概率論第二章

第二章隨機變量及其分布

離散型隨機變量隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量2.1隨機變量的概念定義.

設Ω={ω}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在Ω上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個ω

Ω

，有一實數(shù)X=X(ω)與之對應，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z等表示。隨機變量的特點:

1、X的全部可能取值是互斥且完備的2、X的部分可能取值描述隨機事件ΩR例1從3個白球（1、2、3號），兩個黑球（4、5號）的袋子中任取兩球，設r.v.X表示取出的兩個球中白球的個數(shù)。引入隨機變量后，就可以用隨機變量（r.v.）表示事件。（1）如果觀察球的顏色，則有樣本空間：

Ω1={ω00，ω01，ω11}，0---白，1----黑（1）如果觀察球的號碼，則有樣本空間：用r.v.X表示取出的兩個球中白球的個數(shù)。例擲一枚硬幣。樣本空間Ω={ω1，ω2}，

ω1----國徽向上，ω2-----字向上引入隨機變量X：在試驗結果中，r.v.X取得某一數(shù)值，記作X=x

，是一個隨機事件。

都是隨機事件。隨機變量的分類：1.離散型隨機變量：2.連續(xù)型隨機變量:取值可列取值不可列

2.2離散隨機變量定義若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱

P{xi}=p(X=xi),(i=1,2,…)為X的分布律或概率函數(shù)?？杀頌?/p>

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或X

x1 x2 …

xK

… Pk

p1 p2 … pk

…(1)P(xi)

0,i＝1,2,…;(2)

例設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，22.概率函數(shù)的性質例袋中有2個白球和3個黑球，每次從其中任取1個球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布，假定：（1）每次取出的黑球不再放回去；（2）每次取得的黑球仍放回去。解:(1)設r.v.x是取球次數(shù)，因為無放回，X的可能取值是1,2,3,4.

(2)設r.v.Y是取球次數(shù)，因為有放回，Y的可能取值是一切正整數(shù).所求概率分布為：12m…………幾何分布概率函數(shù)是：例

某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。解：設Ai第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

統(tǒng)計分布表頻率分布--------統(tǒng)計分布或經驗分布概率分布--------理論分布概率分布圖p(x)x1x2xnx0.20.12.3常用的離散型分布1.(0-1)分布

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或超幾何分布對應的模型：

共N個產品，M個次品，現(xiàn)取n個，求其中的次品數(shù)為x的概率。2.

超幾何分布（不放回抽樣）

設隨機變量X的可能值是0，1，2，…，n，概率函數(shù)為記作:X～H(n，M，N)概率函數(shù)：p(x;n，M，N)若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記作X～B（n,p)

分布律為：3.

二項分布（放回抽樣）

設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重貝努里試驗.概率函數(shù)：p(x;n，p)特殊地：n=1時，p(x)=pxq1-x可見，0---1分布是二項分布的特殊情形，記作B(1，p).定理1設隨機變量X～H(n,M,N),

則N→∞時，X近似服從二項分布B(n,p)，即下面的近似等式成立：可見，當一批產品的總數(shù)N很大，而抽取的樣品數(shù)n<<N時，一般說來，則不放回抽樣（次品數(shù)服從超幾何分布）與放回抽樣（次品數(shù)服從二項分布）實際上沒多大差別。例1

從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X～B(6,1/3),于是,X的分布律為:泊松分布記作P(λ)

泊松分布常見于稠密性問題。4.

泊松分布

設隨機變量X的可能值是一切非負整數(shù)，概率函數(shù)為歸一化：定理2

設隨機變量X～B(n,p),

則N→∞時，X近似服從泊松分布P(λ)，即下面的近似等式成立：說明：在證明過程中，設p=λ/n,所以，p的值必須很?。ㄒ话愕?，P≤0.1）,近似誤差比較小。例設一批產品共2000個，其中有40個次品。隨機抽取100個樣品，求樣品中次品數(shù)X的概率分布，如果抽樣方式是:(1)不放回抽樣；（2）放回抽樣解（1）不放回抽樣次品數(shù)X1～H（100,40,2000），（2）放回抽樣次品數(shù)X2～B（100,0.02），因為樣品數(shù)n=100較大，且p=0.02較小，所以可近似計算，其中，λ=100*0.02=2，即例2

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。泊松定理

設隨機變量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

解

設X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}

＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布例3設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

