概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章習題解答

精選精選《概率論與數(shù)量統(tǒng)計》第一章習題解答1、寫出下列隨機試驗的樣本空間：（1）記錄一個班 一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（設以百分制記分）。（2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有 10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（3）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的產(chǎn)品記上“正品” ，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結果。（4）在單位圓內任意取一點，記錄它的坐標。解：（1）設該班有n人，則該班總成績的可能值是0,1,2,……，100n。故隨機試驗的樣本空間S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。（2）隨機試驗白^樣本空間S=｛10,11,12?,??…｝。（3）以 0表示檢查到一個次品，1表示檢查到一個正品，則隨機試驗的樣本空間S=｛00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111｝。（4）隨機試驗白樣本空間S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。2、設 A，B，C為三個事件，用A，B，C的運算關系表示下列各事件：A發(fā)生，B與C都不發(fā)生。2）A與B都發(fā)生，而 C不發(fā)生。A，B，C中至少有一個發(fā)生。A,B,C都發(fā)生。A,B,C都不發(fā)生。A,B,C中不多于一個發(fā)生。A,B,C中不多于兩個發(fā)生。A,B,C中至少有兩個發(fā)生。解：(1)ABC ⑵ABC⑶AUBUC (4)ABC(5)ABC(6)abcUAbcUaBCUabC(7)S-ABC(8)ABCUABCUAbCUaBC3、(1)設A,B,C為三個事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30，求AUB,在后，AUBUC,ABC,ABC,ABUC的概率。(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容，求P(Ab),(ii)若P(AB)=1/8,求P(AB)。解：(1)因為P(AB)=0,所以P(ABC)=0。故P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P(AB)=1-P(AUB)=4/15,P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P(ABC)=1-P(AUBUC)=3/20,P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=7/60,P(ABUC)=P(AB)+P(C)-P(aBC)=4/15+1/5-7/60=7/20。(3)⑴因為A,B互不相容，所以AB=O),P(AB)=0。故P(Ab)=P(A)-P(AB)=1/2。(ii)P(AB)=P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。4、設A,B為兩個事件。(1)已知AB=AB,驗證A=B。(2)驗證事件A和事件B恰有一個發(fā)生的概率為P(A)+P(B)-2P(AB)。證明：(1)A=A(BUB)=ABUAB=ABUaB=(AUA)B=B。(2)因為ABAB=①，所以P(ABUaB)=P(AB)+P(AB)-P(ABaB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)。5、10片藥片中有5片是安慰劑。(1)從中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰劑的概率。(2)從中每次取一片，作不放回抽樣，求前3次都取到安慰劑的概率。解：p=1-c；/c；0-c5c：/C150。(2)p=A53/Ai。6、在房間里有 10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小號碼為 5的概率。（2）求最大號碼為 5的概率。解：（1）從10人中任選3人的選法有CM種。要求最小號碼為5,即有一個人的號碼是5,其他兩人的號碼都在6到10之間。故共有C；種不同的選法。故最小號碼為5的概率p=C52/C130。（2）同理最大號碼為 5的概率p=C42/C130。7、某油漆公司發(fā)出 17桶油漆，其中白漆 10桶、黑漆4桶、紅漆3桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個訂貨為4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？解：p=C140C43C32/C197。8、在 1500件產(chǎn)品中有 400件次品、 1100件正品。任取 200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有 2件次品的概率。解：90 110 200（1）恰有90件次品的概率 p=C400C1100/C1500。200 200 1 199 200（2）至少有 2件次品的概率 p=1-C1100/C1500-C400C1100/C1500。9、從5雙不同的鞋子中任取4只。問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解：設A為事件”這4只鞋子中沒有配成一雙”，則事件“這4只鞋子中至少有兩只配成一雙”是其。從10只鞋子中任取4只有4種取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）X8（第二只的取法，和第一只一雙的那一只也不能取了）X6（第三只的取法）X4（第一只的取法）。故P（A）=16A4/A：。P（A）=1-P（A）=1-16A//鐮。1R在11張卡片上分別寫上probability這11個字母，從中任意連抽7張，求其排列結果為ability的概率。解：從11個字母中選取7個字母有a7i種選法。由于b和i各有兩個，故排列ability共有4種不同的選法。因此排列結果為ability的概率p=4/A71。11、將3只球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為,2,3的概率。解：杯子中球的最大個數(shù)為1的概率p=A3/43。杯子中球的最大個數(shù)為2的概率p=1--A4/43-A：/43。杯子中球的最大個數(shù)為3的概率p=A：/43。12、50只鐘釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3只鐘釘強度太弱。每個部件用3只鐘釘。若將3只強度太弱的鐘釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱。問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？

