2023年考研數(shù)學(三)真題

2007年考研數(shù)學〔三〕真題選擇題〔此題共10分小題，每題4分，總分值40分，在每題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)〕當時，與等價的無窮小量是〔〕.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，以下命題錯誤的是：().假設(shè)存在，那么假設(shè)存在，那么.假設(shè)存在，那么存在假設(shè)存在，那么存在如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)那么以下結(jié)論正確的是：〔〕.設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么二次積分等于〔〕設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，那么商品的價格是〔〕10203040曲線漸近線的條數(shù)為〔〕0123〔7〕設(shè)向量組線性無關(guān)，那么以下向量組線相關(guān)的是()〔A〕(B)〔C〕(D)〔8〕設(shè)矩陣，那么A與B〔〕〔A〕合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，那么此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為()(10)設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示X,Y的概率密度，那么在條件下，的條件概率密度為()〔A〕(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上〔11〕.〔12〕設(shè)函數(shù)，那么.〔13〕設(shè)是二元可微函數(shù)，那么________.〔14〕微分方程滿足的特解為__________.〔15〕設(shè)距陣那么的秩為_______.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為________.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔17〕〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點〔1，1〕附近的凹凸性.〔18〕〔此題總分值11分〕設(shè)二元函數(shù)計算二重積分其中〔19〕〔此題總分值11分〕設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：〔Ⅰ〕存在使得；〔Ⅱ〕存在使得〔20〕〔此題總分值10分〕將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.〔22〕〔此題總分值11分〕設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.〔Ⅰ〕驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；〔Ⅱ〕求矩陣B.〔23〕〔此題總分值11分〕設(shè)二維隨機變量的概率密度為〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求的概率密度.〔24〕〔此題總分值11分〕設(shè)總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.〔Ⅰ〕求參數(shù)的矩估計量；〔Ⅱ〕判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.2007年考研數(shù)學〔三〕真題一、選擇題〔此題共10分小題，每題4分，總分值40分，在每題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)〕當時，與等價的無窮小量是〔B〕.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，以下命題錯誤的是：(D).假設(shè)存在，那么假設(shè)存在，那么.假設(shè)存在，那么存在假設(shè)存在，那么存在如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)那么以下結(jié)論正確的是：〔C〕.設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么二次積分等于〔B〕設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，那么商品的價格是〔D〕10203040曲線漸近線的條數(shù)為〔D〕0123〔7〕設(shè)向量組線性無關(guān)，那么以下向量組線相關(guān)的是(A)〔A〕(B)(C)(D)〔8〕設(shè)矩陣，那么A與B〔B〕〔A〕合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，那么此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(C)(10)設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示X,Y的概率密度，那么在條件下，的條件概率密度為(A)〔A〕(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上〔11〕.〔12〕設(shè)函數(shù)，那么.〔13〕設(shè)是二元可微函數(shù)，那么.〔14〕微分方程滿足的特解為.〔15〕設(shè)距陣那么的秩為＿＿1＿＿＿.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為＿＿.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔17〕〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點〔1，1〕附近的凹凸性.【詳解】：〔18〕〔此題總分值11分〕設(shè)二元函數(shù)計算二重積分其中【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關(guān)于x軸和y軸對稱，設(shè)是D在第一象限中的局部，即利用被積函數(shù)無論關(guān)于x軸還是關(guān)于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法那么可得設(shè)，其中于是由于，故為計算上的二重積分，可引入極坐標滿足.在極坐標系中的方程是的方程是，，因而，故令作換元，那么，于是且，代入即得綜合以上計算結(jié)果可知〔19〕〔此題總分值11分〕設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：〔Ⅰ〕存在使得；〔Ⅱ〕存在使得【詳解】：證明：(1)設(shè)在內(nèi)某點同時取得最大值，那么，此時的c就是所求點.假設(shè)兩個函數(shù)取得最大值的點不同那么有設(shè)故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在(2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點＝0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即.〔20〕〔此題總分值10分〕將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【詳解】：【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的根底解系為此時的公共解為：當時，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為：〔22〕〔此題總分值11分〕設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.〔Ⅰ〕驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；〔Ⅱ〕求矩陣B.【詳解】：〔Ⅰ〕可以很容易驗證，于是于是是矩陣B的特征向量.B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關(guān)系得到，即，所以B的全部特征值為－2，1，1.前面已經(jīng)求得為B的屬于－2的特征值，而A為實對稱矩陣，于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設(shè)B的屬于1的特征向量為，所以有方程如下：于是求得B的屬于1的特征向量為因而，矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).〔Ⅱ〕由有令矩陣，那么，所以那么〔23〕〔此題總分值11分〕設(shè)二維隨機變量的概率密度為〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求的概率密度.【詳解】：〔Ⅰ〕，其中D為中的那局部區(qū)域；求此二重積分可得〔Ⅱ〕當時，；當時，；