計(jì)量方法與誤差理論CH4課件

第二部分誤差理論與數(shù)據(jù)處理第四章經(jīng)典誤差理論——本章要點(diǎn)隨機(jī)誤差的數(shù)字特征和精度指標(biāo)1非等精度測量2系統(tǒng)誤差和粗大誤差3誤差合成與分配4第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)多次測量，殘差呈現(xiàn)出的規(guī)律殘差對(duì)稱性單峰性抵償性有界性一、隨機(jī)誤差的基本特點(diǎn)正負(fù)誤差概率基本相等小誤差出現(xiàn)概率大正負(fù)誤差可相互抵消誤差不會(huì)超過一定界線第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)三、正態(tài)分布及特性

測量數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)：真值隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)：誤差正態(tài)分布只能看作隨機(jī)誤差分布律的極限情況，若決定誤差的因素有限，可能服從非正態(tài)分布。第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)正態(tài)分布曲線在處很特殊：拐點(diǎn)！內(nèi)，曲線向下彎曲；外，曲線向上彎曲；第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)更一般的求解公式：拉普拉斯函數(shù)（或稱概率積分）式中，說明了什么？我們可以有68.27%的把握認(rèn)為測量值的誤差不超出0.6827第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)例：測量某基準(zhǔn)電壓U0=10V，多次測量時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.020V，若某次測量的結(jié)果為10.016V，問對(duì)該次測試結(jié)果有多大的把握性？若要對(duì)測試數(shù)據(jù)有99%的可信度，問測量數(shù)據(jù)應(yīng)該落在哪個(gè)范圍內(nèi)？第1節(jié)隨機(jī)誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)

P=0.95()，一般精密測量，應(yīng)用廣泛；

P=0.9973()，用于較重要的科研工作和精密儀器；

P=0.9999()，用于個(gè)別對(duì)可靠性要求特別高的科研和精密測量工作；第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性一、隨機(jī)變量的數(shù)字特征描述隨機(jī)變量分布特征的數(shù)值：隨機(jī)變量的數(shù)字特征（理想化）數(shù)學(xué)期望：位置特征方差：分散性指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量關(guān)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度比其他任何值的偏離程度都小。如果x是測量值，那么Ex就是該被測量值最可信賴的值（或稱概然值）數(shù)字特征如何估計(jì)？第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性三、標(biāo)準(zhǔn)偏差及其估計(jì)（標(biāo)準(zhǔn)差或方均根誤差）例：兩組測量值平均值都是20.0000，但是第II組更分散衡量的指標(biāo)：標(biāo)準(zhǔn)差第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性1、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)——貝賽爾公式第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性貝賽爾公式即貝賽爾公式估算條件：測量次數(shù)n比較大就是的無偏估計(jì)第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性貝塞爾公式和別捷爾斯公式均需要求，再求，復(fù)雜！第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性2）極差法ω

n＝xmax

-xmin根據(jù)極差得分布函數(shù)，可以求出數(shù)學(xué)期望：dn可查表得到，與測量次數(shù)有關(guān)：測量的次數(shù)越多，ωn大的概率高，故dn應(yīng)大。極差法可簡單迅速算出標(biāo)準(zhǔn)差，n<10時(shí)適用。第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性3)最大誤差法查表真值未知時(shí)第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性例：表1為例n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第2節(jié)隨機(jī)誤差的數(shù)字特性3、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)

②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來作為校對(duì)公式，當(dāng)n<10時(shí)可用來計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計(jì)算σ更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對(duì)于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測量的需要；

