電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)物理方程3

電磁場(chǎng)數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：E_mail：qkchen@

電話：61830311總學(xué)時(shí):

80課時(shí)教材：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方程》（第四版）成績(jī)構(gòu)成：平時(shí)20%+半期考試20%+期末考試60%課程內(nèi)容三種方程四種求解方法二個(gè)特殊函數(shù)行波法√分離變量法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程√熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)勒讓德函數(shù)分離變量法流程圖分離變量流程圖§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）第五章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法特殊函數(shù)常微分方程常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法本章內(nèi)容：球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系中的分離變量法（一）波動(dòng)方程的分離變量常微分方程亥姆霍茲方程§5.1特殊函數(shù)常微分方程用分離變量法解高維波動(dòng)方程，歸結(jié)為解亥姆霍茲方程。

波動(dòng)方程：常微分方程亥姆霍茲方程用分離變量法解高維輸運(yùn)方程，歸結(jié)為解亥姆霍茲方程。§5.1特殊函數(shù)常微分方程（二）輸運(yùn)方程的分離變量輸運(yùn)方程：（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量§5.1特殊函數(shù)常微分方程直角坐標(biāo)系

柱面坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量1、直角坐標(biāo)系下§5.1特殊函數(shù)常微分方程令：常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、球坐標(biāo)系下令，代入方程得僅與r有關(guān)僅與θ,φ有關(guān)§5.1特殊函數(shù)常微分方程2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）歐拉型微分方程分離常數(shù)球函數(shù)方程§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量歐拉型常微分方程的解是已知的，對(duì)球函數(shù)方程進(jìn)一步分離變量令，代入上式得2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量①②2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）先求解方程①。由于舍去(A0=0時(shí)滿足)再求解方程②。將代入②§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）再求解方程②。做代換，即§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）l階連帶勒讓德方程若l階勒讓德方程注：勒讓德方程的解是已知和明確的?！?.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量第五章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法2、球坐標(biāo)系下（續(xù)）小結(jié)：球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量法求解連帶勒讓德方程（待求解）歐拉方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量3、柱坐標(biāo)系下令，代入方程得§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量3、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）①②③§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）①②③求解方程①。由于此時(shí)方程③為§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）②求解方程②③。其解與分離變量u有關(guān)。情形1：方程③歐拉型常系數(shù)方程③方程②§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）②情形2：③方程②方程③做代換，則方程③變?yōu)閙階貝塞爾方程§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）②情形3：③方程②方程③做代換，則方程③變?yōu)閙階虛宗量貝塞爾方程若貝塞爾方程的解為x，則對(duì)應(yīng)的虛宗量貝塞爾方程解為ix。§5.1特殊函數(shù)常微分方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量小結(jié)：柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量法求解2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）§5.1特殊函數(shù)常微分方程情形1：（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量小結(jié)：拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下分離變量法求解2、柱坐標(biāo)系下（續(xù)）§5.1特殊函數(shù)常微分方程情形2：m階貝塞爾方程情形3：m階虛宗量貝塞爾方程（三）穩(wěn)定場(chǎng)方程（拉普拉斯方程）的分離變量（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程1、球坐標(biāo)系下令，代入方程得①②（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程1、球坐標(biāo)系下方程①：（與拉普拉斯方程的分離變量一致）球函數(shù)方程將球函數(shù)方程進(jìn)一步分離變量后可得：(參看拉普拉斯方程內(nèi)容)l階連帶勒讓德方程階球貝塞爾方程（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程1、球坐標(biāo)系下方程②：如本項(xiàng)為0，方程為歐拉方程做代換,方程整理得階貝塞爾方程（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程1、球坐標(biāo)系下小結(jié)：亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系下分離變量法求解階球貝塞爾方程l階連帶勒讓德方程（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程2、柱坐標(biāo)系下m階貝塞爾方程做代換（四）亥姆霍茲方程的分離變量法§5.1特殊函數(shù)常微分方程2、柱坐標(biāo)系下小結(jié)：亥姆霍茲方程在柱坐標(biāo)系下分離變量法求解m階貝塞爾方程第五章二階常微分方程級(jí)數(shù)解法1、球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量法求解連帶勒讓德方程（待求解）歐拉方程小結(jié)：拉普拉斯方程及亥姆霍茲方程通解特征值：λ,l§5.1特殊函數(shù)常微分方程情形1：2、柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量法求解小結(jié)：拉普拉斯方程及亥姆霍茲方程通解特征值：λ,u§5.1特殊函數(shù)常微分方程情形2：m階貝塞爾方程情形3：m階虛宗量貝塞爾方程2、柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量法求解小結(jié)：拉普拉斯方程及亥姆霍茲方程通解特征值：λ,u§5.1特殊函數(shù)常微分方程階球貝塞爾方程l階連帶勒讓德方程3、球坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程分離變量法求解小結(jié)：拉普拉斯方程及亥姆霍茲方程通解特征值：λ,l§5.1特殊函數(shù)常微分方程m階貝塞爾方程4、柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程分離變量法求解小結(jié)：拉普拉斯方程及亥姆霍茲方程通解特征值：λ,v(u)小結(jié)球函數(shù)方程：l階(連帶)勒讓德方程：球坐標(biāo)系下的方程：l階球貝塞爾方程：柱坐標(biāo)系下的方程：m階貝塞爾方程：m階虛宗量貝塞爾方程：l+1/2階貝塞爾方程：§5.2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解二階常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：1、方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)常點(diǎn)：若在z0點(diǎn)解析，稱z0為方程常點(diǎn)。奇點(diǎn)：之一（或全部）若在z0不解析，稱z0為方程奇點(diǎn)。§5.2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解2、常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解為待定常數(shù)。若在z0為方程常點(diǎn)，則在其鄰域中，方程存在唯一解析解：——泰勒級(jí)數(shù)§5.2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解3、奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解為常數(shù)。若在z0為方程奇點(diǎn)，則在其鄰域中，方程存在兩個(gè)線性無關(guān)的解：——洛朗級(jí)數(shù)§5.2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解4、正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解為常數(shù)。若方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解均只具有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱為方程的正則奇點(diǎn)?！謇始?jí)數(shù)第六章球函數(shù)第二篇數(shù)學(xué)物理方程§6.1

