數(shù)學(xué)物理方法第九章課件1

蔣耿明工程數(shù)學(xué)EngineeringMathematics復(fù)旦大學(xué)通信科學(xué)與工程系光華樓東主樓1108室Tel.:65100226E-mail:jianggm@

2023/1/152數(shù)理方程和特殊函數(shù)第九章本征函數(shù)法數(shù)學(xué)物理方程定解問題的求法1.行波法；2.分離變量法；3.冪級(jí)數(shù)解法；4.格林函數(shù)法；5.積分變換法；6.保角變換法；7.變分法；8.數(shù)值計(jì)算法2023/1/153求解定解問題的行波法

(達(dá)朗貝爾公式)弦的橫振動(dòng)方程(自由振動(dòng))：還可以寫作假設(shè)弦長(zhǎng)為無(wú)限

無(wú)邊界條件

初始條件：2023/1/154求解定解問題的行波法

(達(dá)朗貝爾公式)波動(dòng)方程的算子可分解作方程的通解為如下形式不同于常微分方程，上式出現(xiàn)了任意函數(shù)而不是常數(shù)行波法:把定解問題的解表示為

左、右行進(jìn)波相疊加的方法2023/1/155波動(dòng)方程的通解有鮮明的物理意義例如f2

(x–at),考慮以速度a

沿x

軸正方向移動(dòng)的坐標(biāo)軸X，則新舊坐標(biāo)和時(shí)間的關(guān)系為而

f2

(X)與時(shí)間無(wú)關(guān)，說明函數(shù)圖象在動(dòng)坐標(biāo)系中保持不變，即表示沿x

軸正向以速度a傳播的行波；同理f1

(x+at)表示沿x

軸負(fù)向以速度a

傳播的行波；u(x,t)表示以速度a

沿兩個(gè)方向傳播的行波的疊加。2023/1/156函數(shù)f1

與f2

的確定假設(shè)弦長(zhǎng)為無(wú)限無(wú)邊界條件，只有有初始條件：將通解代入：即：2023/1/157達(dá)朗貝爾公式(D.Alembert)解方程組：代回方程的通解公式可得滿足初始條件的特解2023/1/158例：假設(shè)初始條件：其中：

0u0x

j

x1x22023/1/159由達(dá)朗貝爾公式：

0u0x

j

x1x2

j

x

x1x2t=0

x

x1x2t1

x

x1x2t2

x

x1x2t3

x

x1x2t42023/1/1510分離變量法的引入§9.1

分離變量法兩端固定的弦橫振動(dòng)方程：弦長(zhǎng)有限邊界條件＋初始條件：2023/1/1511駐波的形成兩端固定的弦是有限長(zhǎng)的，行波在弦的端點(diǎn)反射兩列反向傳播的同頻率的波形成駐波。駐波無(wú)波形傳播現(xiàn)象，各點(diǎn)振動(dòng)方式與t有關(guān)，振幅與x

有關(guān)。(變量分解的物理基礎(chǔ))OtT/22023/1/1512分離變量法因此，駐波的表達(dá)式可寫為上式代入波動(dòng)方程我們有上式左右相等，唯一的可能是等于某常數(shù)右端只與t

有關(guān)（換句話說，與x無(wú)關(guān)）,左端只與x有關(guān)（換句話說，與t無(wú)關(guān)）。要使此式成立，左右兩端只能等于一個(gè)既與t無(wú)關(guān)又與x無(wú)關(guān)的常數(shù)。2023/1/1513分離變量法由此，得到兩個(gè)二階線性常微分方程由邊界條件由初始條件2023/1/1514分離變量法關(guān)于X

的常微分方程及邊界條件先求解關(guān)于X的常微分方程，考慮常數(shù)l的情況：l<0；l=0；l>0關(guān)于

T

的常微分方程及初始條件2023/1/1515分離變量法－

X部分

l=0的情況：代入邊界條件X(x)

0（平庸解-trivialsolution）,所求駐波無(wú)意義。2023/1/1516分離變量法－本征值問題問題：是否存在參數(shù)的某些值，使得該問題有非零解(非平庸解)？本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值。本征函數(shù)：與本征值對(duì)應(yīng)的非零解。2023/1/1517

