2022年黑龍江省哈爾濱市長春中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022年黑龍江省哈爾濱市長春中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A∵，∴，故選A．2.已知雙曲線,四點，中恰有三點在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C由雙曲線的對稱性可知，在雙曲線上，且一定不再雙曲線上，∴也在雙曲線上，∴，，∴

3.橢圓與雙曲線的離心率之積為1，則雙曲線C2的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】運用橢圓和雙曲線的離心率公式，可得關(guān)于a，b的方程，再由雙曲線的漸近線方程，即可得到結(jié)論．【詳解】橢圓中：a＝2，b＝1，所以，c＝，離心率為，設(shè)雙曲線的離心率為e則，得，雙曲線中，即，又，所以，得，雙曲線的漸近線為：，所以兩條漸近線的傾率為傾斜角分別為，.故選C.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率和漸近線方程的求法，考查運算能力，屬于易錯題．4.為了了解某校九年級1600名學(xué)生的體能情況，隨機抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（

） A．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次 B．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次 C．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人 D．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人參考答案：5.設(shè)集合A={1，2}，則滿足A∪B={1，2，3}的集合B的個數(shù)是(

)A．1 B．3 C．4 D．8參考答案：C【考點】并集及其運算．【分析】根據(jù)題意，分析可得，該問題可轉(zhuǎn)化為求集合A={1，2}的子集個數(shù)問題，再由集合的元素數(shù)目與子集數(shù)目的關(guān)系可得答案．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合A={1，2}的子集個數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有22=4個．故選擇答案C．【點評】本題考查了并集運算以及集合的子集個數(shù)問題，同時考查了等價轉(zhuǎn)化思想．6.設(shè)集合,，則等于（）A．B．C．D．參考答案：B，，所以，答案選B.7.已知命題，使得；命題，若，則.下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用設(shè)備2小時，設(shè)備6小時；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用設(shè)備3小時，設(shè)備1小時.兩種設(shè)備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為（

）A．320千元

B．360千元

C．400千元

D．440千元參考答案：B9.△ABC中，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，則c：sinC等于(

) A．3：1 B．：1 C．：1 D．2：1參考答案：D考點：正弦定理．專題：計算題；三角函數(shù)的求值；解三角形．分析：運用二倍角的余弦公式以及同角的平方關(guān)系，以及正弦定理，即可得到．解答： 解：cos2B+3cos（A+C）+2=0，即有2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0，解得，cosB=（1舍去），△ABC中，則sinB=，由正弦定理，可得，==2．故選D．點評：本題考查二倍角公式的運用，考查正弦定理及運用，考查運算能力，屬于中檔題．10.已知函數(shù)的圖像在點A(1，f(1))處的切線l與直線平行，若數(shù)列的前項和為，則的值為

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知＝3，＝2．若＝－3，則與夾角的大小為

．參考答案：12.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)設(shè)P(x,y)是曲線C：(q為參數(shù))上任意一點，則的取值范圍是

.

參考答案：[－,]略13.已知兩個不同的平面和兩條不重合的直線,有下列四個命題:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,則;(4)若,則.其中正確命題的個數(shù)為____________.參考答案：1略14.已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C存在與直線平行的切線，則實數(shù)m的取值范圍是_________．參考答案：15.若函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值為4，最小值為m，則m的值是

．參考答案：或【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】按a＞1，0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論：借助f（x）的單調(diào)性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．【解答】解：①當(dāng)a＞1時，f（x）在[﹣2，1]上單調(diào)遞增，則f（x）的最大值為f（1）=a=4，最小值m=f（﹣2）=a﹣2=4﹣2=；②當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[﹣2，1]上單調(diào)遞減，則f（x）的最大值為f（﹣2）=a﹣2=4，解得a=，此時最小值m=f（1）=a=，故答案為：或．【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查分類討論思想，對指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1），當(dāng)a＞1時f（x）遞增；當(dāng)0＜a＜1時f（x）遞減．16.若a>b>c且a+b+c=0，則：①>，②>bc，③bc<,④的取值范圍是：(,1)，⑤的取值范圍是：（-2，）。上述結(jié)論中正確的是_____________.參考答案：①③④⑤略17.若實數(shù)x，y滿足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m=_________。參考答案：8先做出的區(qū)域如圖可知在三角形區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線的截距最大時，取得最小值，此時直線為，作出直線，交于點，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點取得最小值，所以直線也過點，由，得，代入得，。如圖三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為e，半焦距為c，為其上頂點，且，依次成等差數(shù)列.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e；（II）P,Q為橢圓上的兩個不同的動點，且.（i）試證直線PQ過定點M，并求出M點坐標(biāo)；（ii）是否可以為直角三角形？若是，請求出直線PQ的斜率；否則請說明理由.參考答案：19.（本題滿分12分）已知數(shù)列{}的前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前n項和．參考答案：20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，證明：.參考答案：（1）由題意，又，所以，因此在點處的切線方程為，即（2）證明：因為，所以由于等價于，令，設(shè)函數(shù)當(dāng)時，，所以，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以，所以.21.（本小題滿分10分）【選修4－1：幾何選講】如圖7，已知圓外有一點，作圓的切線，為切點，過的中點，作割線，交圓于、兩點，連接并延長，交圓于點，連交圓于點，若．（1）求證：△∽△；（2）求證：四邊形是平行四邊形．參考答案：證明：（Ⅰ）∵是圓的切線，是圓的割線，是的中點，∴

∴又∵

∴∽，∴

即∵∴∴∴∽．

…………………（5分）（Ⅱ）∵，∴，即，∴，∵∽，∴，∵是圓的切線，∴，∴，即∴∴四邊形是平行四邊形．

……………………（10分）22.（12分）橢圓的一個焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F．（Ⅰ）求該橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個焦點為F1，問拋物線y2=4x上是否存在一點M，使得M與F1關(guān)于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：綜合題．【分析】：（Ⅰ）確定拋物線y2=4x的焦點與準(zhǔn)線方程為x=﹣1，利用橢圓焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，建立方程，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)傾斜角為45°的直線l過點F，可得直線l的方程，由（Ⅰ）知橢圓的另一個焦點為F1（﹣1，0），利用M（x0，y0）與F1關(guān)于直線l對稱，可得M的坐標(biāo)，由此可得結(jié)論．解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，（2分）∴a2﹣b2=1

①（3分）又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x=﹣1所得弦長為，∴得上交點為，∴

②（4分）由①代入②得2b4﹣b2﹣1=0，解得b2=1或（舍去），從而a2=b2+1=2∴該橢圓的方程為

（6分）（Ⅱ）∵傾斜角為45°的直線l過點F，∴直線l的方程為y=x﹣1，（7