自動控制-07a線性離散系統(tǒng)的分析與校正

第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正內(nèi)容提要

離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的根本區(qū)別在于控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是脈沖或者數(shù)碼，這些信號只在離散時間上有定義。通常把信號是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)，把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)稱為數(shù)字控制系統(tǒng)。近年來，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元部件、數(shù)字電子計算機，特別是微處理機的迅速發(fā)展，數(shù)字控制器在許多場合取代了模擬控制器。數(shù)字控制器的應用使得控制系統(tǒng)的本質(zhì)發(fā)生了很大變化，因此必須用本章將要介紹的離散控制理論來分析與研究其控制性能。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)間的根本區(qū)別在于：連續(xù)系統(tǒng)中的控制信號、反饋信號以及偏差信號都是連續(xù)的時間函數(shù)，而在離散系統(tǒng)中則不然，一般情況下，控制信號是離散的時間函數(shù)r*(t)，所以取自系統(tǒng)輸出端的負反饋信號在和上述離散控制信號進行比較時，也需要采取離散型的時間函數(shù)b*(t)，于是比較后得到的偏差信號將是離散的時間函數(shù)，即§7－1離散系統(tǒng)的基本概念1、采樣控制系統(tǒng)

附圖1：采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖因此，在采樣系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進行控制的直接作用信號乃是離散型的偏差信號。上述采樣系統(tǒng)的方塊圖示于附圖1。附圖2：采樣反饋信號在附圖1中，采樣反饋信號是由連續(xù)的時間函數(shù)b(t)通過采樣開關(guān)的采樣而獲得的。采樣開關(guān)經(jīng)一定時間T重復閉合，每次閉合叫間為Γ，且有Γ<T，見附圖2。

在采樣系統(tǒng)中，采樣開關(guān)重復閉合的時間間隔T稱為采樣周期分別稱為采樣頻率及采樣角頻率。其中T代表采樣周期。連續(xù)時間函數(shù)經(jīng)采樣開關(guān)采樣后變成重復周期等于采樣周期的時間序列。該時間序列在連續(xù)時間函數(shù)上打*號來表示，屬于離散時間函數(shù)。圖7-3：采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在附圖1中，兩個采樣開關(guān)的動作一般是同步的，因此，附圖l所示采樣系統(tǒng)方塊圖可等效地簡化成圖7－3。采樣控制系統(tǒng)的應用范圍非常廣泛，一般采樣控制系統(tǒng)的構(gòu)成如附圖4所示。附圖4：采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2、數(shù)字控制系統(tǒng)

數(shù)字控制系統(tǒng)也是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不過是通過數(shù)字計算機閉合而已。因此，它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機(或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器)和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分，其方塊圖如附圖7－6所示。圖中，有用于控制目的的數(shù)字計算機，或數(shù)字控制器，它構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過這部分的信號均以離散形式出現(xiàn)。被控對象一般用G(s)表示是系統(tǒng)的不可變部分，它是構(gòu)成連續(xù)部分的主要成分。圖7－6：數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在數(shù)字控制系統(tǒng)中，具有連續(xù)時間函數(shù)形式的被控信號c(t)(模擬量)受控于具有離散時間函數(shù)形式的控制信號(數(shù)字量)。既然模擬量需要反應數(shù)字量，這中間便需要有數(shù)－模轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。連續(xù)的被控制信號c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)反饋到輸入端與參考輸入相比較，從而得到e(t)并經(jīng)A／D得到偏差信號。離散的偏差信號經(jīng)數(shù)字計算機的加工處理變換成數(shù)字信號，再經(jīng)D／A轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號送到連續(xù)部分的執(zhí)行元件去控制系統(tǒng)的被控制信號c(t)。圖中采樣開關(guān)的動作是同步的。(a)連續(xù)信號t(b)離散信號t(c)離散量化信號t3離散控制系統(tǒng)的特點

1.校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。2.采樣信號，特別是數(shù)字信號的傳遞能有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。3.控制精度高。等等。