解:由題意,

小結“0----1”分布超幾何分布（不放回抽樣）二項分布（放回抽樣）泊松分布

練習題1.接連2次對目標進行射擊，設每次擊中目標的概率為0.4，設X為擊中目標的次數(shù)，求X的概率分布。2.某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，他連續(xù)射擊，直至第一次擊中目標為止，求直至擊中時射擊次數(shù)的概率分布。3.已知某事件服從泊松分布，且p(X=2)=p(X=4),則p(X=3)=

離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是一個隨機變量，對消費者來說，你是否在意

{X>5年}還是{X>5年零1分鐘}

P(X=x0)=0

對于連續(xù)離散變量，我們關心的是某區(qū)間的概率。2.4

連續(xù)隨機變量直方圖在數(shù)理統(tǒng)計學中常常用直方圖來描述連續(xù)隨機變量。例：零件尺寸偏差區(qū)間頻數(shù)頻率（-30，-20）80.032（-20，-10）340.136（-10，0）820.328（0，10）810.324（10，20）390.156（20，30）60.024總計2501注意：y軸為頻率/區(qū)間長度即直方圖中的面積為概率2.5

隨機變量的分布函數(shù)

一、分布函數(shù)的概念1.定義

設X是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}

2.F(x)與p(x)的關系？二、分布函數(shù)的性質1、歸一性：對任意實數(shù)x，0F(x)1

2、單調不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2)

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質的實函數(shù)，必是某個隨

機變量的分布函數(shù)。故該三個性質是分布

函數(shù)的充分必要性質。4如果X的一切可能值都位于[a,b]

內則當x<a時，事件X≤x是不可能事件，有

F(x)=p(X≤a)=0

當x≥b時，事件X≤x是必然事件，有F(x)=p(X≤b)=1一般地，當r.v.X可以取任何實數(shù)時，有一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例1設隨機變量X具分布律如右表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。例1設隨機變量X的分布律如右表X-123P0.250.50.25試求出X的分布函數(shù)，并求對于連續(xù)性隨機變量圖形y=F(x)在y=0與y=1之間單調上升。當計算落在某一區(qū)間內的概率時，不必區(qū)分開閉區(qū)間。例1

向半徑為R的圓形靶射擊，擊中點M落在以靶心O為中心，r為半徑的圓內的概率與該圓的面積成正比，并且不會發(fā)生脫靶的情況。設連續(xù)隨機變量X表示擊中點M與靶心O的距離。（1）求X的分布函數(shù)

（2）把靶的半徑分成10等分，如果擊中點M落在以靶心O為中心，內外半徑分別為iR/10及(i+1)R/10的圓環(huán)域內，則計為10-i環(huán)，求一次射擊得到10-i環(huán)的概率（i=0,1,2，…,9)X的可能值在[0,R]

內。rF(r)R01(2)一次射擊得10-i環(huán)的概率為例2

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質點，以X表示質點坐標.假定質點落在[0,1]區(qū)間內任一子區(qū)間內的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1解：F(x)=P{X≤x}11用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab2.6

連續(xù)型隨機變量的概率密度

1.概率密度的定義

對于連續(xù)隨機變量X，落在區(qū)間[x,x+Δx]內的概率為P(x<X<x+Δx),其中x是任何實數(shù)，Δx>0是區(qū)間的長度。比值叫做隨機變量X在該區(qū)間上的平均概率分布密度。當Δx

，比值的極限叫做隨機變量X在點x處的概率密度，即：2.F(x)與f(x)之間的關系①即f(x)是分布函數(shù)F(x)的導函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)②即F(x)等于f(x)在區(qū)間[-∞，x]上的反常積分結論：知道連續(xù)隨機變量的F(x)或f(x)中的任一個，則可求另一個。3.密度函數(shù)的性質非負性

f(x)0，(-<x<)

分布曲線y=f(x)位于x軸上方

(2)歸一性曲線y=f(x)在x軸之間包圍的面積為1.性質(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質；

例1設隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.答:(3)r.v.X落在任意區(qū)間(x1,x2)內的概率幾何解釋：概率就是y=f(x)之下的曲邊梯形的面積。特別地：r.v.X落在任意區(qū)間(x,x+△x)內的概率：叫做概率微分。例1在2,5節(jié)例1中，求隨機變量X的概率密度f(r).定義f(R)=00Rr2/Rf(r)例2設連續(xù)隨機變量X的概率密度求:(1）A的值；（2）p(0<x<1);(3)F(x)練習：83頁，2.182.7常用的連續(xù)型分布1.均勻分布