勒讓德函數(shù)§6.2連帶勒讓德函數(shù)§6.3一般球函數(shù)

（一）定解問題舉例§6.1勒讓德函數(shù)求定解問題：求解區(qū)域?yàn)榍騼?nèi)空間隱含條件：由5.1節(jié)內(nèi)容，設(shè)？？？與φ無關(guān)，軸對(duì)稱（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)l階勒讓德方程接下來的工作：為習(xí)慣起見，將記做。即方程為：在球坐標(biāo)系下，求解l階勒讓德方程在區(qū)間[-1,1]上的有界非0解。求解方法：級(jí)數(shù)解法（見ppt5.2節(jié)）。（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)區(qū)間[-1,1]可視作中心x0=0的鄰域。很明顯，x=0點(diǎn)為方程的常點(diǎn)，因此在[-1,1]的鄰域內(nèi)，方程解為代入方程：=?????（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)代入方程得整理系數(shù)得：（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)該一般解是否滿足原問題要求？（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)從收斂性考慮：利用比值判定法，可求得和的收斂半徑,也就是說在x=±1處不收斂。一般情況下，要求勒讓德方程解在x=±1(θ=±π)處有限，該條件稱為勒讓德方程的自然邊界條件。上述解仍需修正！（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)要滿足勒讓德方程自然邊界條件，l必須為正整數(shù)或0。情況1：當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)（l=2k）2k+2項(xiàng)及更高次項(xiàng)系數(shù)均包含(2k-l)項(xiàng)，因而必然等于0。而始終發(fā)散，要滿足自然邊界條件，則要求a1=0。即：當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程特解為：偶函數(shù)有限項(xiàng)多項(xiàng)式，收斂特征值（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)2k+3項(xiàng)及更高次項(xiàng)系數(shù)均包含(2k+1-l)項(xiàng)，因而必然等于0。情況2：當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)（l=2k+1）而始終發(fā)散，要滿足自然邊界條件，則要求a0=0。即：當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)，特解奇函數(shù)要滿足勒讓德方程自然邊界條件，l必須為正整數(shù)或0。（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)構(gòu)造勒讓德多項(xiàng)式：可以證明：當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)：當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)：結(jié)論：l階勒讓德方程的解為：定解問題：（二）勒讓德方程的解§6.1勒讓德函數(shù)隱含條件：要從上式求得系數(shù)，則必須要了解的性質(zhì)？？0通解：（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)l階勒讓德函數(shù)：1、常見的低階重要！（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)1、常見的低階（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)1、常見的低階例:證明證：（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)2、的值重要?。ㄈ├兆尩潞瘮?shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)2、的值（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)3、的微分表達(dá)式羅德里格斯公式證明：二項(xiàng)式定理：證畢?。ㄈ├兆尩潞瘮?shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)4、的積分表達(dá)式施列夫利積分證明:設(shè)，則由柯西積分公式：得證?。ㄈ├兆尩潞瘮?shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)4、的積分表達(dá)式施列夫利積分在施列夫利積分中，若取積分路徑c為：圓心：z=x半徑：拉普拉斯積分（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)4、的積分表達(dá)式例

