《空間向量及其運算》設計 一等獎

《空間向量及其運算》教學設計（7）一、知識網(wǎng)絡：空間向量與立體幾何空間向量及其運算空間向量與立體幾何空間向量及其運算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運算空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)量積運算空間向量的坐標運算共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二、考綱要求：（1）空間向量及其運算①經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示；③掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應用①理解直線的方向向量與平面的法向量；②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系；③能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）；④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。三、命題走向本章內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本章是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本章的考查形式為：以客觀題形式考查空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。預測10年高考對本章內(nèi)容的考查將側重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。第一課時空間向量及其運算一、復習目標：1．理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘；2．了解空間向量的基本定理；3．掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。二、重難點：理解空間向量的概念；掌握空間向量的運算方法三、教學方法：探析類比歸納，講練結合四、教學過程（一）談最新考綱要求及新課標高考命題考查情況，促使積極參與。學生閱讀復資P128頁，教師點評，增強目標和參與意識。（二）知識梳理，方法定位。（學生完成復資P128頁填空題，教師準對問題講評）。1．空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。BCBCOA2．向量運算和運算率加法交換率：加法結合率：數(shù)乘分配率：說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝（1）對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。（3）若直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導的表達式。推論：如果

l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式①其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則①式可化為②當時，點P是線段AB的中點，則③①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法則記憶方程。4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使①注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使④或?qū)臻g任一定點O，有⑤在平面MAB內(nèi)，點P對應的實數(shù)對（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得⑥由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④⑤⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④⑤⑥，所以等式④⑤⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6．數(shù)量積ABO（1）（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=；⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥；ABOABO（2）圖（1）中∠AOB=，圖（2）中∠AOB=,從而有==.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=ABl向量:（4）性質(zhì)與運算率⑴。⑴⑵⊥=0⑵=⑶⑶（三）典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（）。①②①③②③①②③解析：對于①“如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。題型2：空間向量的基本運算例2如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（）解析：顯然；答案為A。點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。例3已知：且不共面.若∥,求的值.解：∥,,且即又不共面,點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。例4．底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD.證明：記則∴,∴共面.∵B1平面C1BD,AB1（四）強化鞏固導練1.已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.解：易求得2.在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 (A)。ABCDA1C1B1ABCDA1C1B1C．a(chǎn)b＋c D．a(chǎn)b＋c3.（2022四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側棱的中點，則異面直線所成的角的大是。解析：不妨設棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。（五）小結：1．立體幾何中有關垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明．對于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0進行證明．對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進行證明．2．運用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應距離的線段所對向量，然后計算這個向量對應的模．而計算過程中只要運用好加法法則，就總能利用一個一個的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結果．3．利用向量求夾角(線線夾角線面夾角、面面夾角)有時也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式c