新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第25講 同構(gòu)法解零點問題與恒成立問題（解析版）

第25講同構(gòu)法解零點問題與恒成立問題1．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：方法一：由可得，設(shè)，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）．①當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，（1），此時在區(qū)間內(nèi)無零點；②當(dāng)時，（1），此時在區(qū)間內(nèi)有零點；③當(dāng)時，令，解得或1或，且，此時在單減，，單增，單減，，單增，當(dāng)或時，，此時在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點．方法二：由題意可得，即，因為當(dāng)時等號成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，所以．2．已知函數(shù)，（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇．如果多寫按第一個計分．①若恒成立，求的取值范圍；②若僅有兩個零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，則的定義域為，且，因為在處取得極值，所以，即，解得；此時，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）若選①：因為恒成立，則恒成立，整理可得恒成立，即恒成立，令，則恒成立，因為恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，即恒成立，令，，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，故，解得，所以的取值范圍為，；若選②：因為僅有兩個零點，即在上有兩個根，整理可得，即，令，則，因為恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即在上有兩個根，令，，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，即最大值，要想在上有兩個根，只需，解得，所以的取值范圍為．3．已知．（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．（2）若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．【解答】解：（1），，，所以，當(dāng)時，，所以在，單調(diào)遞增，又因為，所以在，上無零點；當(dāng)時，，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，所以若，即時，在，上無零點，若，即時，在，上有一個零點，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，在，上無零點，綜上當(dāng)時，在，上有一個零點；（2）由，即，即，則有，令，，則，，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，，因為關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，則方程，有兩個不同的實數(shù)解，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．4．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求的取值范圍．【解答】解析：（1）當(dāng)時，，，，顯然在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．在處取得極小值，無極大值．（2）函數(shù)有兩個零點，即有兩個解，即有兩個解，設(shè)，則，單調(diào)遞增，有兩個解，即有兩個解．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．，，當(dāng)時，．5．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點，求的取值范圍．【解答】解：（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，，可得，由于，則在上恒成立，令，，故在上單調(diào)遞增，所以只需即可，，所以，所以的取值范圍是，．（2）的定義域為，，令，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，，，故存在，使得，即，即①，兩邊取對數(shù)得②，而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，故，將①②代入上式得，化簡得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故，即的取值范圍是．6．已知函數(shù)．（1）選擇下列兩個條件之一：①；②；判斷在區(qū)間是否存在極小值點，并說明理由；（2）已知，設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）若選①：，則函數(shù)，所以，，因為單調(diào)遞增，且（1），所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則（1），故在上單調(diào)遞增，所以不存在極小值點；若選②：，則，所以，，由單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又（4），所以存在極小值點．（2）令，則，又，所以，令，故有解，設(shè)，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又（1），所以有唯一的零點，若在區(qū)間上存在零點，即在上有解，整理可得，令，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（1），所以，解得，所以的取值范圍為，．7.若對任意，恒有，求實數(shù)的最小值解析，令，則，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增．則，令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，所以，所以實數(shù)的最小值為．8.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析，令，則，所以函數(shù)為上的增函數(shù)．則原命題又等價于．由于，所以，即得．9.對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值解析．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以由，得，即恒成立．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，所以實數(shù)的最小值為．易得，所以實數(shù)的最小值