計(jì)算機(jī)圖形學(xué)8中文

幾何變換

第4章1.矢量2.矩陣變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）兩個(gè)矢量之和：矢量運(yùn)算（2）兩個(gè)矢量的點(diǎn)積：（3）矢量的長度：矢量運(yùn)算（4）兩個(gè)矢量的叉積：aij是矩陣中第i行第j上的元素。上述矩陣記為A，或AmXn，或(aij)

mXn。矩陣?yán)m(xù).定義：m=n時(shí)：A稱為方陣m=1時(shí)：退化為行向量(vector)n=1時(shí)：退化為列向量(vector)

時(shí)：稱為A=B續(xù).單位矩陣：零矩陣：續(xù)矩陣加法：矩陣加法滿足的運(yùn)算律：結(jié)合律交換律A+0=A續(xù).矩陣數(shù)乘續(xù).矩陣乘法：矩陣乘法滿足的運(yùn)算律：結(jié)合律分配律AI=IA=A不滿足交換律！續(xù).矩陣轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律：續(xù).矩陣行列式非奇異矩陣逆矩陣：非奇異矩陣具有逆矩陣若把n維空間坐標(biāo)叫做普通坐標(biāo),則相應(yīng)的n+1維空間坐標(biāo)叫做齊次坐標(biāo).

齊次坐標(biāo)技術(shù):用n+1維向量表示n維向量的技術(shù)普通坐標(biāo)齊次坐標(biāo)(x，y)(hx，hy，h)其中，h是一個(gè)任意的非零標(biāo)量齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)則(x，y)的齊次坐標(biāo)為(x，y，1)二維變換的表示旋轉(zhuǎn),縮放,對稱,錯(cuò)切平移整體縮放投影代數(shù)式矩陣式三維空間右手直角坐標(biāo)系XYZ點(diǎn):

三維空間的代數(shù)表示矩陣表示引入齊次坐標(biāo)[0001]變換的兩種實(shí)現(xiàn)方法:

(1)坐標(biāo)系不變,圖形變換;(2)圖形不變,坐標(biāo)系變換.變換方法4.1二維變換平移變換旋轉(zhuǎn)變換縮放變換反射變換錯(cuò)切變換二維復(fù)合變換

在二維坐標(biāo)系中,將點(diǎn)P(x,y)在x、y軸方向分別平移tx、ty，得到點(diǎn)P’(x’,y’)，則P點(diǎn)與P’點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為：

變換矩陣:T=矢量形式為：P’=P+T平移變換平移前平移后(4,5)(7,5)●●xy(7,1)(10,1)●●xy續(xù)用齊次坐標(biāo)表示平移變換過程：其中:平移矩陣?yán)m(xù).平移圖形:平移是剛體變換平移圖形的每個(gè)點(diǎn)平移圖形的關(guān)鍵點(diǎn)并重新定義圖形逆變換:P(x,y)P’(x’,y’)OrP1P1’旋轉(zhuǎn)變換(相對原點(diǎn))續(xù).變換矩陣：則變換公式為：正:逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)負(fù):順時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆變換:續(xù).圖形的旋轉(zhuǎn)變換對圖形的每個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)同樣角度旋轉(zhuǎn)變換是剛體變換：旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點(diǎn)重新定義圖形旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)房子.房子也改變位置Beforerotation(9,2)(5,2)●●xyAfterrotationxy(2.1,4.9)●●(4.9,7.8)固定某個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換?縮放變換（1）變換矩陣:變換公式:縮放變換是指對點(diǎn)的X，Y坐標(biāo)值進(jìn)行縮放。Sx,Sy

稱為縮放系數(shù)，可取任何正數(shù);S稱為縮放矩陣?？s放變換可使物體產(chǎn)生重定位，如右圖所示，縮放比例不同，定位距離也不同。當(dāng)縮放系數(shù)大于1時(shí)，物體被放大，否則縮??；當(dāng)Sx＝Sy時(shí)，物體發(fā)生等比變換，否則發(fā)生差值縮放，產(chǎn)生變形?？s放變換（2）P0P1’OP1P0’縮放圖形多邊形縮放頂點(diǎn)，然后重新定義多邊形circle圓（中心對稱圖形）縮放半徑給定定義參數(shù)的圖形縮放參數(shù)并重新定義圖形相對X軸對稱：對稱變換變換矩陣:變換公式:對稱變換是產(chǎn)生物體鏡象的一種變換.續(xù).相對Y軸對稱:續(xù).相對原點(diǎn)對稱:續(xù).相對y=x直線對稱:相對y=-x直線對稱:

錯(cuò)切變換：保持圖形上各點(diǎn)的某一坐標(biāo)值不變，而另一坐標(biāo)值關(guān)于該坐標(biāo)值呈線性變化。 坐標(biāo)保持不變的坐標(biāo)軸稱為倚賴軸，其它坐標(biāo)軸稱為方向軸。(1)以y軸為依賴軸的錯(cuò)切變換(沿x方向的錯(cuò)切）即y不變，x的值隨y的值而線性變化Shx=tan

錯(cuò)切變換Shy=tan

(2)以x軸為依賴軸的錯(cuò)切變換續(xù).續(xù).兩類:沿著x軸錯(cuò)切沿著y軸錯(cuò)切錯(cuò)切的通用表示:b=0ord=0變換合成根據(jù)矩陣運(yùn)算的性質(zhì)，可推出二維基本變換的如下性質(zhì)：平移變換和旋轉(zhuǎn)變換具有可加性縮放變換具有可乘性關(guān)于任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換設(shè)點(diǎn)是，則變換由一些基本變換構(gòu)成?平移(T)?旋轉(zhuǎn)(R)??逆平移T=T-1·R·T續(xù).關(guān)于任意點(diǎn)的縮放參考點(diǎn):,在縮放前后修改點(diǎn)變換由平移，關(guān)于原點(diǎn)的縮放，以及逆平移變換組成續(xù).即:關(guān)于任意線的對稱TRSY作業(yè)（1）直線為y=x+b寫出T總關(guān)于任意直線的對稱變換作業(yè)（2）證明我們可以通