布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型3

第八章

布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型

第一節(jié)證券價(jià)格的變化過(guò)程

一、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫過(guò)程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過(guò)渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。效率市場(chǎng)假說(shuō)可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。

弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)可用馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（MarkovStochasticProcess）來(lái)表述。隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。二、布朗運(yùn)動(dòng)

（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（6.1）：

（6.1）其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(2)特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，和的值相互獨(dú)立。

考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形，我們可得：

（6.2）當(dāng)0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：（6.3）（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)

我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x的普通布朗運(yùn)動(dòng)：（6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

三、伊藤過(guò)程

普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過(guò)程（ItoProcess）：(6.5）

其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

四、證券價(jià)格的變化過(guò)程證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為μS、方差率為

的伊藤過(guò)程來(lái)表示：兩邊同除以S得：（6.6）

從（6.6）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見(jiàn)，也具有正態(tài)分布特征(6.7)例6.1設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年20%，其目前的市價(jià)為100元，求一周后該股票價(jià)格變化值的概率分布。

五、、伊伊藤藤引引理理若變變量量x遵循循伊伊藤藤過(guò)過(guò)程程，，則則變變量量x和t的函函數(shù)數(shù)G將遵遵循循如如下下過(guò)過(guò)程程：：（6.8））由于于（（6.9））根據(jù)據(jù)伊伊藤藤引引理理，，衍衍生生證證券券的的價(jià)價(jià)格格G應(yīng)遵遵循循如如下下過(guò)過(guò)程程：：(6.10)六、、證證券券價(jià)價(jià)格格自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)變變化化過(guò)過(guò)程程令，，由由于于代入入式式（（6.10）:（6.11））證券券價(jià)價(jià)格格對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)G遵循循普普通通布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng),且且：：設(shè)A股票票價(jià)價(jià)格格的的當(dāng)當(dāng)前前值值為為50元,預(yù)期期收收益益率率為為每每年年18%,波動(dòng)動(dòng)率率為為每每年年20%,該股股票票價(jià)價(jià)格格遵遵循循幾幾何何布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng),且該該股股票票在在6個(gè)月月內(nèi)內(nèi)不不付付紅紅利利，，請(qǐng)請(qǐng)問(wèn)問(wèn)該該股股票票6個(gè)月月后后的的價(jià)價(jià)格格ST的概概率率分分布布。。例6.3請(qǐng)問(wèn)問(wèn)在在例例6.2中，，A股票票在在6個(gè)月月后后股股票票價(jià)價(jià)格格的的期期望望值值和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差等等多多少少？？例6.2第二二節(jié)節(jié)布布萊萊克克————舒舒爾爾斯斯期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)模模型型一、、布布萊萊克克————舒舒爾爾斯斯微微分分方方程程（一））布萊萊克———舒舒爾斯斯微分分方程程的推推導(dǎo)我們假假設(shè)證證券價(jià)價(jià)格S遵循幾幾何布布朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)：則：（（6.12）假設(shè)f是依賴賴于S的衍生生證券券的價(jià)價(jià)格，，則：：（6.13）（6.14）為了消消除，，我們們可以以構(gòu)建建一個(gè)個(gè)包括括一單單位衍衍生證證券空空頭和和單單位位標(biāo)的的證券券多頭頭的組組合。。令代代表該該投資資組合合的價(jià)價(jià)值，，則：：(6.15)在時(shí)時(shí)間間后：：（6.16）將式（（6.12）和和（6.14））代入入式（（6.16），，可得得：（6.17）在沒(méi)有有套利利機(jī)會(huì)會(huì)的條條件下下：把式（（6.15）和和（6.17））代入入上式式得：：布萊克克———舒爾爾斯微微分分分程化簡(jiǎn)為為：(6.18)這就是是著名名的布布萊克克———舒爾爾斯微微分分分程，，它適適用于于其價(jià)價(jià)格取取決于于標(biāo)的的證券券價(jià)格格S的所有有衍生生證券券的定定價(jià)。。（二））風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性定價(jià)價(jià)原理理假設(shè)所所有投投資者者都是是風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性的，，那么么所有有現(xiàn)金金流量量都可可以通通過(guò)無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率率進(jìn)行行貼現(xiàn)現(xiàn)求得得現(xiàn)值值。