名師課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)411 條件概率

第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.1條件概率基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探主題1條件概率的概念某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生及團(tuán)員的人數(shù)如表：團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545在班級(jí)里隨機(jī)選擇一人做代表.(1)選到男生的概率是多大？提示：用A表示事件“選到團(tuán)員”，B表示事件“選到男生”，則P(B)=(2)如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多大？提示：P(A∩B)=，P(A)=，若用B|A表示事件“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生”，則P(B|A)=顯然P(B|A)=結(jié)論：條件概率一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)>0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作：P(A|B)，而且P(A|B)=_________.【對(duì)點(diǎn)練】1.若P(A∩B)=，P(A)=，則P(B|A)= (

)

【解析】選B.由公式得P(B|A)=2.把一枚硬幣任意拋擲兩次，事件A={第一次出現(xiàn)正面}，B={第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)= (

)

【解析】選B.P(A∩B)=，P(A)=，所以P(B|A)=.主題2條件概率的性質(zhì)1.依據(jù)條件概率的定義以及概率的范圍，試寫(xiě)出條件概率的范圍.提示：因?yàn)镻(B|A)=(P(A)>0)，且每個(gè)事件的概率都大于或等于0且小于或等于1，所以0≤P(B|A)≤1.2.如果B與C是兩個(gè)互斥事件，試寫(xiě)出求P((B∪C)|A)的公式.提示：由于B與C是互斥事件，所以P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A).結(jié)論：條件概率的性質(zhì)(1)P(B|A)∈_______；(2)P(A|A)=__；(3)如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P((B∪C)|A)=______________.[0，1]1P(B|A)+P(C|A)【對(duì)點(diǎn)練】1.下列式子成立的是 (

)A.P(A|B)=P(B|A)

B.0<P(B|A)<1C.P(AB)=P(B|A)·P(A) D.P(AB|A)=P(B)【解析】選C.由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)·P(A)，而P(A|B)=知A不正確，C正確；當(dāng)P(B)為零時(shí)知P(B|A)=0，所以B不正確；D選項(xiàng)應(yīng)是P(AB|A)=P(B|A)，故D不正確.2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為 (

)

A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.5【解析】選A.在種子發(fā)芽的條件下，成長(zhǎng)為幼苗，所以為條件概率問(wèn)題.設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長(zhǎng)為幼苗(發(fā)芽，又成活為幼苗)”為事件A∩B，則發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)=0.8，P(A)=0.9.根據(jù)條件概率公式得P(A∩B)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.探究點(diǎn)一利用定義計(jì)算條件概率【典例1】一個(gè)袋中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取兩個(gè)球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B.(1)分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率；(2)求P(B|A).【思維導(dǎo)引】(1)根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算；(2)利用條件概率計(jì)算公式計(jì)算.【解析】(1)由古典概型的概率公式可知P(A)=，P(B)=P(AB)=(2)P(B|A)=【類題通法】用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計(jì)算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)=【定向訓(xùn)練】1.從標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的五張卡片中，依次抽出2張(取后不放回)，則在第一次抽到卡片是奇數(shù)的情況下，第二次抽到卡片是偶數(shù)的概率為 (

)