第3節(jié)單次測量結(jié)果的精度指標(biāo)2、的含義標(biāo)準(zhǔn)差σ是表征隨機(jī)誤差很重要的一個(gè)特征量，可用于描述測量列中各個(gè)測得值的誤差。因標(biāo)準(zhǔn)差σ甚為重要，需進(jìn)一步理解它的含義和對(duì)測量的作用。例如：對(duì)某一量測試100次，得到測量值標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值可作為表征測量列中每一個(gè)測得值誤差的參數(shù)第3節(jié)單次測量的精度指標(biāo)單次測量是總體中的一次抽樣，目前各國多采用以下精度指標(biāo)：1.標(biāo)準(zhǔn)差2.平均誤差含義：測得值的誤差不超過的置信概率為57.62%第3節(jié)單次測量的精度指標(biāo)3.幾率誤差（概差、或然誤差）如何求？與幾率誤差相應(yīng)的置信概率為50％4.極限誤差；誤差所能達(dá)到的極限值，置信度99.73%ρ值的確定：測量誤差落在±ρ之內(nèi)和之外的概率相等第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)隨機(jī)變量（一個(gè)測量列）對(duì)于m個(gè)測量列而言，每個(gè)測量列的均值都是一個(gè)隨機(jī)變量，如何計(jì)算算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差？一、算數(shù)平均值的分布特性與標(biāo)準(zhǔn)差第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)隨機(jī)變量的取值（多組測量列）第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)多次測量的算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：即用作為測量結(jié)果比用單次測量結(jié)果精度提高了倍！第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖可知,σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜。總之，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。多次測量的算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)例：

用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)二、算數(shù)平均值的置信度1.一般表達(dá)式一般寫成幾倍于標(biāo)準(zhǔn)差的形式兩種求解方法！這是一般的式子，和正態(tài)分布無聯(lián)系即置信概率等號(hào)成立的條件：測量次數(shù)n較多時(shí)，此時(shí)可認(rèn)為服從正態(tài)分布第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)2.測量次數(shù)n較多時(shí)（通常n>20）拉普拉斯函數(shù)求解法！第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)例：測量某量值25次，得。若要求置信概率，，求測量結(jié)果。0.950.002mm查表t=1.96誤差限：測量結(jié)果：第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)3.測量次數(shù)n較少時(shí)——t分布求解當(dāng)測量次數(shù)n較少時(shí)：——不服從正態(tài)分布，而是服從自由度n-1的t分布(伽瑪函數(shù))t分布數(shù)字特征：第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)當(dāng)自由度趨向于無窮大時(shí)，t分布就是標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。實(shí)際上在測量次數(shù)足夠大（n>20）,可以近似用正態(tài)分布代替。第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)利用t分布求解置信度的方法(測量次數(shù)較少時(shí))：第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)例：測量某量值5次，得。若要求置信概率，，求測量結(jié)果。0.050.005mm查t分布表ta=2.78誤差限：測量結(jié)果：說明第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)

t分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱為小子樣分布。在精密測量中，測量次數(shù)很少有超過20次的，因此，在理論上應(yīng)按t分布來計(jì)算相應(yīng)的誤差限；只有在測量次數(shù)較多（n>20）的情況時(shí)，或其測量量不甚重要時(shí)，才可近似應(yīng)用正態(tài)分布的理論來處理。

