統(tǒng)計學原理( 相關分析)

統(tǒng)計學原理

第七章

相關分析1《統(tǒng)計學原理》劉鑫春法蘭西斯·高爾頓（FrancisGalton，1822.2.16－1911.1.17.）法蘭西斯·高爾頓是查爾斯·達爾文的的表兄，是一名英格蘭維多利亞時代的文藝復興人、人類學家、優(yōu)生學家、熱帶探險家、地理學家、發(fā)明家、氣象學家、統(tǒng)計學家、心理學家和遺傳學家。高爾頓一生中發(fā)表了超過340篇的報告和書籍，他在1909年被授與爵士。他在1883年率先使用“優(yōu)生學”（eugenics）一詞。在他于1869年的著作《遺傳的天才》（HereditaryGenius）中，高爾頓主張人類的才能是能夠透過遺傳延續(xù)的。他在統(tǒng)計學方面也有貢獻，高爾頓在1877年發(fā)表關于種子的研究結果，指出回歸到平均值（regressiontowardthemean）現(xiàn)象的存在，這個概念與現(xiàn)代統(tǒng)計學中的“回歸”并不相同，但是卻是回歸一詞的起源。在此后的研究中，高爾頓第一次使用了相關系數(shù)（correlationcoefficient）的概念。他使用字母“r”來表示相關系數(shù)，這個傳統(tǒng)一直延續(xù)至今。同時他也發(fā)表了關于指紋的論文和書籍，被認為對于現(xiàn)代利用指紋進行犯罪搜查方面有很大的貢獻。2《統(tǒng)計學原理》劉鑫春卡爾.皮爾遜（Karl，Pearson,1857-1936)英國統(tǒng)計學家。他的座右銘“我們無知，因此讓我們努力”。他入劍橋大學學習數(shù)學、物理、哲學、宗教和法律，并取得律師資格，但以數(shù)學的優(yōu)異成績在該校畢業(yè)。任倫敦大學應用數(shù)學教授時出版了論彈性以及有關科學哲學的專著

因閱讀英國科學家f.高爾頓《自然遺傳》（1889）一書，使其深受影響，從而成為高勻頓的忠實學生，開始結合高爾頓關于人的變異、遺傳和優(yōu)生學等問題來發(fā)展統(tǒng)計學的理論和方法。1894年起研究生物分布的常態(tài)性。1901年與高爾頓、w.f.r.韋爾登聯(lián)合創(chuàng)辦《生物統(tǒng)計學》雜志，發(fā)表有關生物學及心理學的定量研究成果。1904年被任命為倫敦大學高爾頓實驗室的首任主任，且第一個開設優(yōu)生學講座。1914-1930年撰寫寫出四卷本的高爾頓傳記《弗朗西斯·高爾頓的生平、學問和勞作》。皮爾遜的統(tǒng)計學的分析技術和方法，體現(xiàn)在其《統(tǒng)計學者和生物統(tǒng)計學者用表》（1914）中，如頻率分布、偏差度和峭度測量、軸線擬合、標準差檢驗、相依系數(shù)、乘積動差相關系數(shù)r、類型的數(shù)學公式、雙行、多重、多變元非線性相關和概差偏差數(shù)，以及各種統(tǒng)計學的抽樣分布等。他還發(fā)明了主要成分分析，后由c.e.斯皮爾曼發(fā)展成心理統(tǒng)計學的因素分析。皮爾遜被稱為統(tǒng)計科學的奠基者。他把數(shù)學和統(tǒng)計學方法運用于生物問題，創(chuàng)建了生物統(tǒng)計學，且與高爾頓共同確定了心理問題的統(tǒng)計法為心理學的基本方法之一。他對生物、行為和社會科學的研究作出了較重的貢獻。3《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第一節(jié)第一節(jié)相關分析的意義和種類一、相關關系的性質(zhì)

