電磁場與電磁波(第2章 電磁場的基本規(guī)律)(14-15-1)

第2章電磁場的基本規(guī)律電磁學(xué)有三大實驗定律：1、庫侖定律2、安培定律3、法拉第電磁感應(yīng)定律以此為基礎(chǔ)，麥克斯韋進行了歸納總結(jié)，建立了描述宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律——麥克斯韋方程組。本章討論內(nèi)容2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件2.1電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律。電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。源量為電荷和電流，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。電荷電場運動電流磁場電場2.1.1電荷與電荷密度電荷的最小量度是單個電子的電量：e=-1.60×10-19C（庫侖）從微觀上看，電荷在空間是離散分布的。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶的電荷都是e的整數(shù)倍。宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷。單位：庫侖/米3(C/m3)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電量q為：

1、電荷體密度

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

2、電荷面密度

電荷分布在薄層上。

當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內(nèi)的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

單位為：C/m2

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電量q為：電荷分布在細線上的情況。當(dāng)僅考慮細線外，距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內(nèi)的電場時，可將線的直徑忽略，認為電荷是線分布。

線分布的電荷可用電荷線密度表示。單位為：C/m如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電量q為3、電荷線密度

總電量為q的電荷集中在很小區(qū)域V的情況。當(dāng)不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的線度，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電量為q的點電荷。

q4、點電荷2.1.3電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）表示單位時間從封閉面S內(nèi)流出的電荷量電流連續(xù)性方程：積分形式：微分形式：對于恒定電流，流出封閉面的電流等于體積內(nèi)單位時間所減少的電量。恒定電流是無源場散度定理2.2真空中靜電場的基本規(guī)律本節(jié)討論的內(nèi)容：庫侖定律，電場強度，靜電場的散度與旋度。2.2.2靜電場的散度與旋度1、靜電場的高斯定理和散度靜電場的高斯定理：高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負電荷。散度定理2、靜電場的旋度靜電場環(huán)路定理：環(huán)路定理表明：（1）靜電場是無旋場，是保守場，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構(gòu)成閉合回路，電場力做功與路徑無關(guān)；（2）雖然空間中電場的旋度處處為零，但電場卻可能存在，二者沒有必然的聯(lián)系。2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.3.2恒定磁場的散度與旋度1、恒定磁場的磁通連續(xù)性原理和散度磁通連續(xù)性原理：磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點和終點的閉合曲線。2、恒定磁場的安培環(huán)路定理和旋度安培環(huán)路定理：恒定磁場的散度和旋度表明：（1）空間任意點磁場的旋度只與該點的電流密度有關(guān)；（2）恒定電流是靜磁場的旋渦源，電流激發(fā)旋渦狀的靜磁場，并決定旋渦源的強度和旋渦方向；（3）磁場旋度與磁場是不同的物理量，它們的取值沒有必然聯(lián)系。沒有電流的地方，磁場旋度為零，但磁場不一定為零。恒定磁場的性質(zhì)：（1）無源（無散）場。磁力線無頭無尾且不相交。（2）有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構(gòu)成閉合回路。3、利用安培環(huán)路定理計算磁感應(yīng)強度在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應(yīng)強度。2.4媒質(zhì)的電磁特性電磁場理論中，一般將物質(zhì)稱作媒質(zhì)。媒質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為：極化、磁化和傳導(dǎo)。描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：介電常數(shù)，磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。物質(zhì)中和電場有作用的電荷有兩類：1）在物質(zhì)中可以自由移動的自由電荷。2）在物質(zhì)中不可自由移動的束縛電荷電場中的物質(zhì)也就分為兩類：1）存在有自由電荷的導(dǎo)電媒質(zhì)（導(dǎo)電體，導(dǎo)體）。2）無自由電荷，僅有束縛電荷的電介質(zhì)（介質(zhì)，絕緣體）。2.4.1電介質(zhì)的極化電位移矢量1、電介質(zhì)的極化現(xiàn)象無極分子有極分子無外加電場電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。無極分子：正負電荷中心重合。有極分子：正負電荷中心不重合。沒有外電場時，無極性分子的偶極矩為0，呈電中性；

對于有極性分子，由于分子熱運動的無規(guī)則性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零，也呈電中性。+-+-

在外電場的作用下，無極分子中的正、負電荷的中心向相反方向作一個微小的位移，而偶極矩不再為零（其方向與外場強一致）的現(xiàn)象稱為位移極化。+-+-

在外電場的作用下，每個偶極子將由于受到力偶矩而轉(zhuǎn)向，

（這個力偶矩力圖使每個偶極子的偶極矩轉(zhuǎn)到與場強一致的方向），因此電偶極矩不再為零。

這種變化稱為取向極化。

極化：在外電場作用下，介質(zhì)的電偶極矩都將由零變?yōu)榉橇愕默F(xiàn)象。無極分子有極分子有外加電場E2、極化強度矢量E

宏觀電偶極矩分布可用電極化強度矢量來描述，它等于物理小體積ΔV內(nèi)的總電偶極矩與ΔV之比，分子密度單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。極化強度與電場強度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強度矢量成正比。

