《利用數(shù)量積計算長度和角度》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

平面向量及其應(yīng)用

利用數(shù)量積計算長度和角度1．進一步熟悉向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示；2．會利用向量數(shù)量積解決有關(guān)的長度與夾角等綜合問題．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．能運用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式表示向量的模與夾角，會判斷兩個向量的垂直關(guān)系．回顧一下平面向量的數(shù)量積、模、夾角、平行、垂直的坐標(biāo)表示．?dāng)?shù)量積

2.向量夾角4.向量平行1.向量的模和兩點間的距離3.向量垂直

．

設(shè)a=(x，y)，則

．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，．我們知道，向量的數(shù)量積是研究幾何圖形度量和位置關(guān)系問題的有力工具，根據(jù)已學(xué)知識，向量數(shù)量積可以表示垂直、平行，那么我們還可以運用向量的數(shù)量積運算解決平面幾何中的什么問題呢？利用向量數(shù)量積解決長度問題．利用數(shù)量積解決兩向量夾角的問題．．

數(shù)量積的用途判斷正誤并說明理由？數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則和性質(zhì)數(shù)量積坐標(biāo)表示的實際運用．判斷依據(jù)

公式的滿足條件是

，所以向量a和向量b必須是非零向量才滿足此夾角公式．

因為在直角三角形ABC中，若B為直角，則

，否則等式不成立．

依題意有

，又，

解：用向量方法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．

第2步，由圖可得，．因此．同理．

所以．即平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．第1步，做圖如下，已知：四邊形ABCD為平行四邊形，求證

．

解：

如圖，已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，試用向量的方法判斷ABC的形狀．依題可得，，于是．所以，，即ABC是直角三角形．

解：

已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a=e1+e2，b=e2-2e1的夾角．所以向量a和向量b的夾角為120°．利用向量夾角的定義式進行求解，要注意兩個向量的夾角的范圍是

．

解：因為，所以

，

，，于是，又．

構(gòu)造函數(shù)法建立平面直角坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再應(yīng)用向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化為有關(guān)量的函數(shù)，結(jié)合自變量的取值范圍求函數(shù)的值域．利用數(shù)量積計算長度和角度的方法1234坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，若a=(x，y)，則

．

公式法設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，利用夾角定義式或者坐標(biāo)公式

求解兩個向量的夾角．

故選C．C

故選A．A

所以．

解：由題意可得a=(1，0)，

，所以．

所以．

故選D．D

同一平面上三個單位向量a，b，c兩兩夾角都是120°，則a-b與a+c的夾角是().A.

60°

B.15°C.120°D.30°解：由題意可得

，，

．所以

，．所以．由向量夾角公式可得．又，所以a-b與a+c的夾角為30°．

yxAOC解：設(shè)D(t，0)

，又．所以，所以．所以當(dāng)時，取得最小值．利用向量方法解決平面幾何中的長度、夾角等問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立平面直角坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo).這兩種思路都是通過向量的計算獲得幾何命題的證明.課堂小結(jié)計算長度的方法計算角度

的方法利用數(shù)量積計算長度和角度結(jié)構(gòu)框圖構(gòu)造函數(shù)法：建立平面直角坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再應(yīng)用向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化為有關(guān)量的函數(shù)，結(jié)合自變量的取值范圍求函數(shù)的值域．

坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，若a=(x，y)，則