事實(shí)上，當(dāng)n無限增大時(shí)，t分布曲線和正態(tài)分布曲線基本重合，即按兩個(gè)分布理論來處理測量數(shù)據(jù)，所得的結(jié)果差異是極小的。第4節(jié)多次測量結(jié)果的精度指標(biāo)三、算數(shù)平均值的精度指標(biāo)（常用的有4個(gè)）1、標(biāo)準(zhǔn)差：2、平均誤差T：3、幾率誤差R：4、極限誤差：估計(jì)的精度問題第5節(jié)非等精度測量一、什么是非等精度測量測量條件（人員、方法、測量次數(shù)、環(huán)境條件等）部分或者全部改變，導(dǎo)致測量的精度和可信賴程度不一樣。這種測量稱為非等精度測量。客觀上，由于條件限制，所有的測量都是非等精度測量。但是條件差別不大的測量，一般都當(dāng)成等精度處理。等精度測量特點(diǎn)：具有同一標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的取值第5節(jié)非等精度測量1、多組重復(fù)測量，僅測量次數(shù)不一樣；思考：單次測量精度是否一樣？多次測量精度是否一樣？2、多組重復(fù)測量，改變不同組之間單次測量的精度（更一般情形）；思考：單次測量精度是否一樣？多次測量精度是否一樣？第5節(jié)非等精度測量在一些重要的測量中，往往有意要采用非等精度測量以獲取更精確的測量結(jié)果。通常有兩種情況：（1）用不同的測量次數(shù)進(jìn)行對(duì)比測量：（2）用不同精度的儀器進(jìn)行對(duì)比測量：互比核對(duì)目的。如何確定不等精度測量的最終結(jié)果？第5節(jié)非等精度測量用三種方法測量某未知頻率如下求被測頻率的數(shù)值。第5節(jié)非等精度測量二、“權(quán)”的概念和加權(quán)平均1.“權(quán)”的概念——“權(quán)”可以理解為各組測量結(jié)果相對(duì)的可信賴程度，測量結(jié)果越可靠，其“權(quán)”越大，即可靠性越大的測量結(jié)果在最后結(jié)果中所占的比重越大。例：對(duì)于兩組重復(fù)測量，第5節(jié)非等精度測量2.“權(quán)”的確定（權(quán)與方差的關(guān)系）顯然：方差越大，測量結(jié)果越不可靠，權(quán)應(yīng)該越小。以多組重復(fù)測量為例，測量次數(shù)決定權(quán)值，即第5節(jié)非等精度測量權(quán)與方差成反比！權(quán)表示相對(duì)可靠程度，是一個(gè)無量綱的數(shù)，允許給各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或者減小若干倍，而比例關(guān)系不變。以上推導(dǎo)為單次測量精度相等情況，如何得到更一般的情形？第5節(jié)非等精度測量3.加權(quán)平均（一般情況下的推導(dǎo)）設(shè)則這些誤差同時(shí)出現(xiàn)的概率為：利用最大似然估計(jì)法：等價(jià)于僅一個(gè)測量列每次精度不同第5節(jié)非等精度測量對(duì)EX進(jìn)行微分，并令其等于0：第5節(jié)非等精度測量更一般的加權(quán)平均表達(dá)式：對(duì)于多組重復(fù)測量亦有上述結(jié)論：第5節(jié)非等精度測量例：用三種方法測量某未知頻率如下求被測頻率的數(shù)值。解：精度如何？第5節(jié)非等精度測量三、加權(quán)平均的精度參數(shù)1.根據(jù)測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差求解（一般情況）（誤差合成原理）第5節(jié)非等精度測量例：用普通儀表和高精度儀表測電壓如下求被測量電壓的數(shù)值及精度（均方差）。解：若單次測量精度未知時(shí)如何處理？第5節(jié)非等精度測量2.根據(jù)“權(quán)”求解（不知單次測量精度時(shí)）（問題：轉(zhuǎn)化成單次測量精度相同）假設(shè)進(jìn)行m組測量，各組測量次數(shù)為單次測量權(quán)為1第5節(jié)非等精度測量（1）單位權(quán)概念假設(shè)進(jìn)行m組測量，各組測量次數(shù)為P=1單位權(quán)注：這里的單位權(quán)考慮的單次精度相同，僅測量次數(shù)不同的情況。（組內(nèi)等精度，組間非等精度）第5節(jié)非等精度測量

定義：值為1的權(quán)稱為單位權(quán)，具有同一方差的等精度單次測得值的權(quán)數(shù)為1。即為具有單位權(quán)的測得值方差。

思考：如何根據(jù)單位權(quán)求加權(quán)平均值精度？單位化權(quán)值！第5節(jié)非等精度測量（2）單位化權(quán)單位化權(quán)的實(shí)質(zhì)：任何一個(gè)測量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值的權(quán)數(shù)為1證明：令：取方差：單位權(quán)化以后得到的新值的權(quán)數(shù)為1！可使不等精度測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列！第5節(jié)非等精度測量（3）根據(jù)權(quán)值求加權(quán)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差已知各組測量結(jié)果的殘差：將各組單位權(quán)化：第5節(jié)非等精度測量總結(jié)：加權(quán)平均的精度參數(shù)（一般情況，常用于組內(nèi)不等精度）（已知權(quán)值情況，常用于組間不等精度）第5節(jié)非等精度測量例：工作基準(zhǔn)米尺長度鑒定：

