概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)Probability&MathematicalStatistics第一章隨機(jī)事件及其概率

1.3條件概率與全概率公式(1)

1.3條件概率與事件的獨(dú)立性實(shí)例:考察有兩個(gè)孩子的家庭,假定男女出生率一樣,則兩個(gè)孩子(從大到小排列)的性別為(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)且可能性是一樣的A=“該家庭有一男一女”B=“該家庭至少有一個(gè)女孩”(男,女),(女,男)(男,女),(女,男),(女,女)P(A)=1/2若已知該家庭至少有一個(gè)女孩,即B已發(fā)生,此時(shí)A發(fā)生的概率?P(B)=3/4P(A|B)=2/3=2/3這類概率問(wèn)題稱之為條件概率滿足條件即B發(fā)生的樣本空間:(男,女),(女,男),(女,女)已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的有利場(chǎng)合:(男,女),(女,男)已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率(記為P(A|B))為P(A)=1/2P(B)=3/4巧合嗎？一、條件概率定義1.

對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,若P(B)>0,則稱P(A|B)=P(AB)P(B)為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率同樣，若P(A)>0,則有P(B|A)=P(AB)P(A)因而，可以得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)這個(gè)公式被稱為乘法公式或乘法定理例題：課本P39例2說(shuō)明：條件概率的三種解法：

1、試驗(yàn)法:根據(jù)條件概率的直觀意義求概率

2、縮減樣本空間法：在縮減后的樣本空間中求事件的概率

3、公式法：條件概率公式例1.甲乙兩個(gè)城市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)100多年來(lái)的氣象記錄，知道一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時(shí)下雨占12%.若以事件A記甲市出現(xiàn)雨天，事件B記乙市出現(xiàn)雨天.求已知某市下雨，另一城市下雨的概率和至少一個(gè)城市下雨的概率.解:根據(jù)已知條件,有P(A)=0.2P(B)=0.18P(AB)=0.12已知甲市下雨時(shí)乙市下雨的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.12/0.2=0.6至少有一個(gè)城市下雨的概率=0.2+0.18-0.12=0.26從以上的結(jié)果來(lái)看，在下雨這個(gè)方面，兩個(gè)城市是有聯(lián)系的P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)已知乙市下雨時(shí)甲市下雨的概率P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.12/0.18=0.67P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)乘法公式也可推廣到有限多個(gè)事件的情形：定理1.廣義乘法公式則是一個(gè)有限事件序列，若,0)(,,,12121>-nnAAAPAAALL二、條件概率的性質(zhì)首先，不難驗(yàn)證條件概率P(A|B)具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)，即三條公理：同樣,類似于概率，對(duì)條件概率也可以由三條公理推導(dǎo)出其余的一些性質(zhì):=0=0課本：P40例題4注意：?jiǎn)栴}（2）第一次檢測(cè)到正品后，第二次檢測(cè)是正品的概率。區(qū)別于問(wèn)題：第二次檢測(cè)到正品的概率？例2.一袋中有同樣大小的硬幣10枚,其中7個(gè)面值為1角,3個(gè)面值為5角.采用不放回取樣（即每次取一枚,取后不放回),求:(1)第三次才取到面值為5角的硬幣的概率;(2)前三次中至少有一次取到面值為5角的硬幣的概率.硬幣10枚,其中7枚面值為1角,3枚面值為5角,取3次前三次中至少有一次取到面值為5角的硬幣為解:第三次才取到5角的硬幣為(1)根據(jù)乘法公式(2)根據(jù)對(duì)偶律例3.(鮑耶(Pólya)模型)一罐中裝有a只白球和b只黑球,每次從中任取一球,記下顏色后放回并加入c只與之同顏色的球,如此進(jìn)行n次，求前m次都取到黑球、后n-m次都取到白球的概率.解:所求事件為根據(jù)廣義乘法公式注:c=0即為有放回取球模型;c=-1即為不放回取求模型從一副撲克中(52張)依次隨機(jī)抽取3張,已知其中有一張A，求其中恰有2張A的概率思考:三、事件的獨(dú)立性從條件概率可知，在一般情況下P(B|A)=P(B)但在一定條件下，它們也可以相等，即P(B|A)=P(B)事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率。定義3.對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.事實(shí)上如果P(B|A)=P(B)則A,B相互獨(dú)立兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義定理1.如果事件A與事件B相互獨(dú)立,則下列三對(duì)事件也分別相互獨(dú)立證明:實(shí)際問(wèn)題中,往往從事件的實(shí)際關(guān)系去分析獨(dú)立性.四對(duì)有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立例8.甲乙兩人同時(shí)獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊,已知甲乙擊中目標(biāo)的概率分別為0.8和0.7,求目標(biāo)被擊中的概率.解:設(shè)A為甲擊中目標(biāo)

