初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)習(xí)資料

競(jìng)賽專題講座08－幾何變換【競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)撥】一、平移變換定義設(shè)PQ是一條給定的有向線段，T是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X',使得丟，則T叫做沿有向線段卩°的平移變換。記為X',圖形F'。主要性質(zhì)在平移變換下，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本€，三角形變?yōu)槿切?，圓變?yōu)閳A。兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等。二、軸對(duì)稱變換定義設(shè)l是一條給定的直線，S是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X'，使得X與X'關(guān)于直線l對(duì)稱，則S叫做以l為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱變換。記為X』「X'，圖形F'。主要性質(zhì)在軸對(duì)稱變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對(duì)稱軸，且這兩條直線的夾角被對(duì)稱軸平分。三、旋轉(zhuǎn)變換定義設(shè)a是一個(gè)定角，0是一個(gè)定點(diǎn)，R是平面上的一個(gè)變換，它把點(diǎn)0仍變到0（不動(dòng)點(diǎn)），而把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X',使得OX'=OX，且ZXOX'=a，則R叫做繞中心0，旋轉(zhuǎn)角為a的旋轉(zhuǎn)變換。記為X珥“如°X'，圖形F砂小訃'。其中a<0時(shí)，表示ZXOX'的始邊0X到終邊0X'的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向；a>0時(shí)，為逆時(shí)針方向。主要性質(zhì)在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。四、位似變換

1.定義設(shè)0是一個(gè)定點(diǎn)，H是平面上的一個(gè)變換，它把平面圖形F上任一點(diǎn)X變到X',使得。刃二k?。藍(lán)，則H叫做以0為位似中心，k為位似比的位似變換。記為X、X',圖形其中k>0時(shí)，X'在射線0X上，此時(shí)的位似變換叫做外位似；k<0時(shí)，X'在射線0X的反向延長(zhǎng)線上，此時(shí)的位似變換叫做內(nèi)位似。2.主要性質(zhì)在位似變換下，一對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；一條線上的點(diǎn)變到一條線上，且保持順序，即共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線；對(duì)應(yīng)線段的比等于位似比的絕對(duì)值，對(duì)應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方；不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)；兩對(duì)應(yīng)圓相切時(shí)切點(diǎn)為位似中心?！靖?jìng)賽例題剖析】【例1】P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且ZPAB=ZPCBO求證：ZPBA二ZPDA?！痉治觥孔髯儞Q△ABP庇巧‘ADCP',則厶ABP竺△DCP',Z1=Z5,Z3=Z6o由PP'也AD^BC,ADPP'、PP'CB都是平行四邊形，知Z2=Z8,Z4=Z7o由已知Z1=Z2,得Z5=Z8。???P、D、P'、C四點(diǎn)共圓。故Z6=Z7，即Z3=Z4o【例2】“風(fēng)平三角形”中，AA'二BB'二CC'=2,ZA0B'二ZB0C'=60°o圖2求證：s+s+s△AOB‘△BOC'〈希\o△COA‘【分析】作變換△AOCW3△AQR',厶匕。。'璋叫3△B'PR'',則R'、R''重合，記為RoP、R、Q共線，0、A、Q共線，0、B'、P共線，AOPO為等邊三角形。??.s+s+s<S二屈△AOB'△BOC'△COA'△OPQ【分析】取AC、BD的中點(diǎn)E、F，令A(yù)C丫冋、A'C'，則A'BC'D是一個(gè)符合條件的平行四邊形。延長(zhǎng)AF、CC'交于Go???E是AC的中點(diǎn)且EF〃CC'，F(xiàn)C‘〃EC，???F、C'分別為AG、CG的中點(diǎn)。.??AD+BC二BG+BC22BC'二A'D+BC同理可得AB+DC^A'B+DC'o故當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，周長(zhǎng)最小?！驹u(píng)注】當(dāng)已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時(shí)，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。H【例4】P是00的弦AB的中點(diǎn)，過P點(diǎn)引00的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M,連結(jié)CF交AB于N。求證:MP二NP。（蝴蝶定理）【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn)、f'F,顯然'三00。又PWGH,???PF'二PF。?.?PF薊&巴：■pF',PA胃陽(yáng)）＞pb,.?.zfPN二ZF'PM,PF二PF又FF'丄GH,AN丄GH,?FF‘〃ABo.ZF'PM+ZMDF'二ZFPN+ZEDF'二ZEFF'+ZEDF'=18O°,?P、M、D、F'四點(diǎn)共圓°?ZPF'M二ZPDE二ZPFN。.??△PFN竺△PF'M,PN=PMo【評(píng)注】一般結(jié)論為：已知半徑為R的00內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P,過P作兩條相交弦CD、EF,連CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中點(diǎn)的距離為a,貝卩1_1_2aPMPNR2-r2o（解析法證明：利用二次曲線系知識(shí)）【例5】00是給定銳角ZACB內(nèi)一個(gè)定圓，試在00及射線CA、CB上各求一點(diǎn)P、Q、R,使得△PQR的周長(zhǎng)為最小。