999.9425mm（3次測量）

999.9416mm（2次測量）

999.9419mm（5次測量）求測量結(jié)果及其精度？第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布一、評(píng)定非正態(tài)分布隨機(jī)誤差的方法（4個(gè)特征量）1.理論均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差和正態(tài)分布的計(jì)算方法一樣第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布2.相對(duì)分布系數(shù)K分布范圍（誤差極限）為：相對(duì)分布系數(shù)：評(píng)定實(shí)際分布曲線相對(duì)于正態(tài)分布曲線的差異程度。（t為實(shí)際分布在極限處的置信系數(shù)）第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布3.相對(duì)不對(duì)稱系數(shù)實(shí)際曲線的不對(duì)稱程度：第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布二、均勻分布數(shù)字表征：例：

?儀器最小分辨率誤差（在分辨率范圍內(nèi)出現(xiàn)的所有測量值實(shí)際上是以不同的值等概率出現(xiàn)在分辨力范圍內(nèi)的任意位置上）?儀器表盤刻度誤差所產(chǎn)生的誤差;?平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)產(chǎn)生的誤差;?測量數(shù)據(jù)四舍五入的舍入誤差。第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布三、三角形分布(辛普生分布,simpson)

概率論證明：當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí),其結(jié)果服從三角分布。例：?多次測量過程時(shí)，數(shù)據(jù)湊整的誤差；?用代替法檢定標(biāo)準(zhǔn)電阻、多次校零不準(zhǔn)所引起的誤差；第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布四、反正弦分布隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系，即：例子：?電子測量中諧振的振幅誤差；?微波測量中由傳輸線、元器件或系統(tǒng)失配引起的不確定度?齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，主動(dòng)齒輪的偏心方向往往在內(nèi)呈均勻分布，則從動(dòng)輪的位移誤差服從反正弦分布。第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布五、偏心分布(瑞利分布,rayleigh)當(dāng)一個(gè)隨機(jī)二維向量的兩個(gè)分量呈獨(dú)立的、有著相同的方差的正態(tài)分布時(shí)，這個(gè)向量的模呈瑞利分布。（射擊中槍彈與靶心的偏心誤差分布；雷達(dá)雜波包絡(luò)分布）第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布1、概率密度函數(shù)：為隨機(jī)變量在直角坐標(biāo)x與y方向上分量的標(biāo)準(zhǔn)偏差第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布2、極限誤差：積分變換通常可認(rèn)為5.25σ即為偏心誤差的分布范圍。第6節(jié)隨機(jī)誤差的其他分布故：極限誤差相對(duì)不對(duì)稱系數(shù)：相對(duì)分布系數(shù)：練習(xí)：測量電壓20次，得均值5V，單次測量時(shí)的為0.1V，求測量值置信概率為50%的置信區(qū)間。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差等。采用近似的測量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③

測量方法的因素④

測量人員的因素第7節(jié)系統(tǒng)誤差

二、系統(tǒng)誤差的分類和特征1、定值系統(tǒng)誤差在同一條件下，多次測量同一測量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和正負(fù)符號(hào)保持不變。如測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差、量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差、示波器偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)及示波管邊緣效應(yīng)等，均為恒定系統(tǒng)誤差。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

2、變值系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，可分為三種：

①線性系差（累進(jìn)系差）：在整個(gè)測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。如溫度線性變化引起的誤差。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

②周期系差：在整個(gè)測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。如齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)引起的正弦誤差。