【解析】選D.從標(biāo)有1，2，3，4，5的五張卡片中，依次抽出2張，設(shè)事件A表示“第一次抽到奇數(shù)”，事件B表示“第二次抽到偶數(shù)”，則P(A)=，P(AB)=則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為：P(B|A)=2.甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)多年的氣象記錄知道，甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為15%和12%，兩地同時(shí)下雨的比例為8%，問(wèn)：(1)乙地為雨天時(shí)甲地為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時(shí)乙地為雨天的概率是多少？【解析】設(shè)“甲地為雨天”為事件A，“乙地為雨天”為事件B，根據(jù)題意，得P(A)=0.15，P(B)=0.12，P(AB)=0.08.(1)乙地為雨天時(shí)甲地為雨天的概率是P(A|B)=(2)甲地為雨天時(shí)乙地為雨天的概率是P(B|A)=探究點(diǎn)二縮小樣本點(diǎn)范圍求條件概率【典例2】集合A={1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.【思維導(dǎo)引】分別列舉出甲抽到奇數(shù)，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的所有情形.【解析】將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個(gè)，在這15個(gè)中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個(gè)，所以所求概率P=【延伸探究】本例條件不變，求乙抽到偶數(shù)的概率.【解析】在甲抽到奇數(shù)的情形中，乙抽到偶數(shù)的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9個(gè)，所以所求概率P=【類題通法】利用縮小基本事件范圍計(jì)算條件概率的方法將原來(lái)的基本事件全體Ω縮小為已知的條件事件A，原來(lái)的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個(gè)基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等，從而可以在縮小的事件空間上利用古典概型公式計(jì)算條件概率，即P(B|A)=，這里n(A)和n(AB)的計(jì)數(shù)是基于縮小的基本事件范圍的.【定向訓(xùn)練】一個(gè)盒子內(nèi)裝有4張獎(jiǎng)券，其中3個(gè)一等獎(jiǎng)，1個(gè)二等獎(jiǎng)，從中取兩次，每次任取1個(gè)(不放回抽取).設(shè)事件A為“第一次取到的是一等獎(jiǎng)券”，事件B為“第二次取到的是一等獎(jiǎng)券”，試求P(B|A).【解析】將獎(jiǎng)券編號(hào)為1，2，3號(hào)的看作一等獎(jiǎng)，4號(hào)為二等獎(jiǎng)，以(i，j)表示第一次，第二次分別取得第i號(hào)，第j號(hào)獎(jiǎng)券，則試驗(yàn)的樣本點(diǎn)空間Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9種情況，事件AB有6種情況，P(B|A)=探究點(diǎn)三條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用【典例3】(1)若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，則P((B∪C)|A)= (

)

(2)一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.依次取出3個(gè)球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取出黑球的概率.【思維導(dǎo)引】(1)可直接利用條件概率的性質(zhì)P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)求解.(2)第三次取出黑球是在第一次取得白球的條件下發(fā)生的，符合條件概率，因此可用條件概率公式求解.【解析】(1)選D.因?yàn)锽，C是互斥事件，所以P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=

(2)設(shè)A={第一次取出白球}，C={第三次取出白球}，則

【類題通法】復(fù)雜條件概率問(wèn)題的處理策略對(duì)于比較復(fù)雜的事件，可以先分解為兩個(gè)(或若干個(gè))較簡(jiǎn)單的互斥事件的并，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)即得所求的復(fù)雜事件的概率.【定向訓(xùn)練】1.拋擲兩枚均勻骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)為4”，則P(B|A)=(

)

【解析】選C.由題意，拋擲兩枚均勻骰子，構(gòu)成的基本事件的總數(shù)共有36種，其中記事件A為“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同”的基本事件共有36-6=30種，又由事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)不同且最大點(diǎn)數(shù)為4”的基本事件為：(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共有6種，所以P(B|A)=2.在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球(不放回)，求在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率.【解析】設(shè)“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第二個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏.方法一：由題意得，所以P(B|A)=P(C|A)=所以P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=所以所求的條件概率為.方法二：因?yàn)閚(A)=1×=9，n((B∪C)|A)=+=5，所以P((B∪C)|A)=.所以所求的條件概率為.【跟蹤訓(xùn)練】外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中，每盒10個(gè).第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B，第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)，第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)為成功.求試驗(yàn)成功的概率.【解析】設(shè)A={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，B={從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，R={第二次取出的球是紅球}，W={第二次取出的球是白球}，則P(A)=，P(B)=，所以P(R|A)=，P(W|A)=，P(R|B)=，P(W|B)=，所以P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=【課堂小結(jié)】1.下面幾種概率是條件概率的是 (

)A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率C.有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，恰好抽到一件次品的概率D.小明上學(xué)路上要過(guò)四個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，則小明在一次上學(xué)中遇到紅燈的概率【解析】選B.由條件概率的定義知B為條件概率.2.一個(gè)口袋中裝有若干個(gè)除顏色外都相同的黑色、白色的小球，從中取出一個(gè)小球是白球的概率為，連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白球的概率為，已知某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球?yàn)榘浊虻母怕蕿?

)【解析】選B.設(shè)第一次取白球?yàn)槭录嗀，第二次取白球?yàn)槭录﨎，連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白球?yàn)槭录嗀B，則P(A)=，P(AB)=，某次取出的小球是白球，則隨后一次取出的小球?yàn)榘浊虻母怕蕿镻(B|A)