二年級數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項和

人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第二章

2.3.2等差數(shù)列的前n項和(2)學(xué)習(xí)目標1.進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；3.會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值.創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題等差數(shù)列前n項和公式在兩個求和公式中,共有五個元素,只要知道其中三個元素,結(jié)合通項公式就可求出另兩個元素.公式的推證用的是倒序相加法互動交流研討新知已知數(shù)列{an}的前n項和為，求該數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差分別是什么？解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)當(dāng)n=1時，①∴a1也滿足①式∴當(dāng)n>1時，所以數(shù)列{an}的通項公式為:若已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，則該數(shù)列的通項公式為S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=練習(xí)：（1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.注意：(1)這種做法適用于所有數(shù)列；

(2)用這種方法求通項需檢驗a1是否滿足an.

若是，則an=Sn-Sn-1結(jié)論1

1.將等差數(shù)列前n項和公式看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當(dāng)d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令探究2.若數(shù)列{an}的前n項和是Sn＝pn2＋qn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若Sn＝pn2＋qn＋r呢？不一定。當(dāng)且僅當(dāng)r=0時，是。結(jié)論2{an}是等差數(shù)列Sn＝pn2＋qn.質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維例1.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”的工程通知》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”小學(xué)工程校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”的總目標:從2001年起用10年的時間,在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?例2.己知一個等差數(shù)列｛an｝前10項的和是310,前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎?

解：由題意知

得所以②②-①，得代入①得：所以有則例3.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.例3.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得求等差數(shù)列前n項的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號①當(dāng)a1>0,d<0時,數(shù)列前面有若干項為正,此時所有正項的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時,數(shù)列前面有若干項為負,此時所有負項的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.例4．己知等差數(shù)列

5,4,3,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的項數(shù)n的值.解:由題意知,等差數(shù)列5,4,3,…的公差為,所以sn=[2×5+(n-1)()]==

(n-)2+

鞏固深化，反饋矯正1.已知數(shù)列{an}的通項為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C2.已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值.歸納整理，整體認識利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值的方法：方法1:由利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號①當(dāng)a1>0,d<0時,數(shù)列前面有若干項為正,此時所有正項的和為Sn的最大值,其n的值由an≥