00pBEBPP.0PiBBF?F圖5舉00pBEBPP.0PiBBF?F圖5舉°F【分析】在圓0上任取一點(diǎn)P，令PP,PP，連結(jié)PP分別交CA、0010212CB于Q、R。顯然APQR是在取定P的情況下周長(zhǎng)最小的三角形。110110設(shè)PP交CA于E,PP交CB于F,貝卩PQ+QR+RP=PP=2EF。010201111012???E、C、F、四點(diǎn)共圓，CP°是該圓直徑，由正弦定理，EF=CPsinZECF。???當(dāng)CP取最小值時(shí)，EF為最小，從而APQR的周長(zhǎng)為最小，于是有作法：0011連結(jié)0C，交圓周于連結(jié)0C，交圓周于P，令Pw丁Pi,卩具匚卩?，連結(jié)pp.分別交ca、CB于Q、12R。則P、Q、R為所求?！纠?】△ABC中，ZA290°，AD丄BC于D，APQR是它的任一內(nèi)接三角形。求證:PQ+QR+RP>2AD?！痉治觥吭O(shè)P訶、P'，P盼門°P''。則RP二RP'，PQ二P''Q,AP=AP'=AP‘'.??PQ+QR+RP二P''Q+QR+RP00又ZA290°,???ZP'AP+ZP''AP=2ZA2180°,A點(diǎn)在線段P'P''上或在凸四邊形P'RQP''的內(nèi)部°?P''Q+QR+RP'〉A(chǔ)P'+AP''=2AP〉2AD。?PQ+QR+RP>2AD?！驹u(píng)注】如果題設(shè)中有角平分線、垂線,或圖形是等腰三角形、圓等軸對(duì)稱圖形,可以將圖形或其部分進(jìn)行軸對(duì)稱變換。此外,也可以適當(dāng)選擇對(duì)稱軸將一些線段的位置變更,以便于比較它們之間的大小。為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB為斜邊分別向外作等腰直角三角形APB、AQC,M是BC的中點(diǎn)。求證：MP=MQ,MP丄MQ?！痉治觥垦娱L(zhǎng)BP到E,使PE=BP,延長(zhǎng)CQ到F,使QF=CQ,則厶BAE、ACAF都是等腰三角形。顯然：B,CF,AEC=BF,EC±BFoZ/l而PM=2EC,//-