解：解：一個部件強度太弱的事件相當于從 50只鉚釘中隨機地選出的3只鉚釘恰好都是強度太弱的且裝在了同一個部件上。故 p=C110/C530p=cp=c110c4277/c33030C5013、一個俱樂部有 5名一年級學生，2名二年級學生，3名三年級學生，名四年級學生。（1）在其中任選 4名學生，求一、二、三、四年級的學生各一名的概率。（2）在其中任選 5名學生，求一、二、三、四年級的學生均包含在內的概率。解：（1）在其中任選 4名學生，求一、二、三、四年級的學生各一名的概^=c5c2c1c2C1/c4（2）設事件 A為“一年級有 2名學生，其他年級各有一名”，事件BTOC\o"1-5"\h\z為“二年級有 2名學生，其他年級各有一名”，事件C為“三年級有 2名學生，其他年級各有一名”，事件D為“四年級有 2名學生，其他年級各有一名”，。則A，B，C，D兩兩不相容，且P（A）=C52C21C31C21/C152，1211 5 11 2 1 5 11 22 5P（B）=C5C2C3C2/C12 ，P（C） =C5C2C3C2/ C12， P（D）=C5C2 C3C2/ C12 ，所以在其中任選5名學生，一、二、三、四年級的學生均包含在內的概^=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/d。14(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求條件概率P(B|AUB)o(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2，求P(AUB)O解：(1)因為P(B|AUB)=P(B(AUB))/P(AUB),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(Ab)=1-P(a)+1-P(B)-0.5=0.85,P(B(AUB))=P(AB)=P(A)-P(Ab)=0.7-0.5=0.2,所以P(B|AUB)=0.25。(2)因為P(B|A)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12。又因為P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6。故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3。15擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為 7,求其中有一顆為1點的概率(用兩種方法)。1&據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P｛孩子得?。?0.6,P｛母親得病|孩子得病｝=0.5,P｛父親得病|母親及孩子得?。?0.4,求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：設事件A為“孩子得病”，事件B為“母親得病”，事件C為“父親得病”，則要求的概率為P(ABC)。由已知，P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所以P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)口-P(C|AB)]=0.6X0.5X0.6=0.1817、已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣。求下列事件的概率。(1)兩件都是正品。(2)兩件都是次品。(3)一件是正品，一件是次品。(4)第二次取出的是次品。解：設事件A為“第一件是正品”，事件B為“第二件是正品”，則(1)兩件都是正品的概率P(AB)=C82/C120(或=P(A)P(B|A)=4/5X7/9)。(2)兩件都是次品的概率P(AB)=C；/C1：(或=P(A)P(B|A)=1/5x1/9)。(3)一件是正品，一件是次品的概率P(AbUaB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X8/9。(4)第二次取出的是次品的概率P(B)=P(Ab)+P(ab)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X1/9。1&某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。 若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，則此概率是多少？解：設A表示事件“第一次撥通所需電話”，B表示事件“第二次撥通所需電話”，C表示事件“第三次撥通所需電話”，D表示事件“撥號不超過三次接通所需電話"。則D=AUaBUABC,所以P(D)=P(A)+P(AB)+P(ABC)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(AB)P(C|AB)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)P(C|AB)=1/10+9/10X1/9+9/10x8/9x1/8。當已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)時，則P(D)=1/5+4/5X1/4+4/5X3/4X1/3。1H(1)設甲袋中裝有n只白球、m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球。今從甲袋中任意取一只球放入袋中，再從乙袋中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？(2)第一只盒子裝有4只白球、5只紅球；第二只盒子裝有5只白球、4只紅球。先從第一個盒子中任取2只球放入第二個盒子中，然后從第二個盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解:(1)設A表示事件“從甲袋中取到的是紅球”，B表示事件“從乙袋中取到的是白球”。則P(B)=P(AB)+P(AB)=+P(abC)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=m/(m+n)xN/(M+N+1)+ n/(m+n)乂(N+1)/(M+N+1)。(2)設A表示事件”從第一個盒子中取到0個紅球”，B表示事件“從第一個盒子中取到1個紅球”，C表示事件”從第一個盒子中取到2個紅球”，D表示事件“從第二個盒子中取到白球”。則P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)—p2 2X「1 1 1 1 2X「1 1 2 2X「1 1(D|C)=C4/C9KC7/C11+C4C5/C9KC6/C11+C5/C9KC5/C11°2R某種產(chǎn)品白商標是“MAXAM”，其中有2個字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。解:設Ai,A2,A3,A4,A5分別為事件“脫落M、M”，“脫落A、A”，“脫落M、A”，“脫落M、X”，“脫落A、X”，。