盡管風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中中性假假定僅僅僅是是為了了求解解布萊萊克———舒舒爾斯斯微分分方程程而作作出的的人為為假定定，但但通過(guò)過(guò)這種種假定定所獲獲得的的結(jié)論論不僅僅適用用于投投資者者風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性情況況，也也適用用于投投資者者厭惡惡風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的所所有情情況。。例子假設(shè)一一種不不支付付紅利利股票票目前前的市市價(jià)為為10元，我我們知知道在在3個(gè)月后后，該該股票票價(jià)格格要么么是11元，要要么是是9元?，F(xiàn)現(xiàn)在我我們要要找出出一份份3個(gè)月期期協(xié)議議價(jià)格格為10.5元的該該股票票歐式式看漲漲期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值。。該看漲漲期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值應(yīng)應(yīng)為0.31元元二、布布萊克克———舒爾爾斯期期權(quán)定定價(jià)公公式在風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性的條條件下下，歐歐式看看漲期期權(quán)到到期時(shí)時(shí)（T時(shí)刻））的期期望值值為：：其現(xiàn)值值為（（6.19））對(duì)數(shù)股股票價(jià)價(jià)格的的分布布為：：（6.20）對(duì)式（（6.19）求解解：（6.21）其中，，我們可可以從從三個(gè)個(gè)角度度來(lái)理理解這這個(gè)公公式的的金融融含義義：首先，，N(d2)是在在風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性世界界中ST大于X的概概率，，或者者說(shuō)式式歐式式看漲漲期權(quán)權(quán)被執(zhí)執(zhí)行的的概率率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中中性期期望值值的現(xiàn)現(xiàn)值。。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性性期望望值的的現(xiàn)值值。其次，，是是復(fù)復(fù)制交交易策策略中中股票票的數(shù)數(shù)量，，SN（d1)就是股股票的的市值值,-e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)復(fù)制交交易策策略中中負(fù)債債的價(jià)價(jià)值。。最后，，從金金融工工程的的角度度來(lái)看看，歐歐式看看漲期期權(quán)可可以分分拆成成資產(chǎn)產(chǎn)或無(wú)無(wú)價(jià)值值看漲漲期權(quán)權(quán)（Asset-or-notingcalloption）多頭頭和現(xiàn)現(xiàn)金或或無(wú)價(jià)價(jià)值看看漲期期權(quán)（（cash-or-nothingoption）空頭頭，SN(d1)是資產(chǎn)產(chǎn)或無(wú)無(wú)價(jià)值值看漲漲期權(quán)權(quán)的價(jià)價(jià)值，，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金金或無(wú)無(wú)價(jià)值值看漲漲期權(quán)權(quán)空頭頭的價(jià)價(jià)值。。在標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)無(wú)收收益情情況下下，由由于C=c，因此此式（（6.23）也給給出了了無(wú)收收益資資產(chǎn)美美式看看漲期期權(quán)的的價(jià)值值。根據(jù)歐式式看漲期期權(quán)和看看跌期權(quán)權(quán)之間存存在平價(jià)價(jià)關(guān)系，，可以得得到無(wú)收收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式看看跌期權(quán)權(quán)的定價(jià)價(jià)公式：（6.22））由于美式看跌跌期權(quán)與看漲漲期權(quán)之間不不存在嚴(yán)密的的平價(jià)關(guān)系，，所以要用蒙蒙特卡羅模擬擬、二叉樹(shù)和和有限差分三三種數(shù)值方法法以及解析近近似方法求出出。三、有收益資資產(chǎn)的期權(quán)定定價(jià)公式（一）有收益益資產(chǎn)歐式期期權(quán)的定價(jià)公公式當(dāng)標(biāo)的證券已已知收益的現(xiàn)現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定定收益證券歐歐式看漲和看看跌期權(quán)的價(jià)價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的的收益為按連連續(xù)復(fù)利計(jì)算算的固定收益益率q（單位為年））時(shí)，我們只只要將代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付付連續(xù)復(fù)利收收益率證券的的歐式看漲和和看跌期權(quán)的的價(jià)格。對(duì)于歐式期期貨期權(quán)，，其定價(jià)公公式為：（6.23）（6.24）其中：例6.4假設(shè)當(dāng)前英英鎊的即期期匯率為$1.5000，美國(guó)的無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)續(xù)復(fù)利年利利率為7%，英國(guó)的無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)續(xù)復(fù)利年利利率為10%，英鎊匯率率遵循幾何何布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，其波動(dòng)動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式式看漲期權(quán)權(quán)價(jià)格。3.05美分。（二）有收收益資產(chǎn)美美式期權(quán)的的定價(jià)1．美式看漲漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)有收益時(shí)時(shí)，美式看看漲期權(quán)就就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能能，我們可可用一種近近似處理的的方法。該該方法是先先確定提前前執(zhí)行美式式看漲期權(quán)權(quán)是否合理理。若不合合理，則按按歐式期權(quán)權(quán)處理；若若在tn提前執(zhí)行有有可能是合合理的，則則要分別計(jì)計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的的歐式看漲漲期權(quán)的價(jià)價(jià)格，然后后將二者之之中的較大大者作為美美式期權(quán)的的價(jià)格。例6.5假設(shè)一種1年期的美式式股票看漲漲期權(quán)，標(biāo)標(biāo)的股票在在5個(gè)月月和和11個(gè)月月后后各各有有一一個(gè)個(gè)除除權(quán)權(quán)日日，，每每個(gè)個(gè)除除權(quán)權(quán)日日的的紅紅利利期期望望值值為為1.0元，，標(biāo)標(biāo)的的股股票票當(dāng)當(dāng)前前的的市市價(jià)價(jià)為為50元，，期期權(quán)權(quán)協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格為為50元，，標(biāo)標(biāo)的的股股票票波波動(dòng)動(dòng)率率為為每每年年30%，無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利年年利利率率為為10%，求求該該期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值。。