③復(fù)雜系差：在整個(gè)測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

三、系統(tǒng)誤差對(duì)測量結(jié)果的影響1、定值系差的影響第7節(jié)系統(tǒng)誤差

2、變值系差的影響第7節(jié)系統(tǒng)誤差

定值系差：不影響隨機(jī)誤差分布曲線的形狀及分布范圍，只引起分布密度函數(shù)的位置變化（平移）。變值系差：不僅使隨機(jī)誤差的分布密度曲線平移，同時(shí)也改變了曲線的形狀和分布范圍。結(jié)論：第7節(jié)系統(tǒng)誤差

四、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1、定值系差的發(fā)現(xiàn)（由于不影響殘差，無法從測量原始數(shù)據(jù)自身判定）（1）對(duì)比檢定法（校準(zhǔn)法）改變測量條件進(jìn)行測量，一般換更精密的儀器，求出兩次測量的算術(shù)平均值之差，即為定值系差。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

（2）均值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法改變測量次數(shù)或儀器第7節(jié)系統(tǒng)誤差

如果測量次數(shù)足夠多，服從正態(tài)分布時(shí)：服從正態(tài)分布第7節(jié)系統(tǒng)誤差

第7節(jié)系統(tǒng)誤差

如果測量次數(shù)較少，用兩樣本t檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)（3）t分布檢驗(yàn)法見《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，北京:人民教育出版社，1979第7節(jié)系統(tǒng)誤差

2、變值系差的發(fā)現(xiàn)兩種基本方法：觀察殘差的變化或者檢驗(yàn)是否服從已知的規(guī)律（1）馬林科夫判據(jù)——前后分組核算殘差法（線性系差）

按先后順序?qū)y量數(shù)據(jù)分兩組，前一半和后一半的殘差分別求和，然后求其差值。如果不存在累進(jìn)性系差，該差值應(yīng)近似為0；否則，可能比較大。不適于檢驗(yàn)周期性系差。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

第7節(jié)系統(tǒng)誤差

如果測量服從正態(tài)分布，則：阿貝判據(jù)為：計(jì)算時(shí)以殘差代替真差：可以證明：修正：阿貝—赫梅特判據(jù)（2）阿貝-赫梅特準(zhǔn)則（周期系差）第7節(jié)系統(tǒng)誤差

（3）標(biāo)準(zhǔn)偏差不同公式檢算法（類型不能確定）第7節(jié)系統(tǒng)誤差

第7節(jié)系統(tǒng)誤差

六、系統(tǒng)誤差的減小和消除主要途徑：1、從測量方法上消除；2、測量數(shù)據(jù)的處理，掌握系差的大小，引入修正值。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

1、定值系差消除A、替代法對(duì)被測量進(jìn)行一次測量，使儀器上得到某一狀態(tài)（如指針指示零位，顯示某一示值）。然后在相同的測量條件下，以標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量值的大小，盡量使儀器達(dá)到與被測量相同的狀態(tài)，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)量就等于被測量。如：用電橋測電阻，用標(biāo)準(zhǔn)可變電阻代替被測量。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

B、交換法在一次測量后，將某些測量條件交換一下，再進(jìn)行一次測量。

抵消法或反向補(bǔ)償法就屬于一種交換法，即先在有定值系差狀態(tài)下進(jìn)行一次測量，再在該定值系差相反的狀態(tài)下進(jìn)行第二次測量。兩次測量的平均值使定值系差完全被抵消。補(bǔ)償計(jì)量法和調(diào)換計(jì)量法第7節(jié)系統(tǒng)誤差

C、零示法將待測量與標(biāo)準(zhǔn)的已知量比較，當(dāng)二者作用相等時(shí)，測量裝置的指示器讀數(shù)為零。它可以消除指示器不準(zhǔn)所造成的系統(tǒng)誤差。例：用零示法測電壓第7節(jié)系統(tǒng)誤差