D為事件“放回后仍為MAXAM因為P(Ai)=P(A2)=C；/C；,P(A3)=C；C2/C；,P(A4)=C；c2/C；,P(A5)=Ci1C2/C；,P(D|A1)=P(D|A2)=1,P5(D|A3)=P(D|A4)=P(D|A5)=1/2,所以P(D)=P(D|AJP(Ak)°k121、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：設A表示事件“選出的是男性”，H表示事件“選出的人是色盲患者”。則已知條件P(A)=1/2,P(入)=1/2,P(H|A)=0.05,P(H|A)=0.0025。由貝葉期公式可得P(A|H)=P(H|A)P(A)/[P(H|A)P(A)+P(H|A)P(A)]。22、一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為 p,若第一次及格則第二次及格的概率也為p;若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2。11)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：設事件A表示“第1次考試及格”，事件B表示“第2次考試及格”，事件C表示“他能取得某種資格”。由已知條件可知，P(A)=p,P(B|A)=p,P(B|A)=p/2。(1)因為C=AUAB,所以P(C)=P(A)+P(AB)=P(A)+P(a)P(B|A)=p+(1-p)p/2。(2)P(A|B) =P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/[ P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)尸p2/[p2+(1-p)p/2]=2p/(p+1)。23將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率是0.02,而B被誤U^作A的概率是0.01。信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1。若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設A表示事件“將信息A傳送出去產(chǎn)”，B表示事件“接收站收到的信息是A”。則由已知，P(A)=2/3,P(B|A)=0.02,P(B|A)=0.01。則 P ( A|B )=P(AB)/P(B尸P(A)P(B|A)/[P(A)P(B|A)+P(a)P(B|a)]=2/3X0.98/[2/3X0.98+1/3X0.01]。24有兩箱同種類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。2）在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解以H表示事件“從第一箱中取零件”，則月表示事件”從第二箱中取零件二由已知條件尸(H)=p(H)=1/2.又以從表示事件”第，,次從箱中(不放回抽樣)取得的是一等品，,3=1,2.(1)由條件F(AjH)=1/5,PtAjH)=3/5,故P(At)=P(AjH)P(H)+P(Aj月)P(后)=1/10+3/10=2/5,②簫要求的是P(A3②簫要求的是P(A31A).因P(A21Al)P(AJ，而P(AiAz>=P(AxA2\h)P(H)十P(AyA2\h)P(H)由條件概率的含義，P(A]An|H)表示在第一箱中取兩次，每次取一只產(chǎn)品，作不放回抽樣，且兩次都取得一等品的概率,因第一箱共有50只產(chǎn)品，其中有1。只一等品.故有p(AiA/H)=4x言同理,P(AA|無)=修乂羔故有P(AtAa)P(AJ=p(^i)EP(A1A21H)P(J+F(A1A2|H>P(H)]2&病樹的主人外出。委托鄰居澆水，設已知如果不澆水，樹死去的概率是0.8。若澆水則樹死去的概率是0.1S有0.9的把握確定鄰居會記得澆水。(1)求主人回來樹還活著的概率。(2)若主人回來樹已死去，求鄰居忘記澆水的概率。27、設本題涉及的事彳^均有意義。沒A,B都是事件。(1)已知P(A)>0,證明P(AB|A)三P(AB|AUB)。(2)若P(A|B)=1,證明P(B|A)=1。(3)若設C也是事件，且有P(A|C)三P(B|C),P(A|C)三P(B|C),證明P(A)三P(B)。2&有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8,0.9,從中各取一顆，設各花籽是否發(fā)芽相互獨立。求(1)這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率。(2)至少有一顆能發(fā)芽的概率。(3)恰有一顆能發(fā)芽的概率。2a根據(jù)報道美國人血型的分布近似地為： A型為37%,O型為44%,B型為13%,AB型06%。夫妻擁有的血型是相互獨立的。(1)B型的人只有輸入B、。兩種血型才安全。若妻為B型，夫為何種血型未知，求夫是妻的安全輸血者的概率。(2)隨機地取一對夫婦，求妻為B型夫為A型的概率。(3)隨機地取一對夫婦，求其中一人為A型，另一人為B型的概率。(4)隨機地取一對夫婦，求其中至少有一人是O型的概率。3R(1)給出事件A、B的例子，使得(i)P(A|B)<P(A)。(ii)P(A|B)=P(A)。(iii)P(A|B)>P(A)。(2)設事件A,B,C相互獨立，證明(i)C與AB相互獨立。(ii)C與AUB相互獨立。(3)設事件A的概率P(A)=0,證明對于任意另一事件B,有A,B相互獨立。(4)證明事件A,B相互獨立的充要條件是P(A|B)=P(A|B)。31、設事件A,B的概率均大于零，說明以下的敘述(1)必然對。(2)必然錯。(3)可能對。并說明理由。(1)若A與B互不相容，則它們相互獨立。（2）若 A與B相互獨立，則它們互不相容。P（A）=P（B）=0.6，且它們互不相容。P（A）=P（B）=0.6，且它們相互獨立。32、有一種檢驗艾滋病毒的方法， 其結果有概率 0.005報導為假陽性（即不帶艾滋病毒的人被認為帶艾滋病毒）。今有140名不帶艾滋病毒的正常人全部接受此種檢驗，被報道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少？33、盒中有編號為 1，2，3，4的4只球，隨機地自盒中取一只球，事件A為“取得的是 1號或2號球”，事件B為“取得的是 1號或3號球”，事件C為“取得的是 1號或4號球”。驗證：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P）P（C）,但P（ABC）?P（A）P（B）P（C）,即事件A，B，C兩兩獨立，但 A，B，C不是相互獨立的。如果一危險情況 C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)出警報，我們可以借用兩個或多個開關并聯(lián)以改善可靠性。在 C發(fā)生時這些開關每一個都 應完全，且若至少一個開關閉合了，警報就發(fā)出，如果兩個這樣的開關并聯(lián)連接，它們每個具有0.96的可靠性（即在情況C發(fā)生時閉合的概率），問這時系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率）是多少》如果需要有一個可靠性至少為 0.9999的系統(tǒng)， 則至少需要用多少開關并聯(lián)？設各開關閉合與否是相互獨立的。36、三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？設Ai={第i人能破譯}（i=1,2,3），則