相關關系的概念和特點概念：相關關系是現(xiàn)象間客觀存在的，但其數(shù)值是不嚴格、不完全確定的相互依存關系。注意：現(xiàn)象間可測定關系一般分為兩種：一種為函數(shù)關系，另一種為相關關系。相關關系指現(xiàn)象之間客觀存在但又不具有確定性的依存關系。4《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第一節(jié)特點：現(xiàn)象之間確實存在數(shù)量上的相互依存關系。注意：在表現(xiàn)現(xiàn)象相互依存關系的兩個變量之中作為根據(jù)的變量叫做自變量，隨自變量變化發(fā)生對應變化的變量叫做因變量。

現(xiàn)象之間數(shù)量上不確定、不嚴格的依存關系。注意：相關關系的全稱為統(tǒng)計相關關系，相關關系中一個變量雖然受另一個（或一組）變量的影響，卻并不由這一個（或一組）變量完全確定。

5《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第一節(jié)相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別和聯(lián)系

（教材312）區(qū)別：函數(shù)關系是變量之間的一種嚴格、完全確定性的關系，即一個變量的數(shù)值完全有另一個（或一組）變量的數(shù)值所決定、控制。通?？梢杂脭?shù)學公式確切地表示出來。相關關系一般不是完全確定的，它很難用數(shù)學公式去進行表達。聯(lián)系：函數(shù)關系在實際工作中往往通過相關關系表現(xiàn)出來。當人們對某些現(xiàn)象內(nèi)部規(guī)律有較深刻認識時，相關關系可能變?yōu)楹瘮?shù)關系。為此，在研究相關關系時，又常常使用函數(shù)關系作為工具，用一定的函數(shù)關系表現(xiàn)相關關系的數(shù)量聯(lián)系。6《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第一節(jié)二、相關關系的種類

根據(jù)自變量的多少劃分，可分為單相關和復相關

根據(jù)變量間相互關系的表現(xiàn)形式劃分，直線相關（或線性相關）和曲線（或非線性）相關根據(jù)相關關系的方向劃分，可分為正相關和負相關

根據(jù)相關關系的程度劃分，可分為不相關、完全相關和不完全相關7《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第一節(jié)三、相關分析的主要內(nèi)容

揭示現(xiàn)象之間是否存在相關關系，以及相關關系的表現(xiàn)形式。確定現(xiàn)象變量間相關關系的密切程度和方向。選擇合適的數(shù)學模型測定變量估計值的可靠程度對計算出的相關系數(shù)，進行顯著檢驗。8《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)第二節(jié)簡單線性相關分析一、定性分析定性分析是相關分析的起點，即研究者根據(jù)自己的專業(yè)知識，理論水平，實踐經(jīng)驗和邏輯推斷來分析和判斷事物之間有無相關，是何種相關。9《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)相關圖：相關圖又叫散布圖或散點圖，是利用直角坐標第一象限，用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，將兩變量對應的值用坐標點描繪出來，據(jù)以研究兩變量間有無相關關系，及相關的形態(tài)，方向和密切程度。

利用EXCEL展示如何繪制散點圖10《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)

有8個企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，月產(chǎn)量和生產(chǎn)費用的資料如下：企業(yè)編號12345678月產(chǎn)量（千噸）x生產(chǎn)費用（萬元）y1.2622.0863.1803.81105.01156.11327.21358.016011《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)相關表是表現(xiàn)現(xiàn)象間相關關系的一種統(tǒng)計表。它一般以x為自變量，以y為因變量，將自變量和因變量的數(shù)值在表格中一一對應地排列，用以初步反映相關關系的形式，密切程度和相關方向。

簡單相關表：對于未分組資料，直接將自變量的數(shù)值按大小順序排列，并配合其相對應的因變量的數(shù)值所形成的相關表。12《統(tǒng)計學原理》劉鑫春

產(chǎn)品產(chǎn)量和生產(chǎn)費用相關表從上表看出，產(chǎn)品產(chǎn)量和生產(chǎn)費用之間的關系雖然不十分嚴格，但有直線相關的趨勢，而且大致可以看出關系比較密切第七章第二節(jié)序號產(chǎn)品產(chǎn)量（千噸）x生產(chǎn)費用（萬元）y123456781.22.03.13.85.06.17.28.0628680110115132135160合計36.488013《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)分組相關表：當原始資料很多，運用簡單相關表存在困難時，一般將資料進行分組，然后編制分組相關表

