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。在這種情況下，必須從觀察圖像中以某種方式抽出退化信息，從而找出圖像復(fù)原方法。這種方法就是所謂的盲目圖像復(fù)原。對具有加性噪聲的模糊圖像作盲目圖像復(fù)原的方法有兩種：直接測量法和間接估計(jì)法。5.5.2盲目圖像復(fù)原直接測量法通常要測量圖像的模糊脈沖響應(yīng)和噪聲功率譜或協(xié)方差函數(shù)。在所觀察的景物中，往往點(diǎn)光源能直接指示出沖激響應(yīng)。另外，圖像邊緣是否陡峭也能用來推測模糊沖激響應(yīng)。在背景亮度相對恒定的區(qū)域內(nèi)測量圖像的協(xié)方差可以估計(jì)出觀測圖像的噪聲協(xié)方差函數(shù)。間接估計(jì)法盲目圖像復(fù)原類似于多圖像平均法處理。如在電視系統(tǒng)中，觀測到的第i幀圖像為式中是fi(x,y)原始圖像，gi(x,y)是含有噪聲的圖像，ni(x,y)是加性噪聲。如果原始圖像在M幀觀測圖像內(nèi)保持恒定，對M幀觀測圖像求和，得到下式之關(guān)系：5.5.2盲目圖像復(fù)原當(dāng)M很大時(shí)，式（5-106）右邊的噪聲項(xiàng)的值趨向于它的數(shù)學(xué)期望值。一般情況下，白色高斯噪聲在所有(x，y)上的數(shù)學(xué)期望都等于零，因此，合理的估計(jì)量是：以上利用多幅相同的圖像進(jìn)行平均以實(shí)現(xiàn)對加性噪聲的消除，同理，盲目圖像復(fù)原的間接估計(jì)法也可以利用時(shí)間上平均的概念去掉圖像中的模糊。圖像重建是指根據(jù)對物體的探測獲取的數(shù)據(jù)來重新建立圖像。用于重建圖像的數(shù)據(jù)一般是分時(shí)、分步取得的。圖像重建是圖像處理中一個(gè)重要研究分支，其重要意義在于獲取被檢測物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的圖像而不對物體造成任何物理上的損傷。它在各個(gè)不同的應(yīng)用領(lǐng)域中顯示出獨(dú)特的重要性。例如：醫(yī)療放射學(xué)、核醫(yī)學(xué)、電子顯微、無線電雷達(dá)天文學(xué)、光顯微和全息成像學(xué)及理論視覺等領(lǐng)域都多有應(yīng)用。5.6圖像重建

根據(jù)成像光源的獲取方式和成像機(jī)理的不同，可以將圖像重建分為三種不同的檢測模型:透射模型、發(fā)射模型和反射模型。投影重建一般是指從一個(gè)物體對多條射線的透射投影重建二維圖像的過程。當(dāng)射線穿過物體時(shí)在檢測器上得到的值就叫做射線的投影。根據(jù)投影可以初步了解組織對射線的吸收強(qiáng)度，但是不可能準(zhǔn)確地判斷物體內(nèi)密度分布情況。