《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》同步練習(xí)（） 一等獎

《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》同步練習(xí)一、選擇題1．在判斷兩個(gè)變量y與x是否相關(guān)時(shí)，選擇了4個(gè)不同的模型，它們的R2分別為：模型1的R2為，模型2的R2為，模型3的R2為，模型4的R2為.其中擬合效果最好的模型是()A．模型1 B．模型2C．模型3 D．模型4解析：R2能夠刻畫用回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果，R2的值越接近于1，說明回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果越好．答案：A2．某學(xué)生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x1234所減分?jǐn)?shù)y43顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為()A．y＝＋ B．y＝－＋C．y＝－＋ D．y＝－＋解析：由題意可知，所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負(fù)相關(guān)，所以排除A.考試次數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝，所減分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)＋4＋3＋＝，即直線應(yīng)該過點(diǎn),，代入驗(yàn)證可知直線y＝－＋成立，故選D.答案：D3．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))及其回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，可以估計(jì)和觀測變量的取值和變化趨勢；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機(jī)誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．故選C.答案：C4．已知某車間加工零件的個(gè)數(shù)x與所花費(fèi)時(shí)間y(h)之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，則加工600個(gè)零件大約需要()A．h B．hC．h D．h解析：將x＝600代入y＝＋中得y＝.答案：A5．甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2如下表：甲乙丙丁散點(diǎn)圖殘差平方和115106124103哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：根據(jù)線性相關(guān)的知識，散點(diǎn)圖中各樣本點(diǎn)條狀分布越均勻，同時(shí)保持殘差平方和越小(對于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2的表達(dá)式中eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗(yàn)結(jié)果知丁要好些．故選D.答案：D6．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：回歸方程中x的系數(shù)為>0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，B正確；依據(jù)回歸方程中eq\o(y,\s\up6(^))的含義可知，x每變化1個(gè)單位，eq\o(y,\s\up6(^))相應(yīng)變化約個(gè)單位，C正確；用回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì)不能得到肯定的結(jié)論，故D錯誤．答案：D二、填空題7．在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍，令eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，求得回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝－，則該模型的回歸方程為________．解析：因?yàn)閑q\o(z,\s\up6(^))＝－，eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，所以y＝－.答案：y＝－8．若一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為________．解析：回歸平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝80－60＝20，故R2＝eq\f(20,80)＝或R2＝1－eq\f(60,80)＝.答案：9．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時(shí)籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝.eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(1－3)×－＋(2－3)×－＋(3－3)×－＋(4－3)×－＋(5－3)×－＝.eq\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f,10)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝.答案：三、解答題10．某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量x(mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由圖可知y與x的樣本點(diǎn)大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－,故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.11．關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up6(^))＝，(1)求y與x的線性回歸方程；(2)現(xiàn)有第二個(gè)線性模型：eq\o(y,\s\up6(^))＝7x＋17，且R2＝.若與(1)的線性模型比較，哪一個(gè)線性模型擬合效果比較好，請說明理由．解：(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，∵eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴50＝×5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，∴y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)的線性模型得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i與yi－eq\o(y,\s\up6(－))的關(guān)系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－－10－yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－2＋(－2＋(－10)2＋(－2＋＝155.eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(155,1000)＝.由于Req\o\al(2,1)＝，R2＝知Req\o\al(2,1)>R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好．12．假設(shè)某農(nóng)作物基本苗數(shù)x與有效穗數(shù)y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：xy(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，畫出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)預(yù)報(bào)有效穗數(shù)；(3)計(jì)算各組殘差；(4)求R2，并說明隨機(jī)誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．設(shè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由表中數(shù)據(jù)可得eq\o(b,\s\up6(^))≈，eq\o(a,\s\up6(^))≈，故y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當(dāng)x＝時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×＋＝.估計(jì)有效穗數(shù)為.(3)各組數(shù)據(jù)的殘差分別為eq\o(e,\s\up6(^))1＝，eq\o(e