P(A)P(AAP(A)P(AA2A3)1P(A)P(A2)P(Aj37、設第一只盒子中裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子中裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別在兩只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只藍球的概率。（2）求有一只藍球一只白球的概率。（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解以耳記事件“從第f只盒子中取得一只藍球，以巴記事件“從第t只盒子中取得一只白球”，￡=1.2.由題設在不同盒子中取球是相互獨立的.（1）即需求P（馬U瑪）.利用對立事件來求較方便，即有P⑵UB2）=1-P（B1UB；）=1-=1-P區(qū)）P（瓦）=1-方得=/（2）即需求事件歸iWaU瑪Wi的概率，注意到6〉印i是互不相容的，即H]Wj=0,因而（以叫MB,%）=0,故有P（%/U為印I=P[BlW2）+P（鳥叫）=P(B1)P(W2)十尸(B0P(%)一3乂4 2 2 16-yxv+7x763'（3）即需求條件概率力=P（BxW2uB?WjEiUb2）,因（%%U u比，故有P=PHB1W2u%/MB]u殳）ub2）=P（%W工UB2WO/P（B}u叫）=16/35,3&袋中裝有m枚正品硬幣、n枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一枚，將它投擲「次，已知每次都得到國徽。問這枚硬幣是正品的概率為多少？

【解】設八=｛投擲硬幣r次都得到國徽｝

B=｛這只硬幣為正品｝/、m n由題知P(B),P(B)——由題知mn mn1P(A|B)27,P(A|B)1P(B|A)P(AB)

P(A)則由貝葉斯公式知P(B|A)P(AB)

P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)mJ1m32r mm11n1m2rnmn'2rmn，3a設根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞2%(這一事件記為A),損壞10%(事件B),損壞90%

(事件