第二章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 趙慶娟 2016.9.8

§1-1導(dǎo)熱的基本概念及傅立葉定律第一章導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)一、溫度場(chǎng)（Temperaturefield）●某時(shí)刻空間所有各點(diǎn)溫度分布的總稱(chēng)溫度場(chǎng)是時(shí)間和空間的函數(shù)，即：（Steady-stateconduction）（Transientconduction）二、等溫面與等溫線(xiàn)(1)溫度不同的等溫面或等溫線(xiàn)彼此不能相交●等溫面：同一時(shí)刻、溫度場(chǎng)中所有溫度相同的點(diǎn)連接起來(lái)所構(gòu)成的面●等溫線(xiàn)：用一個(gè)平面與各等溫面相交，在這個(gè)平面上得到一個(gè)等溫線(xiàn)簇等溫面與等溫線(xiàn)的特點(diǎn)：(2)在連續(xù)的溫度場(chǎng)中，等溫面或等溫線(xiàn)不會(huì)中斷，它們或者是物體中完全封閉的曲面（曲線(xiàn)），或者就終止與物體的邊界上物體的溫度場(chǎng)通常用等溫面或等溫線(xiàn)表示等溫面上沒(méi)有溫差，不會(huì)有熱傳遞三、溫度梯度（Temperaturegradient）不同的等溫面之間，有溫差，有導(dǎo)熱溫度梯度：沿等溫面法線(xiàn)方向上的溫度增量

與法向距離比值的極限，gradt直角坐標(biāo)系：（Cartesiancoordinates）注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向四、熱流密度矢量熱流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間、單位面積上所傳遞的熱量；直角坐標(biāo)系中：熱流密度矢量：等溫面上某點(diǎn)，以通過(guò)該點(diǎn)處最大熱流密度的方向?yàn)榉较?、?shù)值上正好等于沿該方向的熱流密度不同方向上的熱流密度的大小不同（Heatflux）五、傅里葉定律（Fourier’slaw）1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在實(shí)驗(yàn)研究基礎(chǔ)上，通過(guò)理論分析和總結(jié)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱基本規(guī)律——

傅里葉定律導(dǎo)熱基本定律：垂直導(dǎo)過(guò)等溫面的熱流密度，正比于該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）直角坐標(biāo)系中：注：傅里葉定律只適用于各向同性材料

各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個(gè)方向是相同的（Thermalconductivity）有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、疊層金屬板，其導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化

——

各向異性材料各向異性材料中：傅里葉定律只適用于穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱過(guò)程傅立葉定律的建立隱含了一個(gè)假設(shè)：在物體內(nèi)熱擾動(dòng)的傳播速率無(wú)限大，即：在任何瞬間，溫度梯度和熱流密度都是相互對(duì)應(yīng)的傅里葉定律的適用條件對(duì)于大多數(shù)工程實(shí)踐問(wèn)題（穩(wěn)態(tài)及弱瞬態(tài)熱過(guò)程），這個(gè)假設(shè)已經(jīng)可以得出足夠精確的解。但是，對(duì)于快速的瞬態(tài)熱過(guò)程，這個(gè)條件不能滿(mǎn)足——

非傅里葉效應(yīng)或者說(shuō)：與熱的擾動(dòng)相對(duì)應(yīng)，熱流矢量和溫度梯度的建立是不需時(shí)間的§1-2熱導(dǎo)率（Thermalconductivity）熱導(dǎo)率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時(shí)間、通過(guò)單位面積的導(dǎo)熱量

—

物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類(lèi)、材料成分、溫度、

濕度、壓力、密度等熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。實(shí)驗(yàn)測(cè)定不同物質(zhì)熱導(dǎo)率的差異：構(gòu)造差別、導(dǎo)熱機(jī)理不同1、氣體的熱導(dǎo)率氣體的導(dǎo)熱：由于分子的熱運(yùn)動(dòng)和相互碰撞時(shí)發(fā)生的能量傳遞氣體分子運(yùn)動(dòng)理論：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為：除非壓力很低或很高，在2.67*10-3MPa~2.0*103MPa范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化：氣體分子運(yùn)動(dòng)的均方根速度氣體的溫度升高時(shí)：氣體分子運(yùn)動(dòng)速度和定容比熱隨T升高而增大。氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；：氣體的定容比熱氣體的壓力升高時(shí)：氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變?；旌蠚怏w熱導(dǎo)率不能用部分求和的方法計(jì)算；只能靠實(shí)驗(yàn)測(cè)定分子質(zhì)量小的氣體（H2、He）熱導(dǎo)率較大—

分子運(yùn)動(dòng)速度高2、固體的熱導(dǎo)率純金屬的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和