（1）若X～f(x)＝則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作

X~U(a,b)

對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有（2）分布函數(shù)為0bx1F(x)aabxf(x)1/(b-a)0例1

長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率1545解：設A—乘客候車時間超過10分鐘X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)三段木棒能構成

將長度為2l的木棒任意截為兩段,求這兩段木棒與另一長度為

l

的木棒能構成三角形的概率.設截下的兩段木棒長度分別故三段木棒能構成△的概率為均勻分布的實際背景解則例

假定在運算中，數(shù)據(jù)只保留到小數(shù)點后第五位,而小數(shù)點第五位以后的數(shù)字按四舍五入處理.記表示真值，記表示舍入后的值，則誤差

在用計算機進行數(shù)值運算時,由于字長的限制，數(shù)據(jù)都只保留到一定位數(shù)，而最后一位數(shù)字按四舍五入處理.通常舍入誤差服從均勻分布定點計算中的舍入誤差例2.指數(shù)分布

若

X～則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。分布函數(shù)：其分布函數(shù)為例2.電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律

2.8隨機變量函數(shù)的分布設X一個隨機變量，分布律為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元單值實函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.例1已知-101XPk求：Y=X2的分布律YPk10或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk

，k＝1,2,…

（其中g(xk)有相同的，其對應概率合并。）一般地XPkY=g(X)例2設隨機變量X的概率函數(shù)為于是Y的概率分布為

Y

p(y）-1018/151/32/15二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、一般方法

若X～f(x),-<x<+,Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù)FY(y).

然后再求Y的密度函數(shù)

此法也叫“

分布函數(shù)法”yxY=g(x)y△1y△2y△3y求Y的分布函數(shù)0例3設連續(xù)隨機變量X的概率密度為fx(x),求隨機變量函數(shù)Y=a+bX的概率密度，其中a及b≠0都是常數(shù)。x0y(Y-a)/bY=a+bxyx0y(Y-a)/bY=a+bxy綜合得：例4設隨機變量X在區(qū)間[0，π]上服從均勻分布，即概率密度求隨機變量函數(shù)Y=sinX的概率密度。yx1yx1x2π0其中，x1=arcsiny,x2=π-arcsiny,由此得：所以，Y的分布函數(shù)是求導得Y的概率密度補充定義例5設XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當y<0時當0≤y<1時當y≥1時例6

設X的概率密度為fX(x),y=g(x)關于x處處可導且是x的嚴格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y))Y的概率密度為

fY(y)=F(g-1(y))=－fX(g-1(y))g-1(y)2、公式法：一般地若X～fX(x),y=g(x)是單調可導函數(shù)，則

注：1、只有當g(x)是x的單調可導函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)。

2、注意定義域的選擇其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).例7設X～U(0,1),求Y=a+bX的概率密度.(a≠0)解:Y=a+bX關于X嚴單,反函數(shù)為故而故2.9二維隨機變量的聯(lián)合分布一、多維隨機變量1.定義:將n個隨機變量X1，X2，...,Xn構成一個n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機變量。一維隨機變量X——R1上的隨機點坐標二維隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標,多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律二.二維離散隨機變量的聯(lián)合概率分布

若二維隨機變量(X,Y)只能取至多可列個值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量。若二維離散型隨機變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱

P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij

，(i,j＝1,2,…)為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合概率函數(shù).

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝

yj,}＝pij

，(i,j＝1,2,…)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij

...........................聯(lián)合分布律的性質(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:例1已知10件產品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。從這批產品中任取4件產品，求其中一等品，二等品件數(shù)的二維聯(lián)合概率分布。解：X，Y分別表示取出的4件產品中一等品，二等品的件數(shù)。設(X,Y)是二維隨機變量，(x,y)R2,則稱

F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。二.2d.r.v.的聯(lián)合分布函數(shù)幾何意義：分布函數(shù)F(

)表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域中的概率。如圖陰影部分：(1)非負性

:0≤F(x,y)

≤1(2)單調不減

對任意yR,當x1<x2時，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)；

對任意xR,當y1<y2時，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)

對任意xR,yR,

分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質：(4)