3、極化電荷由于極化，正、負電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。（1）極化電荷體密度在介質(zhì)內(nèi)取一小體元。介質(zhì)極化后，有些分子的電偶極子跨過。+-當(dāng)偶極子的負電荷處于體積內(nèi)時，同一偶極子的正電荷就穿出邊界外邊。設(shè)分子密度為n，則穿出外面的正電荷電量為則由V內(nèi)通過曲面S穿出的正電荷電量為

由于介質(zhì)是電中性的，這電量也等于V內(nèi)凈余的負電荷。（2）極化電荷面密度緊貼電介質(zhì)表面取一閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為：電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為

在兩種不同介質(zhì)界面處的束縛電荷面密度為為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線單位矢量。

非均勻介質(zhì)極化后一般在整個介質(zhì)內(nèi)部都出現(xiàn)束縛電荷；

在均勻介質(zhì)內(nèi)，束縛電荷只出現(xiàn)在自由電荷附近以及介質(zhì)界面。4、電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理真空中的靜電場方程：介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：（1）外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；（2）極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：封閉面包含自由電荷的代數(shù)和自由電荷密度5、電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系在線性、各向同性的電介質(zhì)中，極化強度矢量與電場強度矢量成正比。極化率稱為介質(zhì)的介電常數(shù)稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)例2.4.2已知半徑為a、介電常數(shù)為ε的介質(zhì)球內(nèi)的極化強度為，K為常數(shù)。求：（1）束縛體電荷密度和束縛面電荷密度，并驗證球上的總束縛電荷為零。（2）介質(zhì)球內(nèi)自由電荷體密度和自由電荷量。

（3）球內(nèi)和球外的電場強度矢量和電位。解：（1）在介質(zhì)球表面：（2）2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強度1、磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)分子或原子內(nèi)電子的運動構(gòu)成分子電流。分子電流形成磁偶極子+－沒有外磁場時，由于分子電流取向的無規(guī)則性，磁介質(zhì)不顯磁性，磁偶極矩為零。無外加磁場

在物理小體積內(nèi)物質(zhì)不呈現(xiàn)磁性。當(dāng)物質(zhì)放入外加的磁場中，物質(zhì)中的磁偶極子受到磁場力作用發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使原來雜亂的磁偶極子的取向趨于一致，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁化。

外加磁場B

在物理小體積內(nèi)2、磁化強度矢量

用磁化強度矢量表示磁化的方向和程度，它定義為物理小體積ΔV內(nèi)的總磁偶極矩與ΔV之比，分子密度3、磁化電流磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。AL

設(shè)A為介質(zhì)內(nèi)部的一個曲面，其邊界線為L。

設(shè)從A的背面流向前面的總磁化電流為IM。

若分子電流被L套著，這分子電流就對IM有貢獻；

分子電流根本不通過A，

因此，通過A的總磁化電流IM等于邊界線L所鏈環(huán)著的分子數(shù)目乘上每個分子的電流i。

沿相反方向兩次穿過，所以對IM都沒有貢獻。所以對IM都沒有貢獻；

在邊界線L上取一個線元dl。

設(shè)分子電流圈的面積為S。此數(shù)目乘上每個分子的電流i則為穿過曲面A的總磁化電流IM

則被邊界線L鏈環(huán)著的分子電流數(shù)目為若分子中心位于體積為內(nèi)，則該分子電流就被中心在該體積內(nèi)的分子數(shù)為

在兩磁介質(zhì)界面上的磁化電流面密度為界面法線方向由磁介質(zhì)2指向1。界面法線方向由磁介質(zhì)2指向1。表示分子（磁化）電流密度：4、磁場強度介質(zhì)中安培環(huán)路定理外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強度，兩者相互作用達到平衡。介質(zhì)中的磁場應(yīng)是所有電流源激勵的結(jié)果。

真空中的磁場方程介質(zhì)磁化后，稱為磁場強度，單位為A/m。稱為介質(zhì)中安培環(huán)路定律閉合回路所包圍的傳導(dǎo)電流代數(shù)和傳導(dǎo)電流密度恒定磁場是有旋無源場。5、磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系磁化強度和磁場強度之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，磁化強度與磁場強度之間存在簡單的線性關(guān)系：介質(zhì)的磁化率μ稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，μr稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率。磁介質(zhì)的分類：μr＞1μr＜1μr＞＞1順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)例2.4.3半徑r=a的球形磁介質(zhì)的磁化強度為如圖所示。zeOereza式中的A、B為常數(shù)。求磁化電流密度。解：（1）在球內(nèi)：

（2）在球表面：

將坐標系中的單位矢量換成球坐標系中的單位矢量：zeOereza例2.4.4內(nèi)、外半徑分別為ρ1=a和ρ2=b的圓筒形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度的傳導(dǎo)電流，如圖所示。bazJ設(shè)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為。求磁化電流分布。解：在圓筒橫截面上作一個半徑為ρ、與圓筒軸同心的圓周。在圓周上各點磁場強度的大小相等、方向為圓周的切向，所以

