2021-2022學(xué)年福建省南平市松溪第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年福建省南平市松溪第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】異面直線的判定．【分析】利用一面直線的定義和正方體的性質(zhì)，逐一分析各個選項中的2條直線的位置關(guān)系，把滿足條件的選項找出來．【解答】解：A中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項A不滿足條件．B中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項B也不滿足條件．D中，由于PR平行且等于SQ，故四邊形SRPQ為梯形，故PQ與RS是兩條相交直線，它們和棱交與同一個點，故選項D不滿足條件．C中的PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，故選項C滿足條件．故選C2.函數(shù)的大致圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象可能是()參考答案：D3.下列有關(guān)命題的敘述錯誤的是(

)

（A）對于命題p：x∈R，，則為：x∈R，

（B）命題“若－3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則－3x+2≠0”

（C）若p∧q為假命題，則p，q均為假命題

（D）“x>2”是“－3x+2>0”的充分不必要條件參考答案：C4.已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x﹣1≥0}，則A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）參考答案：A【考點】1E：交集及其運算．【分析】解不等式化簡集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，則A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故選：A．5.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，若是數(shù)列中的唯一最小項，則數(shù)列的首項的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.(2009山東卷理)設(shè)x，y滿足約束條件

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為(

).A.

B.

C.

D.4參考答案：A解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故選A.8.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，那么可得這個幾何體最長的棱長是(

)A．2 B． C．2 D．2參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面是等腰三角形，且側(cè)面垂直于底面的三棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形即可求出該三棱錐中最長棱是多少．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體為底面是等腰三角形，且側(cè)面垂直于底面的三棱錐，如圖所示；且三棱錐的高為SD=2，底面三角形邊長BC=2，高AD=2；∴該三棱錐的最長棱是SA===2．故選：C．【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．9.21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)，那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為（）A．19 B．38 C．51 D．57參考答案：D【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】首先求出每輪報數(shù)完畢后剩下的人數(shù)，以及報數(shù)的次數(shù)各是多少；然后把每輪報數(shù)的次數(shù)求和，求出僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)多少次即可【解答】解：根據(jù)題意，在第一輪報數(shù)中，有=7人表演節(jié)目，則第一輪報完數(shù)后剩下14人，一共報數(shù)21次；在第二輪報數(shù)中，14=3×4+2，有4人表演節(jié)目，則這一輪報完數(shù)后剩下10人，一共報數(shù)14次；在第三輪報數(shù)中，10=3×3+1，有3人表演節(jié)目，則這一輪報完數(shù)后剩下7人，一共報數(shù)10次；在第四輪報數(shù)中，7=3×2+1，有2人表演節(jié)目，則這一輪報完數(shù)后剩下5人，一共報數(shù)7次；在第五輪報數(shù)中，5=3×1+2，有1人表演節(jié)目，則這一輪報完數(shù)后剩下4人，一共報數(shù)5次；此時僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目，一共報數(shù)：21+14+10+7+5=57次；故選：D．【點評】此題考查合情推理的運用，關(guān)鍵是求出每輪報數(shù)完畢后剩下的人數(shù)，以及報數(shù)的次數(shù)各是多少．10.已知滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.4

B.6

C.8

D.10參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線的圓心，則的最小值是________________參考答案：1612.方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________．參考答案：213.函數(shù)的定義域為

。參考答案：略14.已知是兩個單位向量，若向量，則向量與的夾角是________.參考答案：15.記不等式組所表示的平面區(qū)域為D．若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是．參考答案：[，4]【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件

的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個角點，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應(yīng)的a的端點值即可．【解答】解：滿足約束條件

的平面區(qū)域如圖示：因為y=a（x+1）過定點（﹣1，0）．所以當(dāng)y=a（x+1）過點B（0，4）時，得到a=4，當(dāng)y=a（x+1）過點A（1，1）時，對應(yīng)a=．又因為直線y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點．所以≤a≤4．故答案為：[，4]【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗證，求出最優(yōu)解．16.已知變量，滿足，則的最大值為

．參考答案：1217.若函數(shù)的圖像與直線交于點，且在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為，則的值為

．參考答案：-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)有極值，且曲線處的切線斜率為3。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。參考答案：解：（1）由題意，得所以，（2）由（1）知令x－4（－4，－2）－2（－2，）（，1）1

+0－0+

↗極大值↘極小值↗

函數(shù)值－11

13

4上的最大值為13，最小值為－11。略19.已知橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、P兩點，與x軸、y軸分別相交于點N和M，且PM=MN，點Q是點P關(guān)于x軸的對稱點，QM的延長線交橢圓于點B，過點A、B分別作x軸的垂涎，垂足分別為A1、B1（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得點N平分線段A1B1？若存在，求求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，則直線QM的方程為y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件，能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓C：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點D在橢圓C上，∴由題意得，解得a2=4，b2=3，∴橢圓C的方程為．（2）假設(shè)存在這樣的直線l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直線QM的方程為y=﹣3kx+m，設(shè)A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，設(shè)B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵點N平分線段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合題意，∴直線l的方程為y=．20.（本小題滿分13分）設(shè)，函數(shù)，的最大值為1，最小值為，求a,b的值。參考答案：求導(dǎo)得：當(dāng)x變化時，之間的變化如下表：x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1

+0－0+

↗極大值b↘極小值↗由上表可知：比較的大小，，所以最大值比較的大小，所以為最小值，，解得

所以，b=121.在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,已知曲線（a＞0），已知過點P（－2，－4）的直線L的參數(shù)方程為：，直線L與曲線C分別交于M，N．⑴寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線L的普通方程；⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．參考答案：⑴⑵直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,代入得到,則有因為，所以解得略22.（本小題滿分15分）設(shè)函數(shù)的定義域是，對于任意正實數(shù)恒有，且當(dāng)時，。（1）求的值；（2）求證：在上是增函數(shù)；（3）求方程的根的個數(shù)。參考答案：解：（1）令，則，…………2分令