單變量分組表：對自變量進行分組，計算出各組次數(shù)和因變量組平均數(shù)，并在此基礎是編制相關表。雙變量分組表：對自變量和因變量都進行分組，對兩變量的分組交叉形成棋盤表式，計算棋盤表式中每一組的次數(shù)，將其填入表格。

14《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)

400個女大學生身高和體重相關表按體重分組（千克）人數(shù)（人）每組平均身高（厘米）62.5以上60~62.557.5~6055~57.552.5~5550~52.547.5~5045~47.545以下2325388712991241170167163162160158155154151合計400——15《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)400個女大學生身高和體重相關表按體重分組（千克）按身高分組（厘米）150以下150~154154~158158~162162~166166~170170及以上合計62.5以上60~62.557.5~6055~57.552.5~5550~52.547.5~5045~47.545以下322338243012420422861628452010714251210238842325388712991241合計597494125682540016《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)二、定量分析——測定與運用相關系數(shù)r積差法：其中：r——相關系數(shù)

——x和y的協(xié)方差17《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)簡捷計算公式：已知均值和標準差時：或：18《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第二節(jié)三、相關系數(shù)的密切程度相關系數(shù)的范圍在-1到1之間，即1≤r≤1,當r=1為完全正相關，r=-1,為完全負相關，r=0為不相關。r的范圍在0.3-0.5是低度相關；r的范圍在0.5-0.8是顯著相關；r的范圍在0.8以上是高度相關。19《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)第三節(jié)直線回歸分析一、回歸分析的概念概念：就是對具有相關關系的變量之間的數(shù)量關系進行測定，確定一個相應的數(shù)學表達式?；貧w分析的種類按自變量X的多少，可以分為一元回歸和多元回歸按Y與X曲線的形式，可以分為直線回歸和曲線回歸20《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)“回歸的淵源”“回歸”一詞是英國生物學家高爾登首先提出的。高爾登在研究父母親身高和子女身高的關系時發(fā)現(xiàn)：身材特別高的父母所生的孩子其身材并非特別高，而身材特別矮的父母所生孩子的身材也并非特別矮，子輩身高有向父輩平均身高逼近的趨向，他把這種現(xiàn)象叫做“身高數(shù)值從一極端至另一極端的回歸”。以后，高爾頓的學生皮爾遜把回歸的概念同數(shù)學的方法聯(lián)系起來，把代表現(xiàn)象之間一般數(shù)量關系的統(tǒng)計模型叫做回歸直線或回歸曲線，從此誕生了統(tǒng)計上著名的回歸理論。21《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)二、簡單直線回歸分析簡單直線回歸分析的特點在兩個變量之間，必須確定哪個是自變量X，哪個是因變量Y回歸方程的主要作用是用自變量來推算因變量。在兩個現(xiàn)象互為根據(jù)的情況下，可以有兩個回歸方程－Y倚X回歸方程和X倚Y回歸方程。22《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)兩種情況下的回歸方程為：Y倚x回歸方程：X倚y回歸方程：其中：a和c式兩條直線的截距，b和d式兩條直線的回歸系數(shù)。23《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)簡單直線回歸方程的確定

設y為實際值，yc為估計值，現(xiàn)在要用一條直線

擬合實際值，而且要滿足

為最小。由最小平方原理，可得：24《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)注意：回顧動態(tài)數(shù)列中長期趨勢測定問題中用到的最小平方法在直線方程中，自變量為時間，因變量為各個時間上對應的指標值，得到方程組：通過巧取T值，使得∑T＝0，講方程組簡化，得到：25《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)如果已用積差法計算了相關系數(shù)，有相應的資料，也可以用以下公式：如果知道xy的協(xié)方差和自變量的標準差，b也可以：26《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)估計標準誤差概念：估計標準誤差就是用來說明回歸方程推算結果的準確程度的統(tǒng)計分析指標，或者說是反映回歸直線代表性大小的統(tǒng)計分析指標。

27《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章第三節(jié)簡單直線回歸估計標準誤差的測定根據(jù)因變量實際值和估計值的離差計算根據(jù)a,b兩個參數(shù)值計算估計標準誤差

28《統(tǒng)計學原理》劉鑫春第七章