D118二重積分概念

會(huì)計(jì)學(xué)1D118二重積分概念1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第1頁/共26頁4)“取極限”令第2頁/共26頁2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xOy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若是變量,仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊.第3頁/共26頁2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量第4頁/共26頁兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:第5頁/共26頁二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分區(qū)域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第6頁/共26頁引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃第7頁/共26頁二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在二重積分幾何意義:和定積分的幾何意義類似第8頁/共26頁三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則第9頁/共26頁特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有第10頁/共26頁7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此第11頁/共26頁例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(diǎn)(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上第12頁/共26頁例2.估計(jì)下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D第13頁/共26頁8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有第14頁/共26頁四、二重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算法設(shè)曲頂柱的底為X-型區(qū)域任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作第15頁/共26頁同樣,曲頂柱體的底為Y

-型區(qū)域則其體積可按如下兩次積分計(jì)算記作第16頁/共26頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則第17頁/共26頁例3.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則第18頁/共26頁例4.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡便,先對x后對y積分,及直線則第19頁/共26頁例5.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第20頁/共26頁例6.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則第21頁/共26頁例7.求兩個(gè)底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第22頁/共26頁被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)