（1）在ρ＜a的區(qū)域：

（2）在a＜ρ＜b的區(qū)域：

（3）在ρ＞b的區(qū)域：

（4）在介質(zhì)圓筒內(nèi)表面ρ＝a上：

（5）在介質(zhì)圓筒的外表面ρ＝b上：2.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

存在可以自由移動帶電粒子的物質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。

在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)不將形成定向移動電流。

1、歐姆定律的微分形式

在導(dǎo)體中沿電場方向取一橫截面積為ΔS、長為Δl的微小柱體。

2、焦耳定律的微分形式

微小圓柱體的熱功率為

電場對單位體積提供的功率為：（熱功率密度）2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流

電磁感應(yīng)定律——揭示時變磁場產(chǎn)生電場。

位移電流——揭示時變電場產(chǎn)生磁場。

重要結(jié)論——在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。2.5.1電磁感應(yīng)定律自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產(chǎn)生電流。

1831年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動勢，且感應(yīng)電動勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。

1、法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

當(dāng)通過導(dǎo)體回路C所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電動勢εin。

感應(yīng)電動勢的大小與穿過回路所圍面積的磁通量的時間變化率成正比。

方向是感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁通總是要阻礙原磁通的變化，即若規(guī)定回路中感應(yīng)電動勢的參考方向與穿過該回路所圍面積的磁通量符合右手螺旋關(guān)系，則

導(dǎo)體回路C中必存在感應(yīng)電場

由上式可看出：

（1）感應(yīng)電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場；

（2）感應(yīng)電場是有旋場；

（3）感應(yīng)電場不僅存在于導(dǎo)體回路，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間，即對空間中任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有

（2）方法一：

若空間同時存在由電荷產(chǎn)生的電場

則總電場＝0這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

2、引起回路中磁通量變化的幾種情況

（1）回路不變，磁場隨時間改變變化的磁場產(chǎn)生渦旋的電場。變化的磁場是電場的旋度源。

（2）導(dǎo)體回路在恒定磁場中運動設(shè)回路C以速度v運動，在時間dt內(nèi)，以回路為界的面掃過一體積V。稱為動生電動勢。

（3）回路在時變磁場中運動

例2.5.1長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場垂直穿過，如圖所示。xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢：

（1）矩形環(huán)靜止（可滑動導(dǎo)體L不存在）。

（2）矩形回路的寬邊b＝常數(shù)，但其長邊因可滑動導(dǎo)體L以勻速運動而隨時間增大。（3）且矩形回路上的可滑動導(dǎo)體L以勻速運動。

解：（1）

（2）方法一：

方法二：

（3）2.5.2位移電流

靜態(tài)時：0變化磁場中：變化的磁場可以激發(fā)電場。

問題：隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？恒定磁場中：時變場中：

1、全電流定律

電流連續(xù)性方程：發(fā)生矛盾

在時變場情況下不適用。

解決方法：對安培環(huán)路定理進行修正。矛盾解決時變電場會激發(fā)磁場

全電流定律：微分形式

上式兩邊進行面積分：積分形式

全電流定律揭示：不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。

它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。

2、位移電流密度

稱為位移電流密度。

（1）電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。

（2）位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。

注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流。

在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流。

在一般媒質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。

例2.5.3海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)

例2.5.4自由空間的磁場強度為k為常數(shù)。試求位移電流密度和電場強度。

解：自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0。2.6麥克斯韋方程組全電流安培環(huán)路定律法拉第電磁感應(yīng)定律電場高斯定理磁通連續(xù)性原理變化的電場產(chǎn)生磁場，全電流是磁場的旋度源變化的磁場產(chǎn)生電場，是電場的旋度源電荷是電場的散度源磁場是無散場，磁力線總是閉合的？？？？？？？？微分形式積分形式電流連續(xù)性方程：媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：（1）時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。（2）時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體—電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。（3）在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。（4）在無源空間中，兩個旋度方程分別為：可以看出兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當(dāng)電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。例2.6.1正弦交流電壓源u=Umsinωt連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接（1）證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；（2）求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r處的磁場強度。解：（1）導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為設(shè)電容器兩板距離為d、面積為S0、板間介質(zhì)的介電常數(shù)為ε，則容量C為忽略邊緣效應(yīng)，間距為d的兩平行板間的電場為（2）以r為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場大小相等，故例2.6.2在無源的電介質(zhì)中，若已知矢量在什么條件下，才可能是電磁場的電場強度矢量？求出與相應(yīng)的其它場矢量。解：只有滿足麥克斯韋方程組的矢量才可能是電磁場的場矢量。因此，利用麥克斯韋方程組確定可能是電磁場的電場強度矢量的條件。以上各場量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程。無源空間：可見，只有滿足條件矢量以及與之相應(yīng)的才可能是無源電介質(zhì)中的電磁場的場矢量。2.7電磁場的邊界條件1、什么是電磁場的邊界條件？2、為什么要研究邊界條件？3、如何討論邊界條件？答1：實際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。答2：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。