2023年全國高考新課標(biāo)3卷文科數(shù)學(xué)試題(解析版)

高考真題高三數(shù)學(xué)第5頁共5頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課標(biāo)3卷文科數(shù)學(xué)考前須知：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．答復(fù)選擇題時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。答復(fù)非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。學(xué)@科網(wǎng)一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，那么A∩B=()A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}解析：選C2．(1+i)(2-i)=()A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i解析：選D3．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出局部叫棒頭，凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭．假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，那么咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：選A4．假設(shè)sinα=eq\f(1,3)，那么cos2α=()A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9) C．-eq\f(7,9) D．-eq\f(8,9)解析：選Bcos2α=1-2sin2α=1-eq\f(1,9)=eq\f(8,9)5．假設(shè)某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，那么不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7解析：選B不用現(xiàn)金支付的概率P=1-(0.45+0.15)=0.46．函數(shù)f(x)=eq\f(tanx,1+tan2x)的最小正周期為()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2) C．π D．2π解析：選Cf(x)=eq\f(tanx,1+tan2x)=eq\f(1,2)sin2x7．以下函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對稱的是()A．y=ln(1-x) B．y=ln(2-x) C．y=ln(1+x) D．y=ln(2+x)解析：選BM(x,y)在y=lnx圖象上，那么N(2-x,y)在y=lnx關(guān)于x=1對稱的函數(shù)圖象上。8．直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上，那么ΔABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8] C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]解析：選A，線心距d=2eq\r(2),P到直線的最大距離為3eq\r(2)，最小距離為eq\r(2)，|AB|=2eq\r(2),Smin=2,Smax=69．函數(shù)y=-x4+x2+2的圖像大致為()解析：選D原函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)t=x2，t≥0，f(t)=-t2+t+2,應(yīng)選D10．雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(2)，那么點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A．eq\r(2) B．2 C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：選Dc2=2a2,那么b=a，漸近線方程為x+y=0,由點(diǎn)到直線距離公式得d=2eq\r(2)11．ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)ΔABC的面積為eq\f(a2+b2-c2,4)，那么C=()A．eq\f(π,2) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)解析：選Ca2+b2-c2=2abcosC,S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(a2+b2-c2,4)=eq\f(1,2)abcosCtanC=112．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ΔABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，那么三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3) C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)解析：選B，ΔABC的邊長為a=6,ΔABC的高為3eq\r(3)，球心O到ΔABC的距離=eq\r(42-(2eq\r(3))2)=2,當(dāng)D到ΔABC的距離為R+2=6時(shí)，D-ABC體積的最大，最大值=eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6=18eq\r(3)二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分．13．向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)．假設(shè)c//(2a+b)，那么λ=________．解析：2a+b=(4,2),c//(2a+b)那么4λ=2，λ=eq\f(1,2)14．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其效勞的評價(jià)有較大差異．為了解客戶的評價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，那么最適宜的抽樣方法是________．解析：分層抽樣15．假設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al\co2(2x+y+3≥0,,x-2y+4≥0,,x-2≤0,)),那么z=x+eq\f(1,3)y的最大值是________．解析：316．函數(shù)f(x)=ln(eq\r(1-x2)-x)+1，f(a)=4，那么f(-a)=________．解析：設(shè)g(x)=ln(eq\r(1-x2)-x),g(x)為奇函數(shù)，f(a)=g(a)+1,f(-a)=g(-a)+1,相加可得f(-a)=-2三、解答題：共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．學(xué)科&網(wǎng)〔一〕必考題：共60分．17．〔12分〕等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．〔1〕求{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．假設(shè)Sm=63，求m．解：〔1〕設(shè){an}的公比為q，由得q4=4q2，解得q=0〔舍去〕，q=-2或q=2．故an=(-2)n-1或an=2n-1．〔2〕假設(shè)an=(-2)n-1，那么Sm=eq\f(1-(-2)m,3)．由Sm=63得(-2)m=-188，此方程沒有正整數(shù)解．