四邊形(菱形,正方形的性質(zhì)和判定)

八年級數(shù)學(下)第八章證明(三)8.2.特殊平行四邊形(1-3)菱形,正方形的性質(zhì)及判定學好幾何標志是會“證明”證明命題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結合圖形,用符號語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導“果”,執(zhí)“果”索“因”.);(5)依據(jù)思路,運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查表達過程是否正確,完善.

回顧與思考1平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對邊相等.′證明后的結論,以后可以直接運用.

BDCA∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四邊形的對角相等.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四邊形的對角線互相平分.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夾在兩條平等線間的平等線段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顧思考平行四邊形的判定′定理:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.定理:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.定理:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形的.回顧思考∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDCABDCAO∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AO=CO,BO=DO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四邊形ABCD是平行四邊形.四邊形之間的關系

我思,我進步1四邊形之間有何關系？特殊的平行四邊形之間呢？還記得它們與平行四邊形的關系嗎?能用一張圖來表示它們之間的關系嗎?四邊形平行四邊形矩形菱形正方形兩組對邊分別平行有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等一組對邊平行另一組對邊不平行梯形兩腰相等等腰梯形腰與底垂直直角梯形矩形的性質(zhì),推論定理:矩形的四個角都是直角.定理:矩形的兩條對角線相等.推論(直角三角形性質(zhì)):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.回顧思考∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.DBCADBCA∵AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線.∴AC=BD.在△ABC中,∠ACB=900,∵AD=BD,ABCD矩形的判定,直角三角形的判定定理:有三個角是直角的四邊形是矩形.定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.定理:如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.回顧思考∵∠A=∠B=∠C=900,∴四邊形ABCD是矩形.DBCADBCA∵AC,BD是□ABCD的兩條對角線,且AC=DB.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD∴∠ACB=900.在△ABC中,∵AD=BD=CD,菱形的性質(zhì)定理:菱形的四條邊都相等.

我思,我進步2已知:如圖,四邊形ABCD是菱形.分析:由菱形的定義,利用平行四邊形性質(zhì)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,四邊形ABCD是平行四邊形.∴AB=CD,AD=BC.求證:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性質(zhì)

我思,我進步3定理:菱形的兩條對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.已知:如圖,AC,BD是菱形ABCD的兩條對角線,AC,BD相交于點O.求證:(1).AC⊥BD;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=CD,AO=CO.分析:根據(jù)平行四邊形對角線互相平分和等腰三角形“三線合一”來證明.∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.DBCAO∴AC⊥BD.(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.菱形性質(zhì)的應用

例題欣賞4已知:如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1).對角線AC的長度;(2).菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE菱形的判定定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.

我思,我進步2已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA..分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形..求證:四邊形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形.CBDA菱形的判定定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

我思,我進步2已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC⊥BD.求證:四邊形ABCD是菱形.分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即可.證明:∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是菱形.DBCAO正方形的性質(zhì)

我思,我進步4定理:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因為正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì),所以結論易證.證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.正方形的性質(zhì)

我思,我進步4定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.求證:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因為正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì),所以結論易證.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四邊形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO正方形的判定

我思,我進步4定理:有一個角是直角的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.分析:要證明四邊形ABCD是正方形,可轉化為證明有一組鄰邊相等的矩形即可.證明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四邊形ABCD是矩形.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD正方形的判定

我思,我進步4定理:對角線相等的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.分析:要證明四邊形ABCD是正方形,可轉化為證明有一組鄰邊相等的矩形(或有一個角是直角的菱形)即可.證明:∴AB=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四邊形ABCD是菱形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,且對角線AC=BD.ABCDO正方形的判定

我思,我進步4定理:對角線互相垂直的矩形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.分析:要證明四邊形ABCD是正方形,可轉化為證明有一角是直角的菱形(或有一組鄰邊相等的矩形,或?qū)蔷€相等的菱形)即可.證明:∴∠ABC=900,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO菱形的性質(zhì)定理:菱形的四條邊都相等.定理:菱形的兩條對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.回顧思考∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵AC,BD是菱形ABCD的兩條對角線.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.CBDADBCAO菱形的判定定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.回顧思考在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的兩條對角線,AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形.CBDADBCAO正方形的性質(zhì)定理:正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.回顧思考∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.ABCDABCDO正方形的判定定理:有一個角是直角的菱形是正方形.定理:對角線相等的菱形是正方形.定理:對角線互相垂直的矩形是正方形.回顧思考∵四邊形ABCD是菱形,∠A=900,∴四邊形ABCD是正方形.∵四邊形ABCD是菱形,AC=DB.∴四邊形ABCD是正方形.∴四邊形ABCD是正方形.ABCDABCDO∵四邊形ABCD是矩形,AC⊥BD,知識的升華獨立作業(yè)習題8.