§7－2信號的采樣與保持1采樣過程實現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題，就是如何把連續(xù)信號變換為脈沖序列的問題。按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應的脈沖序列的過程稱為采樣過程。實現(xiàn)采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關(guān)。采樣器可以用一個周期性閉合的開關(guān)來表示，其閉合周期為T，每次閉合時間為Γ

。在實際上，由于采樣持續(xù)時間Γ通常遠小于采樣周期T，也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此，分析采樣系統(tǒng)時，可近似認為Γ趨近于0。在這種條件下，當采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號e(t)時，其輸出信號e*(t)是一個脈沖序列，采樣瞬時e*(t)的幅值等于相應瞬時e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)，如附圖6所示。附圖6：實際采樣過程采樣開關(guān)相當于一個單位脈沖發(fā)生器，采樣信號的調(diào)制過程如附圖7所示。附圖7：采樣信號的調(diào)制過程例1

e(t)=eat,試寫出e*(t)表達式。

物理意義：可看成是單位理想脈沖串T

(t)被輸入信號e(t)進行調(diào)制的過程，如右圖所示。

在圖中，T(t)為載波信號；e(t)為調(diào)制信號；e*(t)為理想輸出脈沖序列。2采樣過程的數(shù)學描述（1）采樣信號的拉氏變換（2）采樣信號的頻譜

經(jīng)周期為的等周期采樣得到離散信號

由于是周期函數(shù)，可以展開成復數(shù)形式的傅氏級數(shù)

則

從而

進行拉氏變換有

上式表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)是以ωs為周期的周期函數(shù)。另外，上式還表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E(s)之間的關(guān)系。通常E*(s)的全部極點均位于S平面的左半部，因此可用jω代替上式中的復變量s，直接求得采樣信號的傅氏變換：上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。它也反映了離散信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關(guān)系。一般說來，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值(見附圖8（a）)。而離散函數(shù)e*(t)則具有以ωs為周期的無限多個頻譜，如附圖8（b）所示。在離散函數(shù)的頻譜中、n=0的部分E(jω)／T稱為主頻譜。它對應于連續(xù)信號的頻譜。除了主頻譜外，E*(jω)還包含無限多個附加的高頻頻譜。為了準確復現(xiàn)采樣的連續(xù)信號，必須使采樣后離散信號的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個比較理想的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。

附圖8：連續(xù)及離散信號的頻譜

由附圖8可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是ωs≥2ωh

如果滿足條件，并把采樣后的離散信號e*(t)加到如圖9所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωh,則會出現(xiàn)圖8所示的相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時，即使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來，因而就難以準確復現(xiàn)原有的連續(xù)信號。附圖9：理想濾波器頻率特性采樣定理(shannon定理)，由于它給出了從采樣的離散信號恢復到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率，所以在設(shè)計離散系統(tǒng)時是很重要的。3香農(nóng)采樣定理從上面的分析中，可以得到一條重要結(jié)論，即只有在ωs≥2ωh的條件下，采樣后的離散信號e*(t)才有可能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號。這里2ωh為連續(xù)信號的有限頻率。這就是香農(nóng)(Shannon)采樣定理。由于它給出了無失真地恢復原有連續(xù)信號的條件，所以成為設(shè)計采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù)。4采樣周期的選擇

采樣周期的選擇在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標。

從頻率域性能指標來看，控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性通常具有低通濾波特性，所以近似有。

根據(jù)工程經(jīng)驗，隨動系統(tǒng)的采樣頻率可選為

由于，則

從時域指標看，按下列公式選取采樣周期

5信號保持信號保持是將離散信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)時間信號的轉(zhuǎn)換過程。利用保持器解決各采樣時刻之間的插值問題。在采樣時刻，連續(xù)信號的函數(shù)值與脈沖序列的脈沖強度相等。在nT時刻，有