晶格的振動(dòng)；主要依靠前者(1)金屬的熱導(dǎo)率：晶體結(jié)構(gòu)的“小球”模型雖然很直觀(guān)，但仍然不便于表述晶體內(nèi)部原子排列順序規(guī)律的細(xì)節(jié)。金屬材料通常都是晶體材料。金屬的晶體結(jié)構(gòu)指的是金屬材料內(nèi)部原子排列的規(guī)律。它決定著材料的顯微組織和材料的宏觀(guān)性能晶體里面的原子（或）離子都是在它的平衡位置上不停地振動(dòng)著，但在討論晶體結(jié)構(gòu)時(shí)可以假設(shè)它們是一些靜止不動(dòng)的小球。各種晶體結(jié)構(gòu)就可以看成是這些小球按一些幾何方式緊密排列堆積而成的?！?/p>

晶格振動(dòng)的加強(qiáng)

干擾自由電子運(yùn)動(dòng)金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機(jī)理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體：聲子：晶格振動(dòng)的能量是量子化的。我們把晶格振動(dòng)的能量子稱(chēng)為聲子，它是一定頻率的熱彈性波形式的能量子。聲子類(lèi)似于電磁輻射理論中的光子晶格：用于描述原子在晶體中排列的三維空間周期性幾何點(diǎn)陣，即所謂晶格?？梢园言涌闯墒且粋€(gè)集合質(zhì)點(diǎn)，把原子之間的相互作用假想為幾何直線(xiàn)；晶體的結(jié)構(gòu)就可以直接用幾何學(xué)來(lái)討論合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性，干擾自由電子的運(yùn)動(dòng)金屬的加工過(guò)程也會(huì)造成晶格的缺陷合金的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動(dòng)；主要依靠后者溫度升高、晶格振動(dòng)加強(qiáng)、導(dǎo)熱增強(qiáng)如：常溫下：

（黃銅：70%Cu，30%Zn）非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動(dòng)傳遞熱量；比較小建筑和隔熱保溫材料：(2)非金屬的熱導(dǎo)率：大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān)保溫材料：國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度時(shí)熱導(dǎo)率小于0.12W/(mK)

的材料（絕熱材料）3、液體的熱導(dǎo)率液體的導(dǎo)熱：主要依靠晶格的熱振動(dòng)（聲子，phonon）在分子力和分子運(yùn)動(dòng)的競(jìng)爭(zhēng)中，液態(tài)是兩者勢(shì)均力敵的狀態(tài)理想氣體中分子運(yùn)動(dòng)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)——完全無(wú)序模型理想晶體中分子力占主導(dǎo)地位——完全有序模型完全無(wú)序模型和完全有序模型的理論都很成熟液體的情況介于兩個(gè)極端之間，非常難以處理，至今沒(méi)有統(tǒng)一的理論模型中子衍射表明：液體中分子在局部結(jié)構(gòu)改組之前大約在原地附近振動(dòng)10次到100次—液態(tài)分子結(jié)構(gòu)大致圖象大多數(shù)液體（分子量M不變）：通常研究液體的辦法是從兩頭逼近：或者把它看作非常稠密的實(shí)際氣體，或者把它看作熱運(yùn)動(dòng)非常劇烈的破損晶體，兩方面各自能說(shuō)明一些問(wèn)題水和甘油等強(qiáng)締合液體，在不同溫度下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不一樣液體的熱導(dǎo)率隨壓力p的升高而增大液體導(dǎo)熱系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式：§1-3導(dǎo)熱微分方程式（HeatDiffusionEquation）確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù)傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場(chǎng):理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+熱力學(xué)第一定律假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)化學(xué)反應(yīng)發(fā)射藥熔化過(guò)程(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強(qiáng)度qv[W/m3];

內(nèi)熱源均勻分布；qv

表示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量在導(dǎo)熱體中取一微元體熱力學(xué)第一定律：

d

時(shí)間內(nèi)微元體中：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+[內(nèi)熱源發(fā)熱量]=[熱力學(xué)能的增加]1、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量d時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的熱量：d時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的熱量：d時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：d時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：d時(shí)間內(nèi)、沿z

軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：d時(shí)間內(nèi)、沿y

軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]:傅里葉定律：2、微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量d時(shí)間內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：3、微元體熱力學(xué)能的增量d時(shí)間內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量：由[1]+[2]=[3]：導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過(guò)程的能量方程若物性參數(shù)、c和均為常數(shù)：熱擴(kuò)散率a反映了導(dǎo)熱過(guò)程中材料的導(dǎo)熱能力（）與沿途物質(zhì)儲(chǔ)熱能力（

c）之間的關(guān)系a值大，即值大或

c值小，說(shuō)明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個(gè)物體中很快擴(kuò)散熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時(shí)，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力（Thermaldiffusivity）在同樣加熱條件下，物體的熱擴(kuò)散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。a反應(yīng)導(dǎo)熱過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量若物性參數(shù)為常數(shù)且無(wú)內(nèi)熱源：若物性參數(shù)為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：圓柱坐標(biāo)系（r,,z）