實(shí)際測量中標(biāo)準(zhǔn)量不一定是連續(xù)可調(diào)的，這時(shí)只要標(biāo)準(zhǔn)量與被測量的差別較小，那么它們的作用相互抵消的結(jié)果也會(huì)使指示儀表的誤差對(duì)測量的影響大大減弱。（利用微差法可以達(dá)到很高的精度，即使測量精度不高。）D、微差法第7節(jié)系統(tǒng)誤差

儀表誤差被大大的縮小了誤差關(guān)系第7節(jié)系統(tǒng)誤差

例：用微差法對(duì)標(biāo)稱值Ex=9V的電池進(jìn)行測量，標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)壓源Es=9V，相對(duì)誤差±0.2％；指示電壓表A的相對(duì)誤差±5％，當(dāng)電壓表A指示值為+0.1V時(shí)，問該電池電壓為多少？測量誤差多大？本例說明，用誤差為5％的電壓表進(jìn)行測量，可得0.3%的測量精確度。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

2、線性系差消除線性誤差一般多隨時(shí)間呈線性變化，因此將測量順序?qū)δ骋粫r(shí)刻對(duì)稱地進(jìn)行測量，再通過計(jì)算，可達(dá)到消除線性系差的目的。第7節(jié)系統(tǒng)誤差

周期性系差一般出現(xiàn)在由圓周運(yùn)動(dòng)的情況下，多呈現(xiàn)正弦形式。因此，在相距180度的兩個(gè)位置上做兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效的消除周期性系差。3、周期性系差消除對(duì)于系差周期：所有時(shí)刻的測量值可寫成：再經(jīng)T/2時(shí)刻可得到兩式相加即可消除系差可得第7節(jié)系統(tǒng)誤差

第8節(jié)粗大誤差

粗大誤差：疏忽誤差、過失誤差。不能不知原因不加分析就輕易舍棄測量列中最大或最小的數(shù)據(jù)。對(duì)懷疑是粗大誤差而又不明原因的數(shù)據(jù)，應(yīng)按照統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行判別。第8節(jié)粗大誤差

1.萊特準(zhǔn)則——3σ準(zhǔn)則最常用、最簡單判別粗大誤差的準(zhǔn)則（有資料推薦n>50次）具體剔除辦法：先計(jì)算，然后計(jì)算每次測量的殘差剔除完后，重新按準(zhǔn)則計(jì)算，直至沒有數(shù)據(jù)剔除為止。若，則剔除 第8節(jié)粗大誤差

2.肖維勒（chauvenet）準(zhǔn)則以隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布為前提，思路與萊特準(zhǔn)則相似。若殘差，則剔除該數(shù)據(jù)。肖維勒準(zhǔn)則規(guī)定了一種確定的方法:顯著度:第8節(jié)粗大誤差

與萊特準(zhǔn)則的區(qū)別：置信度與測量次數(shù)相關(guān)。數(shù)據(jù)量越大，判據(jù)越嚴(yán)格！將的誤差中的最大一個(gè)剔除。重新計(jì)算，再次用肖維勒準(zhǔn)則判斷，直至全部符合判據(jù)。注意：肖維勒準(zhǔn)則以大數(shù)據(jù)量為前提，n<10時(shí)，不適宜采用。萊特準(zhǔn)則和肖維勒準(zhǔn)則都是基于這個(gè)前提，n較小時(shí)都不可靠。第8節(jié)粗大誤差

3.格羅布斯（grubbs）準(zhǔn)則如果樣本觀測值中存在異常數(shù)據(jù)，它一定是最大值或最小值。將測量數(shù)據(jù)從小到大順序排序（x(1)最小，x(n)最大）。構(gòu)造異常值的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，通常可按照描述樣本極值與樣本主體之間的差異的原則來進(jìn)行。第8節(jié)粗大誤差