求證：證明:由拉普拉斯積分公式（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)5、母函數(shù)（生成函數(shù)）將展開為的冪級(jí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為，則稱為的母函數(shù)。即：或重要?。ㄈ├兆尩潞瘮?shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)6、勒讓德函數(shù)的遞推公式（重要）從勒讓德方程的母函數(shù)出發(fā)，可以推得其遞推公式：重要?。ㄈ├兆尩潞瘮?shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)6、勒讓德函數(shù)的遞推公式（重要）證明：由母函數(shù)兩端對(duì)z求導(dǎo)數(shù)得：兩端比較zl的系數(shù)，得（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)6、勒讓德函數(shù)的遞推公式（重要）例：證明：證明：由遞推公式，有由(1)+(2)得：（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)7、勒讓德函數(shù)的正交性（重要）勒讓德函數(shù)系在區(qū)間[-1,1]上正交，即：對(duì)比三角函數(shù)的正交性：勒讓德多項(xiàng)式正交性定理：（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)7、勒讓德函數(shù)的正交性（重要）證明：勒讓德函數(shù)是勒讓德方程的解，即有同理：（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)7、勒讓德函數(shù)的正交性（重要）（證明：續(xù)）兩式相減得：兩邊積分得：(分步積分法）（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)8、勒讓德函數(shù)的模（重要）勒讓德函數(shù)歸一性定理：勒讓德多項(xiàng)式滿足定義：勒讓德多項(xiàng)式的模（三）勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.1勒讓德函數(shù)9、以勒讓德函數(shù)為基的廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開

勒讓德函數(shù)系滿足正交性和歸一性，是完備的。因此可將其作為廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開基函數(shù)。

將定義在區(qū)間[-1,1]的函數(shù)f(x)展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)得：定解問題：隱含條件：？？0遺留問題（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例在球的內(nèi)部求解，使其滿足邊界條件隱含條件：球內(nèi)解有意義，則要求由邊界條件可知：u與無關(guān)，即為軸對(duì)稱問題。解：定解問題：則通解為：由邊界條件：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)(續(xù)上例)由廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開公式解：，可得問題通解為（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例：求定解問題：由邊界條件：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)（續(xù)上例）即：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例在原本是均勻的靜電場(chǎng)中放置半徑r=a的均勻介質(zhì)球(介電常數(shù)ε)，求空間中的電位分布。解：寫出定解問題。