在時刻，有

問題：那么在任意時刻（），連續(xù)時間信號的值多大呢？

(1)數(shù)學描述實現(xiàn)采樣控制遇到的另一個重要問題，是如何把采樣信號恢復為連續(xù)信號。根據(jù)采樣定理，在滿足ωs≥2ωh的條件下，離散信號的頻譜彼此互不重疊。這時，就可以用具有附圖9特性的理想濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無失真地恢復原有的連續(xù)信號。(2)信號保持器但是，上述的理想濾波器實際上是不能實現(xiàn)的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而且在物理上又是可以實現(xiàn)的濾波器。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實際的濾波器。保持器是一種時域的外推裝置，即根據(jù)過去或現(xiàn)在的采樣值進行外推。一零階保持器通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、最常用的是零階保持器。零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。它把前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)不增不減地保持到下一采樣時刻(n+1)T，其輸入信號和輸出信號的關(guān)系如附圖10。附圖10：輸入和輸出關(guān)系由圖10可見，零階保持器的輸出信號是階梯信號。它與要恢復的連續(xù)信號是有區(qū)別的，包含有高次諧波。若將階梯信號的各中點連接起來，可以得到比連續(xù)信號退后T／2的曲線。這反映了零階保持器的相位滯后特性。若給零階保持器輸入一個理想的單位脈沖，則其脈沖過渡函數(shù)為

對上式取拉氏變換，得零階保持器的傳遞函數(shù)

零階保持器的傳遞函數(shù)零階保持器頻率特性（如圖11）圖11零階保持器頻率特性零階保持器具有如下特性低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，在ω=ωs/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過,從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。相角特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨的增大而加大，在ω=ωs/2時，相角遲后可達－180o，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。時間滯后：零階保持器的輸出為階梯信號eh(t)其平均響應為e[t－(T/2)],表明輸出比輸入在時間上要遲后T/2，相當于給系統(tǒng)增加一個延遲時間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。二一階保持器一階保持器是種按線性規(guī)律外推的保持器，其外推關(guān)系為由于未引進高階差分，一階保持器的輸出信號與原連續(xù)信號之間仍有差別。一階保持器的單位脈沖響應可以分解為階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)之和。一階保持器的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式可用下式表示，一階保持器的頻率特性繪于圖8-12。圖中的虛線表示零階保持器的頻率特性。圖8-12：一階保持器的頻率特性§7－3Z變換理論通過前面對線性連續(xù)系統(tǒng)的討論我們知道，線性連續(xù)系統(tǒng)用線性微分方程來描述，可以應用拉氏變換的方法來分析其動態(tài)及穩(wěn)態(tài)過程。線性采樣系統(tǒng)中包含離散信號，用差分方程來描述，同樣可以應用一種z變換的方法來進行分析。z變換是由拉氏變換引申出來的一種變形。1Z變換定義

設(shè)連續(xù)時間函數(shù)e(t)可進行拉氏變換，其拉氏變換為E(s)。連續(xù)時間函數(shù)e(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后，變成離散信號e*(t)離散信號的拉氏變換為上式中各項均含有eTs因子，為便于計算定義一個新變量z=esT，其中T為采樣周期，z是復數(shù)平面上定義的一個復變量。通常稱為z變換算子。得到以z為自變量的函數(shù)E(z)是相互補充的兩種變換形式，前者表示s平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示z平面上的函數(shù)關(guān)系。若所示級數(shù)收斂，則稱E(z)是e*(t)的z變換。記為

Z[e*(t)]=E(z)應該指出，式所表示的z變換只適用于離散函數(shù)，或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，而不能反映其在采樣時刻之間的特性。人們習慣上稱E(z)是e(t)的z變換,指的是經(jīng)過采樣后e*(t)的z變換。采樣函數(shù)e*(t)所對應的z變換是唯一的，反之亦然。但是，一個離散函數(shù)e*(t)所對應的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無窮多個。從這個意義上來說，連續(xù)時間函數(shù)e

(t)與相應的離散時間函數(shù)e*(t)具有相同的z變換，即2Z變換方法求離散函數(shù)的方法有很多，本書介紹其中兩種。1)級數(shù)求和法由離散函數(shù)及其拉氏變換，根據(jù)z變換的定義有：其為離散函數(shù)z變換的一種表達形式。只要已知連續(xù)函數(shù)在采樣時刻nT(n=0,1,2,3,4,…..)的采樣值便