假設(shè)an=2n-1，那么Sm=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．綜上，m=6．18．〔12分〕某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比擬兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間〔單位：min〕繪制了如下莖葉圖：〔1〕根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；〔2〕求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式〔3〕根據(jù)〔2〕中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d))，臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解：〔1〕第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：〔i〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔ii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73．5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iii〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．〔iv〕由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．※以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．〔2〕由莖葉圖知m=eq\f(79+81,2)=80．列聯(lián)表如下：超過80不超過80第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515〔3〕由于K2=eq\f(40(15×15-5×5)2,20×20×20×20)=10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．19．〔12分〕如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up6(?))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up6(?))上異于C，D的點(diǎn)．〔1〕證明：平面AMD⊥平面BMC；〔2〕在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC//平面PBD？說明理由．解：〔1〕由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．〔2〕當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．20．〔12分〕斜率為k的直線l與橢圓C:eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點(diǎn)．線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0)．〔1〕證明：k<-eq\f(1,2)；〔2〕設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且eq\o(FP,\s\up5(→))+eq\o(FA,\s\up5(→))+eq\o(FB,\s\up5(→))=0．證明：2|eq\o(FP,\s\up5(→))|=|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|．解：〔1〕設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么eq\f(x12,4)＋eq\f(y12,3)＝1，eq\f(x22,4)＋eq\f(y22,3)＝1．兩式相減，并由k=eq\f(y1-y2,x1-x2)得eq\f(x1+x2,4)+eq\f(y1+y2,3)k=0由題設(shè)知eq\f(x1+x2,2)=1，eq\f(y1+y2,2)=m，于是k=-eq\f(3,4m)．①由題設(shè)得0<m<eq\f(3,2)，故k<-eq\f(1,2)．〔2〕由題意得F(1,0)，設(shè)P(x3,y3)，那么(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)由〔1〕及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m<0．又點(diǎn)P在C上，所以m=eq\f(3,4)，從而P(1,-eq\f(3,2))，|eq\o(FP,\s\up5(→))|=eq\f(3,2)．于是|eq\o(FA,\s\up5(→))|=eq\r((x1-1)2+y12)=eq\r((x1-1)2+3(1-\f(x12,4)))=2-eq\f(x1,2)同理|eq\o(FB,\s\up5(→))|=2-eq\f(x2,2)．所以|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|=3．故2|eq\o(FP,\s\up5(→))|=|eq\o(FA,\s\up5(→))|+|eq\o(FB,\s\up5(→))|，21．〔12分〕函數(shù)f(x)=eq\f(ax2+x-1,ex)．〔1〕求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；〔2〕證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)+e≥0．解：〔1〕f′(x)=eq\f(-ax2+(2a-1)x+2,ex)，f′(0)=2，．因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0．〔2〕當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)+e=eq\f(ax2+x-1,ex)+e=eq\f(ax2+x-1+ex+1,ex)≥eq\f(x2+x-1+ex+1,ex)．令g(x)=x2+x-1+ex+1,，那么g′(x)=2x+1+ex+1．且，g′(-1)=0當(dāng)x<-1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>-1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)≥g(-1)=0．因此f(x)+e≥0．〔二〕選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=cosθ,y=sinθ))〔θ為參數(shù)〕，過點(diǎn)(0,-eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點(diǎn)．〔1〕求α的取值范圍；〔2〕求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．解：〔1〕⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1．當(dāng)α=eq\f(π,2)時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)．當(dāng)α=eq\f(π,2)時(shí)，記tanα=k，那么l的方程為y=kx-eq\r(2)．l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)|eq\f(\r(2),\r(1+k2))|<1，解得k<-1或k>1，即α∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2))或α∈(eq\f(π,2),eq\f(3π,4))．綜上，α的取值范圍是(eq\f(π,4),eq\f(3π,4))．〔2〕l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4