2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市清華中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市清華中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間，給出下列四個(gè)函數(shù)：①f（x），②f（x）＝x3，③f（x）＝cosx，④f（x）＝tanx其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有（

）A①②③ B.②③ C.③④ D.①④參考答案：A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性依次計(jì)算每個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的值域判斷得到答案.【詳解】①f（x），取時(shí)，如圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故滿足；②f（x）＝x3，函數(shù)單調(diào)遞增，取，，故滿足；③f（x）＝cosx，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故滿足；④f（x）＝tanx，函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)單調(diào)遞增，在每個(gè)周期內(nèi)沒有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故不滿足；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和理解能力.2.函數(shù)y=的值域是(

)A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】進(jìn)行變量分離y==﹣1，若令t=1+x2則可變形為y=（t≥1）利用反比例函數(shù)圖象求出函數(shù)的值域．【解答】解法一：y==﹣1．∵1+x2≥1，∴0＜≤2．∴﹣1＜y≤1．解法二：由y=，得x2=．∵x2≥0，∴≥0，解得﹣1＜y≤1．故選B【點(diǎn)評(píng)】此類分式函數(shù)的值域通常采用逆求法、分離變量法，應(yīng)注意理解并加以運(yùn)用．解法三：令x=tanθ（﹣＜θ＜），則y==cos2θ．∵﹣π＜2θ＜π，∴﹣1＜cos2θ≤1，即﹣1＜y≤1．3.已知集合,集合,則

(

)

參考答案：C略4.設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（﹣3）=0，則f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，得到函（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，利用f（﹣3）=0，得f（3）=0，然后解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，f（﹣3）=0，∴f（﹣3）=﹣f（3）=0，解f（3）=0．∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f（x）＜0．當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）＞0，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，f（x）＞0．當(dāng)x＜﹣3時(shí)，f（x）＜0，則不等式f（x）＜0的解是0＜x＜3或x＜﹣3．故選：B．5.已知三點(diǎn)A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直線上，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．1 B．4 C．3 D．不確定參考答案：C【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線．【專題】計(jì)算題．【分析】三點(diǎn)A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直線上，由AB的斜率和AC的斜率相等，求出實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：∵三點(diǎn)A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直線上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即=，∴a=3，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，任意兩點(diǎn)連線的斜率都相等．6.在等差數(shù)列中，，，則公差（）．A．2 B．3 C．－2 D．－3參考答案：D解：設(shè)，，∴．故選：．7.已知線段的長(zhǎng)為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，其中（如圖）則這個(gè)梯形的周長(zhǎng)的最大值為是(

)A．

B．

C．

D．以上都不對(duì)參考答案：B8.已知數(shù)列：，中，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）；A． 20 B．18 C．16 D．14參考答案：B9.“x+y=3”是“x=1且y=2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也必要條件參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)x=0，y=3時(shí)，滿足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立，若x=1且y=2，則x+y=3成立，即必要性成立，即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分條件，故選：B10.設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分別從拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，f（0）的符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．拋物線開口向下，∴a＜0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＞0，此時(shí)對(duì)稱軸x=＞0，與圖象不對(duì)應(yīng)．B．拋物線開口向下，∴a＜0，又f（0）=c＞0．∵abc＞0，∴b＜0，此時(shí)對(duì)稱軸x=＜0，與圖象不對(duì)應(yīng)．C．拋物線開口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此時(shí)對(duì)稱軸x=＞0，與圖象不對(duì)應(yīng)．D．拋物線開口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此時(shí)對(duì)稱軸x=＞0，與圖象對(duì)應(yīng)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要從拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，以及f（0），幾個(gè)方面進(jìn)行研究．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍為

。參考答案：12.設(shè)x<1，則函數(shù)y=2－－x的最小值為

.參考答案：513.若，則=

．參考答案：4037【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】先求出f（）+f（x）=2，由此能求出的值．【解答】解：∵，∴f（）+f（x）=+==2，∴=2018×2+f（1）=4036+=4037．故答案為：4037．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量，，若，則實(shí)數(shù)k的值為________.參考答案：【分析】由題意得，且，，由=，解得即可.【詳解】已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以，得，若解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，則A∩B等于．參考答案：{x|2＜x＜3}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】找出集合A和B中x范圍的公共部分，即可確定出兩集合的交集．【解答】解：∵A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案為：{x|2＜x＜3}16.已知函數(shù)y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（其坐標(biāo)與a無關(guān)），則定點(diǎn)A的坐標(biāo)為

．參考答案：（﹣2，﹣1）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們易得指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過（0，1）點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，我們易求出平移量，進(jìn)而可以得到函數(shù)圖象平移后恒過的點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】解：由指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過（0，1）點(diǎn)而要得到函數(shù)y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的圖象，可將指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象向左平移兩個(gè)單位，再向下平移兩個(gè)單位．則（0，1）點(diǎn)平移后得到（﹣2，﹣1）點(diǎn)故答案為：（﹣2，﹣1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的解析式，結(jié)合函數(shù)圖象平移變換法則，求出平移量是解答本題的關(guān)鍵．17.已知函數(shù),若時(shí)，恒成立，求的取值范圍_________________________參考答案：[-7，2]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）函數(shù)的圖象如右圖；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間是及（2）作出直線，函數(shù)恰有3個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同公共點(diǎn)。由函數(shù)的圖象易知：略19.已知集合A＝｛x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R｝．（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并求出這個(gè)元素；（2）若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．參考答案：

解析：（1）a＝0，x＝－或a＝1，x＝－1；（2）a≥1或a＝0．20.（1）已知，，其中，，求cos（α+β）；（2）已知，，且，求β的值．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，sin（α﹣β）的值，進(jìn)而利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解sinβ的值，結(jié)合范圍可求β的值．【解答】解：（1）∵，，，，∴，，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=．（2）∵，，∴，∵，，∴，∴，∴sinβ=sin（α﹣（α﹣β））=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=，∴．21.設(shè)向量。（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值。參考答案：解：（1）由，得，得；

（4