第8節(jié)粗大誤差

4.羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則——t檢驗(yàn)準(zhǔn)則

當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍剔除粗大誤差。先剔除一個(gè)可疑的測量值xj，然后按t分布檢驗(yàn)是否含粗大誤差。根據(jù)測量次數(shù)n和選取的顯著度α，查t分布檢驗(yàn)系數(shù)若，則剔除正確！如狄克松等其他準(zhǔn)則，這些方法都是人為主觀擬定，沒有統(tǒng)一規(guī)定，都是以隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布為前提，否則，可靠性受影響5.其他方法第8節(jié)粗大誤差

第8節(jié)粗大誤差

第8節(jié)粗大誤差

(3)按格羅布斯準(zhǔn)則（grubbs）按測得值大小排列：則：首先懷疑x(1)可能含有粗大誤差：查表得：由于：因此第8個(gè)測量值含有粗大誤差，應(yīng)剔除余下的14個(gè)數(shù)據(jù)做同樣的處理，直至沒有粗大誤差的數(shù)據(jù)。第8節(jié)粗大誤差

第9節(jié)誤差合成與分配

問題的提出：

誤差？合成：間接測量如何得到結(jié)果的誤差？分配：已知測量結(jié)果誤差，如何分配單項(xiàng)誤差？電壓測量誤差(如1.0級(jí)精度)電流測量誤差(如0.5級(jí)精度)測量誤差的合成間接計(jì)量——頻標(biāo)對(duì)比中的比相法測量頻率第9節(jié)誤差合成與分配

一、誤差的合成間接測量為各直接測量參數(shù)取全微分：誤差較小時(shí)：誤差傳遞公式（絕對(duì)誤差形式）誤差傳遞系數(shù)1、誤差傳遞公式第9節(jié)誤差合成與分配

由于：誤差傳遞公式（相對(duì)誤差形式）兩端同除以y：第9節(jié)誤差合成與分配

當(dāng)測量函數(shù)為和、差關(guān)系，求總和絕對(duì)誤差比較方便。當(dāng)測量函數(shù)為積、商、開方、乘方關(guān)系時(shí)，求總和相對(duì)誤差比較方便。第9節(jié)誤差合成與分配

例1：例2：第9節(jié)誤差合成與分配

系統(tǒng)誤差分類按誤差出現(xiàn)規(guī)律按對(duì)誤差掌握程度定值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差：未定系統(tǒng)誤差：線性系差周期系差復(fù)雜系差誤差絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)確定誤差絕對(duì)值和符號(hào)未能確定，但可估計(jì)出誤差范圍上述講解的合成類型合成復(fù)雜、難以計(jì)算，修正或消除一般按隨機(jī)誤差合成方法二、系統(tǒng)誤差的合成第9節(jié)誤差合成與分配

合成方法：（1）定值系差：（2）變值系差：不是常數(shù)，合成復(fù)雜，難以計(jì)算對(duì)于未定系差：通常按隨機(jī)誤差的合成方法。第9節(jié)誤差合成與分配

三、隨機(jī)誤差的合成隨機(jī)誤差通常用標(biāo)準(zhǔn)差σ或極限誤差δlim來表示，隨機(jī)誤差的合成主要是在一定測量條件下的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差的合成。換成第9節(jié)誤差合成與分配

1、隨機(jī)誤差傳遞公式對(duì)xi多次重復(fù)測量n次：縱向歸納可得(根據(jù)誤差傳遞公式)：第9節(jié)誤差合成與分配

將以上各式一一平方后得：第9節(jié)誤差合成與分配

將各式相加后再除以n得：第9節(jié)誤差合成與分配

第9節(jié)誤差合成與分配

由于相關(guān)系數(shù)為：代入上式：相關(guān)系數(shù)ρ反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的關(guān)聯(lián)對(duì)函數(shù)總誤差的影響若n適當(dāng)大，且各測量值的隨機(jī)誤差相互獨(dú)立時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρij為零，則獨(dú)立測量的合成誤差為：第9節(jié)誤差合成與分配

