二年級(jí)數(shù)學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第二章

2.3.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問題；3.會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值.創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在兩個(gè)求和公式中,共有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.公式的推證用的是倒序相加法互動(dòng)交流研討新知已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)當(dāng)n=1時(shí)，①∴a1也滿足①式∴當(dāng)n>1時(shí)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:若已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an=練習(xí)：（1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.注意：(1)這種做法適用于所有數(shù)列；

(2)用這種方法求通項(xiàng)需檢驗(yàn)a1是否滿足an.

若是，則an=Sn-Sn-1結(jié)論1

1.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？當(dāng)d≠0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令探究2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn＝pn2＋qn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若Sn＝pn2＋qn＋r呢？不一定。當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)，是。結(jié)論2{an}是等差數(shù)列Sn＝pn2＋qn.質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維例1.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”的工程通知》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”小學(xué)工程校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”的總目標(biāo):從2001年起用10年的時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少?例2.己知一個(gè)等差數(shù)列｛an｝前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎?

解：由題意知

得所以②②-①，得代入①得：所以有則例3.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.例3.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.例4．己知等差數(shù)列

5,4,3,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的項(xiàng)數(shù)n的值.解:由題意知,等差數(shù)列5,4,3,…的公差為,所以sn=[2×5+(n-1)()]==

(n-)2+

鞏固深化，反饋矯正1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C2.已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.歸納整理，整體認(rèn)識(shí)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式研究Sn的最值的方法：方法1:由利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值,其n的值由an≥