MQ=2bf,顯然：B,CF,AEC=BF,EC±BFoZ/l而PM=2EC,//-

MQ=2bf,?MP二MQ,MP丄MQo圍只例8】已知0是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZA0B二ZB0C二ZC0A=120°；P是厶ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證:PA+PB+PC±OA+OB+OCo（0為費(fèi)馬點(diǎn)）【分析】將C【分析】將CP珥艮」嚴(yán)）'P‘，連結(jié)00'、PP‘。則AB00'、ABPP‘都是正三角形。.??00'=0B,PP'=PB。顯然△BO'C'竺△B0C,ABP'C'竺ABPCo?a1【分析】設(shè)0?a1【分析】設(shè)02,N上氫N',而M由于ZBO'C'二ZB0C=120°=180°-ZBO'O,.?.A、O、O'、C'四點(diǎn)共線。.??AP+PP'+P'C'2AC'二AO+OO'+O'C',即PA+PB+PC2OA+OB+OC?！纠?】00與厶ABC的三邊BC、CA、AB分別交于點(diǎn)A、A、B、B、C、C,121212過上述六點(diǎn)分別作所在邊的垂線a、a、b、b、，設(shè)a、b、c三線相交于一點(diǎn)D。1212121求證：a、b、c三線也相交于一點(diǎn)。212【分析】Vai>a2關(guān)于圓心0成中心對(duì)稱,Ei：048Cr)a。2同理,/.a>b2、c的公共點(diǎn)D在變換R(0,180°)下的像D'也是像a、b「c?的公共點(diǎn),即叮b「&三線也相交于一點(diǎn)。2【例10】人。是厶ABC的外接圓0的直徑，過D作00的切線交BC于P,連結(jié)并延長(zhǎng)P0分別交AB、AC于M、N。求證:OM=ON。CTE_O'N1???M、0、N三點(diǎn)共線，?/B、O'、N'三點(diǎn)共線，且。胡ON。取BC中點(diǎn)G,連結(jié)0G、0'G、DG、DB。

TZOGP二Z0DP=90°,?：P、D、G、O四點(diǎn)共圓。AZODG=ZOPG，而由MN〃BN'有ZOPG二ZO'BG,.??ZODG二ZO'BG,?：O‘、B、D、G四點(diǎn)共圓。.??ZO'GB二ZO'DB。而ZO'DB二ZACB,???ZO'GB二ZACB,O'G〃AC,而G是BC的中點(diǎn)，???O'是BN'的中點(diǎn)，O'B二O'N',?OM=ON。競(jìng)賽講座07--面積問題和面積方法基礎(chǔ)知識(shí)1．面積公式由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形,故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣,應(yīng)在不同場(chǎng)合下選擇最佳形式使用．設(shè)厶ABC,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，h為a的高，R、r分別為△ABC外接a1圓、內(nèi)切圓的半徑，p二評(píng)+b+c)?則△ABC的面積有如下公式:1)S二1ah；AABC21)2)12)S=bcsinAAABC23)4)5)S=3)4)5)S=p-a)(p-b)(p-c)AABC、=ir(a+b+c)=prabc_7RSAABCSAABCS^ABC二2R2sinAsinBsinC7)SAABCa2sinBsinC7)SAABC2sin(B+C)8)S卜c—a)AABC2a1(9)S=R2(sin2A+sin2B+sin2C)AABC22．面積定理（1）一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積這和；（2）兩個(gè)全等形的面積相等；（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積相等（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對(duì)應(yīng)的高（或底）的比；（5）兩個(gè)相似三角形的面積的比等于相似比的平方；（6）共邊比例定理：若△PAB和厶QAB的公共邊AB所在直線與直線PQ交于M，則S:S二PM:QM；APABAQAB（7）共角比例定理：在△ABC和厶AB'C'中，若ZA=ZA'或ZA+ZA'二180°，則SAB-AC—AABC=—SAB'?A'C'?NAB'C'3?張角定理：如圖，由P點(diǎn)出發(fā)的三條射線PA,PB,PC，設(shè)ZAPC,ZCPB=0,ZAPB=a+0<180°，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：sinasin0sin（a+0）+=PBPAPC例題分析例1.梯形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于O，且S=m，S=n，求SNAOBNCODABCD例2．在凸五邊形ABCDE中，設(shè)S=S=S=S=S=1，求此五邊NABCNBCDNCDENDEANEAB形的面積．例3.G是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AG,BG,CG并延長(zhǎng)與BC,CA,AB分別交于D,E,F，AGF、△BGF、△BGD的面積分別為40，30，35，求△ABC的面積.例4.P,Q,R分別是△ABC的邊AB,BC和CA上的點(diǎn)，且BP=PQ=QR=RC=1，求厶ABC的面積的最大值.例5.過△ABC內(nèi)一點(diǎn)引三邊的平行線DE〃BC，F(xiàn)G〃CA，HI〃AB，點(diǎn)D,E,F,G,H,I都在△ABC的邊上，S表示六邊形DGHEFI的面積，S表示12ABC的面積.求證：S>2S.132例6.在直角厶ABC中，AD是斜邊BC上的高，過△ABD的內(nèi)心與厶ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L，△ABC和厶AKL的面積分別記為S和T.求證：S>2T.例7?銳角三角形ABC中，角A等分線與三角形的外接圓交于一點(diǎn)A，點(diǎn)B、C與此類111似，直線AA^與B、C兩角的外角平分線將于一點(diǎn)A，點(diǎn)B、C與此類似.求證：1000