隨機(jī)誤差傳遞公式：（ρ=0）（ρ≠0）第9節(jié)誤差合成與分配

2、隨機(jī)誤差的合成方法標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差合成隨機(jī)誤差的合成形式包括：第9節(jié)誤差合成與分配

A、標(biāo)準(zhǔn)差合成

q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差

誤差傳遞系數(shù)

由間接測量的顯函數(shù)模型求得根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出知道影響測量結(jié)果的誤差因素而不知道每個(gè)和第9節(jié)誤差合成與分配

B、極限誤差合成單項(xiàng)極限誤差:

單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差:

合成標(biāo)準(zhǔn)差合成極限誤差的置信系數(shù)合成極限誤差計(jì)算公式單項(xiàng)極限誤差第9節(jié)誤差合成與分配

應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成各個(gè)置信系數(shù)、

不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同第9節(jié)誤差合成與分配

當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布、各項(xiàng)誤差相互獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布合成極限誤差：若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式時(shí)：此時(shí)第9節(jié)誤差合成與分配

例1：，三個(gè)測量量相互獨(dú)立，求結(jié)果的隨機(jī)誤差重復(fù)30次測量，重復(fù)8次測量，兩個(gè)測量量獨(dú)立。例2：求置信概率95%時(shí)的t分布正態(tài)分布第9節(jié)誤差合成與分配

代入下式求解：項(xiàng)數(shù)q較小，且第2項(xiàng)誤差不服從正態(tài)分布。故計(jì)算k時(shí)按t分布計(jì)算第9節(jié)誤差合成與分配

3、誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)（1）誤差間的線性相關(guān)關(guān)系誤差間的線性關(guān)系是指它們具有線性依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系有強(qiáng)有弱，強(qiáng)弱關(guān)系由相關(guān)系數(shù)決定。正相關(guān)，一誤差增大，另一誤差的取值也增大負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)完全不相關(guān)第9節(jié)誤差合成與分配

觀察法：用多次測量的對(duì)應(yīng)值（xi,xj）作圖（2）相關(guān)系數(shù)的確定第9節(jié)誤差合成與分配

b)簡單計(jì)算法（點(diǎn)陣計(jì)算法）：（點(diǎn)數(shù)太少時(shí)不精確）（點(diǎn)數(shù)左右均分）點(diǎn)數(shù)上下均分第9節(jié)誤差合成與分配

c)直接計(jì)算法：第9節(jié)誤差合成與分配

四、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成不同性質(zhì)的多項(xiàng)系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合問題1、按標(biāo)準(zhǔn)差合成（只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差）設(shè)s個(gè)未定系統(tǒng)誤差項(xiàng)，q個(gè)隨機(jī)誤差，誤差的傳遞系數(shù)均為1，各誤差之間互不相關(guān)，則測量結(jié)果總的標(biāo)準(zhǔn)差第i項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差第j項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差若n次重復(fù)測量，需除以次數(shù)n第9節(jié)誤差合成與分配

2、按極限誤差合成r個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，誤差值為s個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，極限誤差為q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，極限誤差為若各誤差傳遞函數(shù)均為1，且互不相關(guān)則：合成后總極限誤差的置信系數(shù)各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)第9節(jié)誤差合成與分配

若各測量值是采用多次重復(fù)測量獲得，合成中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以n，而未定系統(tǒng)誤差不具有此特點(diǎn)：第9節(jié)誤差合成與分配

例：用TC328B型天平，3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量M＝14.004g，分析測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。解：測量結(jié)果的主要誤差分析如下：1、隨機(jī)誤差

天平示值變動(dòng)性（如讀數(shù)不準(zhǔn)）所引起的誤差，通過多次重復(fù)測量同一球的質(zhì)量，用貝賽爾公式可計(jì)算σ1

（假設(shè)為0.05mg）；2、未定系統(tǒng)誤差

標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。計(jì)算如下：

第9節(jié)誤差合成與分配

①砝碼誤差:天平稱量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三