邊界層-冶金傳輸原理

邊界層原理與應(yīng)用北京科技大學(xué)冶金與生態(tài)學(xué)院白皓2023/1/151邊界層概念的提出業(yè)已知道，流動Re數(shù)（O.Reynolds，1883年，英國流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點的慣性力與粘性力對比關(guān)系的。根據(jù)量級分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:

慣性力：

粘性力：慣性力/粘性力：

因此，在高Re數(shù)下，流體運動的慣性力遠遠大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動問題是有實際意義的。2023/1/152◎Reynolds數(shù)意義的回顧Re數(shù)很大時，可以忽略粘性作用。但是由理想流體得出的速度場在靠近壁面處與真實情況不符?！狣’Alembert佯謬?！驘o滑移邊界條件真實情況下，緊貼物體表面的流體與物體之間是沒有相對流動的，這樣在緊靠物體表面附近的一層流體區(qū)域中，有很大的速度梯度?！?qū)嶋H流體是有粘性的。按照Newton內(nèi)摩擦定律，當(dāng)流場中流體之間存在速度梯度時，粘性就以內(nèi)摩擦的形式出現(xiàn)。其特點是使低速流體加速，使高速流體減速。速度梯度越大，粘性力也就越大。這樣，在近靠壁面的層中，粘性力和慣性力相比是不能忽略的。2023/1/153Prandtl在1904年提出了邊界層的概念，他認為流動可以分兩個區(qū)域來研究：在物體表面處有一個薄層，在這個薄層中必須考慮粘性力的作用，這個薄層稱為邊界層。在邊界層外的區(qū)域中，流體可以當(dāng)作理想的。邊界層概念的作用：將粘性力的作用限制在很薄的一層中，對于薄層外部的大部分流域，則可按理想流體的處理方法，極大地簡化粘性流體分析，而且所得的結(jié)果與實際的情況也相符。2023/1/154

Prandtl的邊界層概念，為人們?nèi)绾斡嬋胝承缘淖饔瞄_辟了劃時代的途徑，因此稱其為粘性流體力學(xué)之父。對整個流場提出的基本分區(qū)是：（1）整個流動區(qū)域可分成理想流體的流動區(qū)域（勢流區(qū)）和粘性流體的流動區(qū)域（粘流區(qū)）。（2）在遠離物體的理想流體流動區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢流理論處理。（3）粘性流動區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱為邊界層。既然是粘流區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質(zhì)點作有旋運動。2023/1/155將繞流流場劃分成邊界層和外流區(qū)兩個部分，首先遇到的是如何確定兩者之間的分界面。參看平板邊界層的圖。由于粘性作用，流體速度在壁面處為零，然后沿壁面法向并逐漸增加，最終達到外部主流的速度V∞?？紤]到邊界層外邊界處，速度增加到V∞是一個漸近過程，因此人為規(guī)定：將流體速度從u=0到u=0.99V∞對應(yīng)的流體層的厚度定義為邊界層的厚度。2023/1/156邊界層厚度的量級估計根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說明。設(shè)來流的速度為U，在x方向的長度為L，邊界層厚度為。慣性力：

粘性力：

由慣性力與粘性力同量級得到

2023/1/157邊界層結(jié)構(gòu)

圖10.7流體繞過流線型銳端平板層流區(qū)過渡區(qū)紊流區(qū)WxwwWδδ層流底層因為邊界層厚度極小，擾動在其中不易發(fā)展，所以此時邊界層中的流動是層流，稱為層流邊界層，受粘性力的控制。當(dāng)流體沿平板繼續(xù)流動，邊界層逐漸增厚，擾動便會發(fā)展起來，邊界層中的流動變成紊流，此時邊界層厚度增加很快，稱為紊流邊界層。邊界層由層流向紊流轉(zhuǎn)變時，不是突然發(fā)生的，中間有一過渡區(qū)，稱作變流區(qū)。在與板面直接接觸的地方，還有一層極薄的層流底層（對光滑板尤其明顯）。邊界層由層流向紊流的轉(zhuǎn)變，取決于雷諾數(shù)Re的大小。對繞流流場，Re與主流流速v、流體運動粘度μ和自板端向后流過的距離x有關(guān)，即

2023/1/158是否由層流轉(zhuǎn)入紊流取決于臨界雷諾數(shù)Re，而主流的初始擾動程度、板面的幾何形狀、流場的壓力梯度、壁面的粗糙度、流體的可壓縮性（馬赫數(shù)）、加熱或冷卻效果等都會影響臨界雷諾數(shù)Re。對于光滑表面沒有壓力梯度的絕熱流動2023/1/159

邊界層微分方程普朗特提出邊界層的微元體分析法，建立了邊界層的微分方程式。邊界層中的流動屬于粘性流，它符合納維—斯托克斯方程式。對于忽略了質(zhì)量力的不可壓縮流體穩(wěn)定的二維繞流流動，其運動方程式和連續(xù)方程式為

（10.5）

邊界層計算主要解決的是邊界層厚度沿界面的變化、流體壓力分布和流動阻力的計算問題。下面首先討論邊界層微分方程式。2023/1/1510LudwigPrandtl介紹