近似似為為7.2824元元2．美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)由于于收收益益雖雖然然使使美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)提提前前執(zhí)執(zhí)行行的的可可能能性性減減小小，，但但仍仍不不排排除除提提前前執(zhí)執(zhí)行行的的可可能能性性，，因因此此有有收收益益美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值仍仍不不同同于于歐歐式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)，，它它也也只只能能通通過(guò)過(guò)較較復(fù)復(fù)雜雜的的數(shù)數(shù)值值方方法法來(lái)來(lái)求求出出。。第三三節(jié)節(jié)布布萊萊克克————舒舒爾爾斯斯期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)公公式式的的實(shí)實(shí)證證研研究究和和應(yīng)應(yīng)用用一、、布布萊萊克克————舒舒爾爾斯斯期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)公公式式實(shí)實(shí)證證研研究究布萊萊克克——舒舒爾爾斯斯期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)公公式式傾傾向向于于高高估估方方差差高高的的期期權(quán)權(quán)，，低低估估方方差差低低的的期期權(quán)權(quán)；；高高估估實(shí)實(shí)值值期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格，，低低估估虛虛值值期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格。。造成成用用布布萊萊克克————舒舒爾爾斯斯期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)公公式式估估計(jì)計(jì)的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格與與市市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)價(jià)格格存存在在差差異異的的原原因因主主要要有有以以下下幾幾個(gè)個(gè)：：1.計(jì)算錯(cuò)誤；2.期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格格偏離均衡；；3.使用的錯(cuò)誤的的參數(shù)；4、布萊萊克——舒爾爾斯期權(quán)定價(jià)價(jià)公式建立在在眾多假定的的基礎(chǔ)上。二、布萊克———舒爾斯期期權(quán)定價(jià)公式式的應(yīng)用（一）評(píng)估組組合保險(xiǎn)成本本（二）給可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換債券定價(jià)價(jià)：可轉(zhuǎn)換債券是是一種可由債債券持有者轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換成股票的的債券，因此此可轉(zhuǎn)換債券券相當(dāng)于一份份普通的公司司債券和一份份看漲期權(quán)的的組合。（三）為認(rèn)股股權(quán)證估值：：認(rèn)股權(quán)證相相當(dāng)于一份看看漲期權(quán)謝謝12月月-2209:15:2809:1509:1512月月-2212月月-2209:1509:1509:15:2912月-2212月-2209:15:292022/12/319:15:299、靜夜夜四無(wú)無(wú)鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、雨中黃葉葉樹(shù)，燈下下白頭人。。。09:15:2909:15:2909:1512/31/20229:15:29AM11、以我獨(dú)獨(dú)沈久，，愧君相相見(jiàn)頻。。。12月-2209:15:2909:15Dec-2231-Dec-2212、故人江海別別，幾度隔山山川。。09:15:2909:15:2909:15Saturday,December31,202213、乍見(jiàn)見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問(wèn)問(wèn)年。。。12月月-2212月月-2209:15:2909:15:29December31,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國(guó)見(jiàn)見(jiàn)青山。。。31十十二月20229:15:29上午午09:15:2912月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月229:15上上午12月-2209:15December31,202216、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2022/12/319:15:2909:15:2931December202217、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時(shí)時(shí)，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點(diǎn)的的射線向前前。。9:15:29上上午9:15上上午09:15:2912月-229、沒(méi)沒(méi)有有失失敗敗，，只只有有暫暫時(shí)時(shí)停停止止成成功功??！。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒(méi)沒(méi)有。。09:15:2909:15:2909:1512/31/20229:15:29AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。12月月-2209:15:2909:15Dec-2231-Dec-2212、世間成成事，不不求其絕絕對(duì)圓滿滿，留一一份不足足，可得得無(wú)限完完美。。。09:15:2909:15:2909:15Saturday,December31,202213、不知香積積寺，數(shù)里里入云峰。。。12月-2212月-2209:15:2909:15:29December31,202214、意志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。31十二二月20229:15:29上上午09:15:2912月-2215、楚楚塞塞三三湘湘接接，，荊荊門門九九派派通通。。。。。十二二月月229:15上上午午12月月-2209:15December31,202216、少年十五二二十時(shí)，步行行奪得胡馬騎騎。。2022/12/319:15:2909:15:2931December202217、空山山新雨雨后，，天氣氣晚來(lái)來(lái)秋。。。9:15:29上上午9:15上上午午09:15:2912月月-229、楊柳柳散和和風(fēng)，，青山山澹吾吾慮。。。12月月-2212月月-22Saturday,Decemb