令球外電位為u1,球內(nèi)為u2。銜接條件(邊界條件)銜接條件(邊界條件)無窮遠(yuǎn)條件零點(diǎn)條件（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)(續(xù)上例）寫出u1,u2通解為：確定系數(shù)：由于邊界條件與無關(guān)，故問題為軸對(duì)稱。（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)(續(xù)上例）由銜接條件（邊界條件）（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)(續(xù)上例）比較同階勒讓德函數(shù)的系數(shù)l=0：l=1：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)(續(xù)上例）比較同階勒讓德函數(shù)的系數(shù)l≠0,1：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例將半徑為a的接地導(dǎo)體球放在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，球心與點(diǎn)電荷相距d(d>a),求空間中電位分布。分析：球內(nèi)區(qū)域電位為0；球外區(qū)域有點(diǎn)電荷，不滿足拉普拉斯方程。球外區(qū)域電位由點(diǎn)電荷及導(dǎo)體球感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。球外區(qū)域不存在感應(yīng)電荷，故感應(yīng)電荷產(chǎn)生電位滿足拉氏方程。解：令球外電位為u，考慮到球外電位由兩部分電荷產(chǎn)生，故設(shè)其中為點(diǎn)電荷產(chǎn)生，。為感應(yīng)電荷產(chǎn)生電位（待求），滿足拉普拉斯方程（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)（續(xù)上例）寫出的通解，得由定解問題及相關(guān)物理意義，有如下邊界條件自然邊界條件銜接條件由（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)（續(xù)上例）由(母函數(shù))（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例：求定解問題：(重要)解：將定解問題延拓到整個(gè)球形區(qū)域。為滿足半球底面邊界條件（第二類），需做偶延拓，即上半球（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)（續(xù)上例）球域內(nèi)，通解為（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)例計(jì)算以下積分：解：由遞推公式代入積分式得：（四）勒讓德函數(shù)的應(yīng)用舉例§6.1勒讓德函數(shù)（續(xù)上例）當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)(l=2n)：（一）連帶勒讓德方程的解6.1節(jié)解決的求定解問題：隱含條件：由5.1節(jié)內(nèi)容，設(shè)勒讓德方程與φ無關(guān)，軸對(duì)稱§6.2連帶勒讓德函數(shù)（一）連帶勒讓德方程的解接下來要解決的定解問題：隱含條件：由5.1節(jié)內(nèi)容，設(shè)連帶勒讓德方程非軸對(duì)稱§6.2連帶勒讓德函數(shù)（一）連帶勒讓德方程的解§6.2連帶勒讓德函數(shù)連帶勒讓德方程為：做代換，則方程變?yōu)榭梢宰C明，將勒讓德方程求m次導(dǎo)數(shù)后，有：①即方程①的解為：（一）連帶勒讓德方程的解§6.2連帶勒讓德函數(shù)因此，連帶勒讓德方程的解為：定義：l階連帶勒讓德函數(shù)或連帶勒讓德方程及自然邊界條件構(gòu)成本征值問題：本征值：本征函數(shù)：（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)l階連帶勒讓德函數(shù)1、m的取值范圍

為l階多項(xiàng)式，故當(dāng)m>l+1時(shí)，有故m的取值范圍應(yīng)為：（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)l階連帶勒讓德函數(shù)2、連帶勒讓德函數(shù)的微分表示表示勒讓德函數(shù)微分表示：可以推得：（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)3、連帶勒讓德函數(shù)的正交性（重要）連帶勒讓德函數(shù)系在區(qū)間[-1,1]內(nèi)正交，即或（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)4、連帶勒讓德函數(shù)的模——?dú)w一性（重要）

連帶勒讓德函數(shù)的模為：或（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)5、連帶勒讓德函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開定理（重要）若，且滿足一定連續(xù)性原理，則其中（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)6、連帶勒讓德函數(shù)的積分表示根據(jù)連帶勒讓德函數(shù)的微分表示并結(jié)合柯西公式，得施列夫利積分拉普拉斯積分取c為圓周：圓心z=x,半徑為（二）連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)§6.2連帶勒讓德函數(shù)7、