普朗特重視觀察和分析力學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成了非凡的直觀洞察能力，善于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說：“我只是在相信自己對物理本質(zhì)已經(jīng)有深入了解以后，才想到數(shù)學(xué)方程。方程的用處是說出量的大小，這是直觀得不到的，同時它也證明結(jié)論是否正確?！逼绽侍刂笇?dǎo)過81名博士生，著名學(xué)者Blasius、VonKarman是其學(xué)生之一。2023/1/1511

現(xiàn)利用邊界層特性來討論方程組中各項的數(shù)量級，從而簡化方程組。以表示主流速度、表示邊界層厚度、表示繞流物體的長度（如平板長、翼弦）。并以表示微量，用符號“～”表示數(shù)量級相同。在流動方向上，的變化從零到，與數(shù)量級相同；相應(yīng)地由零到，具有的數(shù)量級，即～，～由于邊界層厚度很小，與繞流物體長度相比為微量，因此邊界層中的速度沿著厚度從零變化到，因此～；的數(shù)量級可由連續(xù)性方程推導(dǎo)如下：～或～2023/1/1512各項除以，注意到，則上式可寫成

式（10.5）的第一個方程中各項及對應(yīng)的數(shù)量級為

當(dāng)較大時，有～，則～1，趨于零。111式（10.5）的第二個方程中各項的數(shù)量級為2023/1/1513

各項除以，則上式可寫成與第一個方程中各項的數(shù)量級相比，上式各項均為微量，從而得到。即邊界層中的壓力在y方向是不變的，與邊界層外的壓力相等。事實上，由實驗測出的物體表面壓力分布與按理想勢流計算出的壓力分布十分接近。（10.6）其邊界條件為由上述分析，得到簡化后的不可壓縮粘性流體二維穩(wěn)定流動的層流邊界層方程組2023/1/1514第十章

邊界層理論

第二節(jié)邊界層微分方程式中表示位置沿壁面的主流區(qū)的流速，即邊界層外緣的流速。當(dāng)時，主流流速不變，為一常數(shù)，與無關(guān)。邊界層微分方程式是邊界層計算的基本方程式。但是，由于它的非線性，即使對于形狀最簡單的物體，求解也十分困難。因此目前只能對平板繞流層流邊界層進行解析計算，對復(fù)雜物體的繞流和紊流邊界層尚無法求解。2023/1/1515

如圖10.9所示，假定在穩(wěn)定流動情況下，沿平板流動方向主流速度不隨而變化，故不存在壓力梯度，即。式（10.6）變?yōu)?/p>

圖10.9作用在邊界層流體微元上的力dxyxdy

o平板層流邊界層的計算應(yīng)從式（10.6）及其邊界條件出發(fā)，先將運動方程和連續(xù)性方程歸并、簡化成常微分方程式，然后進行求解，得到邊界層中速度分布規(guī)律及沿流動方向邊界層厚度增長規(guī)律，最后確定出流動的剪切應(yīng)力和阻力系數(shù)。（10.7）為了將其簡化為一常微分方程式，在邊界層中取一微元體進行分析，作用在微元體上的力只有粘性力和慣性力。2023/1/1516

設(shè)邊界層微元底面的粘性力為，頂面的粘性力為，則沿方向粘性力的合力為，由于，故。微元體的加速度對穩(wěn)定流動，從而得，因此慣性力。在層流邊界層中，粘性力與慣性力成比例，即

（10.8）假定邊界層中的速度分布在任何截面上均相似，也就有

于是

2023/1/1517

或（10.9）代入式（10.8），可得

（10.10）將（10.9）式代入上式可得

（10.11）式中。令為另一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則由上述邊界層中速度分布的相似條件可知是的函數(shù)，即2023/1/1518

對層流邊界層引入流函數(shù)，則有，于是

由此得則（10.12）

利用流函數(shù)，并將各運動參量表示成的函數(shù)，可將邊界層微分方程簡化為的常微分方程。

2023/1/1519

由于流線方程具有連續(xù)函數(shù)的特性，即（10.13）2023/1/1520

也就是

可見所取流線方程式滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程。將式（10.13）代入式（10.6）中的納維—斯托克斯運動方程，整理后得到

（10.14）

（b）此式是一個三階非線性常微分方程式，其邊界條件是即即（a）

即

（c）2023/1/1521

利用上述邊界條件，將邊界層計算問題歸結(jié)為求解常微分方程式（10.14），即求函數(shù)。假定是一個指數(shù)級數(shù)形式：其中，，，是待定系數(shù)。由上式可得函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)、、由函數(shù)、及邊界條件的式（a）、（b）得到，；，將、和代入微分方程式（10.14），整理后可得2023/1/1522

可見、、、等不為零，且均可用表示。于是變成下列

要滿足式（10.14），上式中各項都應(yīng)為零，由此可確定各系數(shù)為，，，，（10.15）形式：式中系數(shù)可利用邊界條件的式（c），即時來確定。勃拉修斯經(jīng)過計算得到。于是可通過數(shù)值計算得出、、、等在不同值下的數(shù)值。豪沃斯（Howarth）求得0～8.8范圍內(nèi)上述各項的數(shù)值解，其部分結(jié)果列于表10.1中。表10.1表明：當(dāng)時，已趨近于1。根據(jù)式（10.13）的第一式可知，此時，即邊界層外緣流速已等于主流速度，值（）已達到邊界層規(guī)定厚度以上。2023/1/1523

由表中也可以看出，當(dāng)值達到0.99時，，此時，或者（10.16）層流情況下貼近壁面處流體的剪切應(yīng)力為由式（10.13）已知