矩陣特征值定義：

設(shè)A是

n

階方陣，如果數(shù)λ和n

維非零列向量

x使關(guān)系式Ax=λx

成立，那么，這樣的數(shù)λ

稱為方陣A的特征值，非零向量x

稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ

的特征向量。線性系統(tǒng)A對(duì)于某些輸入x，其輸出y

恰巧是輸入x的λ倍，即y=λx

；對(duì)某些輸入，其輸出與輸入就不存在這種按比例放大的關(guān)系。所以，給定一個(gè)線性系統(tǒng)A，到底對(duì)哪些輸入，能使其輸出按比例放大，放大倍數(shù)等于多少？這顯然是控制論中感興趣的問題Lx=λx其它的本征值定義2023/1/1518例如，對(duì)系統(tǒng)

，若輸入則若輸入，則2023/1/1519例：哪些是d2/dx2

的本征函數(shù)?求出相應(yīng)的本征值。

(a)eimx

(b)sinx(c)x2+y2解:(a)和(b)是d2/dx2的本征函數(shù)

eimx

→-m2eimx,

其相應(yīng)的本征值為-m2

sinx→-sinx,其相應(yīng)的本征值為-1

(c)

不是“本征值”－(Eigenvalue);“本征函數(shù)”－(Eigenfunction)金屬波導(dǎo)、光導(dǎo)纖維：波導(dǎo)截面電場(chǎng)是駐波

麥克斯韋方程

+邊值條件=本征值問題2023/1/1520二階常系數(shù)微分方程：特征方程：根的三種情況：常系數(shù)微分方程的通解：常系數(shù)微分方程的通解:用于解特征向量（常數(shù)變異法）2023/1/1521分離變量法－

X部分

l<0的情況：由常微分方程通解形式X(x)

0,所求駐波無(wú)意義,所以l

不能<0。代入邊界條件2023/1/1522分離變量法－

X部分

至此，只能l>0：由常微分方程通解形式若C2=0

則

X(x)

0,所求駐波無(wú)意義,所以C20代入邊界條件2023/1/1523分離變量法－

X部分

只能剩下一種可能性：上式正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族。代入本征值本征函數(shù)2023/1/1524分離變量法－

T部分

關(guān)于T的常微分方程及邊界條件由常微分方程通解形式

An、Bn

為常數(shù)。2023/1/1525分離變量法至此，波動(dòng)方程滿足邊界條件的特解為：根據(jù)三角函數(shù)和角公式2023/1/1526弦振動(dòng)方程解的物理意義可得在n=1

對(duì)應(yīng)的駐波稱為基波，波長(zhǎng)最長(zhǎng)：

2l

，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率最低：f=a/2l(決定了音調(diào))在n>1

對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的駐波稱n

次諧波，波長(zhǎng)是基波的1/n

，振動(dòng)頻率是基波的n

倍(決定了音色)每個(gè)un

對(duì)應(yīng)兩端固定的弦可能存在的一種駐波：在x=kl/n

(k=0,1,2....n)

共n+1個(gè)點(diǎn)上，sin(np

x/l)

=0

，對(duì)應(yīng)駐波的節(jié)點(diǎn)。振動(dòng)角頻率：

wn=nap/l,頻率：fn=na/2l2023/1/15270l0l0l（n=1）（n=2）（n=3）2023/1/1528分離變量法下一步：由初始條件確定系數(shù)

An、Bn

。根據(jù)解的疊加原理，un

的線性組合也是波動(dòng)方程的解，即：由初始條件2023/1/1529分離變量法由傅立葉級(jí)數(shù)展開公式2023/1/1530補(bǔ)充說明解由一系列頻率不同（成倍增長(zhǎng)）、相位不同、振幅不同的駐波疊加而成－所以分離變量法又稱駐波法。各個(gè)駐波的振幅、相位等由定解條件決定；而頻率f=na/2l與初始條件無(wú)關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率。2023/1/1531分離變量法的解題步驟第一步第二步第四步令

u(x