對任意(x,y)R2

（5）對于二維離散隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y),對x或y來說右連續(xù)，它的圖形是由若干矩形平面塊組成的臺階形的“曲面”。（6）對于二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是連續(xù)函數(shù)，圖形z=F(x,y)是介于平面z=0及z=1之間隨x或y單調上升的連續(xù)曲面。（7）對于二維離散隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為：三.二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度x(x+Δx,y+Δy)(x,y)0y(1)聯(lián)合概率密度隨機點（X,Y)落在區(qū)域（x,x+Δx;y,y+Δy）的概率2、聯(lián)合密度f(x,y)的性質

(1)非負性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)歸一性：反之，具有以上兩個性質的二元函數(shù)f(x,y)

，必是某個二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。此外，f(x,y)還有下述性質(3)若f(x,y)在(x,y)R2處連續(xù)，則有(4)(x,Y)落在區(qū)域GR2內的概率

(5)概率微分

(6)聯(lián)合分布函數(shù)

例2.設（X，Y）在以原點為中心，r為半徑的圓域R上服從均勻分布，求聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度為例設求:P{X>Y}xGyx=y011求：(1)常數(shù)A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內的概率。

例3

設解(1)由歸一性xGy011(3)(X,Y)落在三角形區(qū)域D：x0,y0,2X+3y6內的概率。解例4已知二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為1)求常數(shù)A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}解:

3.兩個常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布

若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內)服從均勻分布。易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內)服從均勻分布，對D內任意區(qū)域G，有例4設（X,Y)服從下列區(qū)域G上的均勻分布，其中

G：x≥y,y≥1，x≤5，求P{(X-Y)>2}xx-y=2Gy015551(5,5)(5,3)(3,5)D求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0} 例5隨機變量（X，Y）的概率密度為xyD答:P{X0}=0分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xn

xn)稱為的n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。定義

n維隨機變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)使對任意的n元立方體定義若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無窮多個點，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn}，(x1,x2,...xn)為n維隨機變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。2.10二維隨機變量的邊緣分布邊緣分布：任取一個變量研究，另一個變量取任意值。1.2d離散隨機變量的邊緣分布若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝

yj,}＝pij

，i,j＝1,2,…

Px(xi)叫做X的邊緣分布例1求2.9節(jié)例1中，抽取的4件產品中一等品和二等品的邊緣分布。(p67)例2已知(X,Y)的分布律為

x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的邊緣分布律。

故關于X和Y的分布律分別為：

X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/5解:pi.xY10p.j1/10103/102/53/103/103/52/53/511.2d連續(xù)隨機變量的邊緣分布(1)r.v.X的邊緣分布函數(shù)求導得邊緣概率密度例2在2.9例2中，分別求X與Y的邊緣概率密度。例3設(X,Y)的概率密度為（1）求常數(shù)c;(2)求關于X,Y的邊緣概率密度解:(1)由歸一性例4設(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，

求關于X的和關于Y的邊緣概率密度

x=yx=-y2.11隨機變量的獨立性定義

稱隨機變量X與Y獨立，如果對任意實數(shù)a<b,c<d，有p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}與事件{c<Yd}獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。（1）設(X,Y)是二維離散型隨機變量（2）設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量例2dr.v.(X,Y)的聯(lián)合概率密度為隨機變量X與Y是否獨立？2.12

二維隨機變量函數(shù)的分布1.和的分布（1）離散型Z=X+Y的取值關系：若X與Y獨立，有例1隨機變量X與Y獨立，都服從二項分布求Z=X+Y的分布。例2設r.v.X與Y獨立，并且都服從泊松分布，概率函數(shù)分別是求Z=X+Y的分布。（2）連續(xù)型zx+y=z

x+yz

若X與Y相互獨立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù)

2.平方和的分布對分布函數(shù)FZ(z)微分，即得Z的概率密度fZ(z)例5設2dr.v.(X,Y)的聯(lián)合概率密度是求Z=X2+Y2的概率密度。3、最大值與最小值的分布（1）最大值分布推廣：X1，X2，…,Xn獨立，max(X1，X2，…,Xn)的分布函數(shù)為特別地：X1，X2，…,Xn獨立，且同分布（2）最小值分布推廣：X1，X2，…,Xn獨立，min(X1，X2，…,Xn)的分布函數(shù)為特別地：X1，X2，…,Xn獨立，且同分布例6設各部件的壽命Xij服從相同的指數(shù)分布e(λ),

求儀器使用壽命的概率密度。L22L11L12L13L21L23

例1

設隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1分布，其分布律均為

X

0

1

Pqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0