三角形ABC的面積是六邊形ACBACB的面積的二倍；000111三角形ABC的面積至少是三角形ABC的四倍.000S2例8.在△ABC中，P,Q,R將其周長(zhǎng)三等分，且P,Q在邊AB上，求證：嚴(yán)>石.S9AABC例9.在銳角厶ABC的邊BC邊上有兩點(diǎn)E、F,滿足ZBAE=ZCAF，作FM丄AB,FM丄AC(M,N是垂足)，延長(zhǎng)AE交厶ABC的外接圓于點(diǎn)D，證明四邊形AMDN與△ABC的面積相等.三.面積的等積變換等積變換是處理有關(guān)面積問題的重要方法之一，它的特點(diǎn)是利用間面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換證(解)題.例10.凸六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O，且AB=BC=DC=空3+1，DE=EF=FA=1，求此六邊形的面積.例11.已知AABC的三邊a>b>c，現(xiàn)在AC上取AB'二AB，在BA延長(zhǎng)線上截取BC'二BC，在CB上截取CA'二CA，求證：S>S.AABCAA'B'C'例12.AA'B'C'在AABC內(nèi)，且AABCsAA'B'C'，求征：S+S+S二SAABCABCAACABAABC例13.在AABC的三邊BC,CA,AB上分別取點(diǎn)D,E,F，使BD二3DC,CE二3EA，AF二3FB，連AD,BE,CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面積為13,求三角形PQR的面積.例14.E為圓內(nèi)接四邊形ABCD的AB邊的中點(diǎn)，EF丄AD于F，EH丄BC于H,EG丄CD于G,求證：EF平分FH.例15.已知邊長(zhǎng)為a,b,c,的AABC，過其內(nèi)心I任作一直線分別交AB,AC于M,N點(diǎn),求證：MIa+c求證：INb例16.正△PQR=正厶P'Q'R'，AB=a，BC=b，CD=a，DE=b，1122EF二a，F(xiàn)A二b.求證：a2+a2+a2=b2+b2+b2.33123123例17.在正AABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)O點(diǎn)關(guān)于三邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為A',B',C',則AA',BB',CC'相交于一點(diǎn)P.例18.已知AC,CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M,N分別內(nèi)分ACCE，且AMCN使==k，如果B,M,N三點(diǎn)共線，試求k的值.ACCE例19.設(shè)在凸四邊形ABCD中，直線CD以AB為直徑的圓相切，求證：當(dāng)且僅當(dāng)BC〃AD時(shí)，直線AB與以CD為直徑的圓相切.訓(xùn)練題1.設(shè)AABC的面積為10cm2，D,E,F分別是AB,BC,CA邊上的點(diǎn)，且AD=2cm,DB=3cm,若S=S，求AABE的面積.AABEDBEF過AABC內(nèi)一點(diǎn)作三條平行于三邊的直線，這三條直線將AABC分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為S,S,S，求三角形AABC的面積.123在AABC的三邊AB,BC,CA上分別取不與端點(diǎn)重合的三點(diǎn)M,K,L,求證：AAML，1ABKM,