B為乙擊中目標(biāo)C為目標(biāo)被擊中顯然，兩人是否擊中目標(biāo)的概率不受對(duì)方影響所以,A與B相互獨(dú)立所以P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)根據(jù)不同的概率公式，本問(wèn)題還有許多種解法例9.已知P(A)>0,P(B)>0,(1)如果事件A,B相互獨(dú)立，那么A,B是否互不相容?(2)反之，如果A,B互不相容,那么AB是否相互獨(dú)立?解:(1)如果A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)>0所以A,B不是互不相容的,即A,B相容.(2)反之,如果A,B互不相容,則P(AB)=0因而P(B|A)=P(AB)/P(A)=0但P(B)>0P(B|A)=P(B)所以故,事件A,B不相互獨(dú)立在例9中,如果沒(méi)有條件P(A)>0,P(B)>0,情況會(huì)怎樣?如果P(A)=0，P(AB)=P(B)P(A|B)=0P(A)P(B)=0所以,P(AB)=P(A)P(B)=0A,B互不相容且相互獨(dú)立一般來(lái)說(shuō),互不相容和相互獨(dú)立不是一回事另外,不可能事件與任意事件相互獨(dú)立并且互斥必然事件與任意事件相互獨(dú)立但不互斥定義4.設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)則稱事件A,B,C兩兩相互獨(dú)立定義5.設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)則稱事件A,B,C相互獨(dú)立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)注意:事件的兩兩相互獨(dú)立和相互獨(dú)立的區(qū)別例10.有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的骰子,四面顏色分別為紅色、黑色、白色、紅黑白三色,隨機(jī)將骰子拋出,試分析朝下一面的結(jié)果.解:設(shè)A分別表示骰子朝下的一面有紅色、.、B白色、C和黑色.則P(A)=1/2P(B)=1/2P(C)=1/2P(AB)=1/4P(AC)=1/4P(BC)=1/4P(ABC)=1/4P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)所以事件A,B,C兩兩獨(dú)立,但不相互獨(dú)立定義5.兩個(gè)、三個(gè)事件的相互獨(dú)立也可推廣到n個(gè)事件的情形成立則稱相互獨(dú)立四、獨(dú)立試驗(yàn)和Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趎次試驗(yàn)中,如果任何一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率不受其他各次試驗(yàn)結(jié)果的影響,則稱這n次試驗(yàn)為相互獨(dú)立試驗(yàn),簡(jiǎn)稱獨(dú)立試驗(yàn).如果一個(gè)試驗(yàn)在給定的條件下獨(dú)立重復(fù)n次,且滿足:(1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果:(2)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率相等,且則稱這樣的試驗(yàn)為n重貝努里(Bernoulli)試驗(yàn)如果某批產(chǎn)品有a件次品和b件正品,我們采用有放回和不放回抽樣方式從中抽n件產(chǎn)品，問(wèn)正好有k件是次品的概率是多少?(以前出現(xiàn)過(guò)該題）解:只考慮有放回抽樣場(chǎng)合假設(shè)在一次抽樣中抽到次品為事件顯然,從這批產(chǎn)品中有放回抽取n個(gè)產(chǎn)品的試驗(yàn)為n重Bernoulli試驗(yàn)在一次試驗(yàn)中例11.在n次試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為可記為總結(jié)在n重Bernoulli試驗(yàn)中,假設(shè)A表示“成功”,每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為p,那么在n次試驗(yàn)中,恰好成功k次的概率為上述概率模型稱為二項(xiàng)分布記為例：一醉漢在漆黑的夜晚開(kāi)門,他共有n把鑰匙,其中只有一把是開(kāi)這門的,他每次隨機(jī)地取一把鑰匙,即在每次試開(kāi)時(shí)每一把鑰匙都等可能被使用,求他在第k次才開(kāi)門成功的概率.解:根據(jù)題意,這是重復(fù)試驗(yàn),每次試驗(yàn)的條件相同每次試驗(yàn)成功的概率為總結(jié):在Bernoulli重復(fù)試驗(yàn)中,成功的概率為p,則在第k次才取得首次成功的概率為即前k-1次失敗,最后一次成功.上述概率模型稱為幾何分布記為應(yīng)用于首次成功的情形.例：在Bernoulli試驗(yàn)中,成功的概率為