球坐標(biāo)系（r,，）§1-4導(dǎo)熱過(guò)程的單值性條件導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+熱力學(xué)第一定律它描寫(xiě)物體的溫度隨時(shí)間和空間變化的關(guān)系；它沒(méi)有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過(guò)程。通用表達(dá)式。對(duì)特定的導(dǎo)熱過(guò)程：需要得到滿(mǎn)足該過(guò)程的補(bǔ)充說(shuō)明條件的唯一解單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說(shuō)明條件單值性條件包括四項(xiàng)：幾何、物理、時(shí)間、邊界完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+單值性條件1、幾何條件如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說(shuō)明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小2、物理?xiàng)l件如：物性參數(shù)、c和的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無(wú)內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性說(shuō)明導(dǎo)熱體的物理特征3、時(shí)間條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程不需要時(shí)間條件—與時(shí)間無(wú)關(guān)說(shuō)明在時(shí)間上導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)行的特點(diǎn)對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程應(yīng)給出過(guò)程開(kāi)始時(shí)刻導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布時(shí)間條件又稱(chēng)為初始條件例：（Initialconditions）４、邊界條件說(shuō)明導(dǎo)熱體邊界上過(guò)程進(jìn)行的特點(diǎn)反映過(guò)程與周?chē)h(huán)境相互作用的條件邊界條件一般可分為三類(lèi)：第一類(lèi)、第二類(lèi)、第三類(lèi)邊界條件（１）第一類(lèi)邊界條件s—邊界面;tw=f(τ,x,y,z)—邊界面上的溫度已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上溫度值：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：tw=const非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：tw=f()oxtw1tw2例：（Boundaryconditions）（2）第二類(lèi)邊界條件根據(jù)傅里葉定律：已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規(guī)律：第二類(lèi)邊界條件相當(dāng)于已知任何時(shí)刻物體邊界面法向的溫度梯度值穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：qw非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：特例：絕熱邊界面：（3）第三類(lèi)邊界條件傅里葉定律：當(dāng)物體壁面與流體相接觸進(jìn)行對(duì)流換熱時(shí)，已知任一時(shí)刻邊界面周?chē)黧w的溫度和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)導(dǎo)熱微分方程式的求解方法導(dǎo)熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場(chǎng)積分法、杜哈美爾法、格林函數(shù)法、拉普拉斯變換法、分離變量法、積分變換法、數(shù)值計(jì)算法tf,hqw牛頓冷卻定律：§2-1通過(guò)平壁的導(dǎo)熱第二章穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（Steady-StateConduction）直角坐標(biāo)系:圓柱坐標(biāo)系:ox假設(shè)：長(zhǎng)度和寬度遠(yuǎn)大于厚度—簡(jiǎn)化為一維導(dǎo)熱問(wèn)題a)導(dǎo)熱微分方程:1、第一類(lèi)邊界條件下通過(guò)平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱b)幾何條件：?jiǎn)螌踊蚨鄬?；c)物理?xiàng)l件：、c、

已知；有或無(wú)內(nèi)熱源e)邊界條件：第一類(lèi)：已知tw

第三類(lèi)：已知h,tf(1)單層平壁a)為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：d)時(shí)間條件：oxtw1ttw2直接積分，得：導(dǎo)過(guò)平壁的熱流量：根據(jù)邊界條件，得：平壁內(nèi)溫度分布：熱流密度：線(xiàn)性分布b)

隨溫度變化、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：溫度分布：二次曲線(xiàn)方程熱流密度：c)為常數(shù)、有內(nèi)熱源時(shí)：溫度分布：溫度分布：熱流密度：溫度分布：?jiǎn)栴}：溫度的極值能否落在0與之外？(2)多層平壁多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等=溫差除以熱阻之和對(duì)于多層（n層）平壁：2、第三類(lèi)邊界條件下通過(guò)平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(1)單層平壁（

為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源）該問(wèn)題就是在前面緒論中提到的傳熱過(guò)程在穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程傳熱過(guò)程中：2、第三類(lèi)邊界條件下通過(guò)平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(1)單層平壁（

為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源）

k—傳熱系數(shù)[W/(m2K)]

(2)多層平壁（

為常數(shù)、無(wú)內(nèi)熱源）多層平壁的總熱阻等于各層熱阻之和§2-2通過(guò)復(fù)合平壁的導(dǎo)熱工程上會(huì)遇到這樣一類(lèi)平壁：無(wú)論沿寬度還是厚度方向，都是由不同材料組合而成——復(fù)合平壁在復(fù)合平壁中，由于不同材料的導(dǎo)熱系數(shù)不同，嚴(yán)格地說(shuō)復(fù)合平壁的溫度場(chǎng)是二維或三維的如：空斗墻、空斗填充墻、空心板墻、夾心板墻復(fù)合平壁的導(dǎo)熱量：簡(jiǎn)化處理：當(dāng)組成復(fù)合平壁的各種不同材料的導(dǎo)熱系數(shù)相差不大時(shí)，可近似當(dāng)作一維導(dǎo)熱問(wèn)題處理兩側(cè)表面總溫差總導(dǎo)熱熱阻B、C、D材料的導(dǎo)熱系數(shù)相差不大時(shí)，假設(shè)與x

方向平行的界面是絕熱的B、