2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅱ)【史上最全解析】

第20頁〔共20頁〕2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)Ⅱ〕一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．〔5分〕=〔〕A．i B． C． D．2．〔5分〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，那么A中元素的個數(shù)為〔〕A．9 B．8 C．5 D．43．〔5分〕函數(shù)f〔x〕=的圖象大致為〔〕A． B． C． D．4．〔5分〕向量，滿足||=1，=﹣1，那么?〔2〕=〔〕A．4 B．3 C．2 D．05．〔5分〕雙曲線=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．〔5分〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，那么AB=〔〕A．4 B． C． D．27．〔5分〕為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入〔〕A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+48．〔5分〕我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕A． B． C． D．9．〔5分〕在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為〔〕A． B． C． D．10．〔5分〕假設(shè)f〔x〕=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，那么a的最大值是〔〕A． B． C． D．π11．〔5分〕f〔x〕是定義域為〔﹣∞，+∞〕的奇函數(shù)，滿足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，假設(shè)f〔1〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=〔〕A．﹣50 B．0 C．2 D．5012．〔5分〕F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，那么C的離心率為〔〕A． B． C． D．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．〔5分〕曲線y=2ln〔x+1〕在點〔0，0〕處的切線方程為．14．〔5分〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=x+y的最大值為．15．〔5分〕sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，那么sin〔α+β〕=．16．〔5分〕圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)△SAB的面積為5，那么該圓錐的側(cè)面積為．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答?！惨?必考題：共60分。17．〔12分〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=﹣7，S3=﹣15．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕求Sn，并求Sn的最小值．18．〔12分〕如圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1，2，…，17〕建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1，2，…，7〕建立模型②：=99+17.5t．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．19．〔12分〕設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k〔k＞0〕的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．〔12分〕如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；〔2〕假設(shè)點M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．21．〔12分〕函數(shù)f〔x〕=ex﹣ax2．〔1〕假設(shè)a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f〔x〕≥1；〔2〕假設(shè)f〔x〕在〔0，+∞〕只有一個零點，求a．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．〔10分〕在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，〔θ為參數(shù)〕，直線l的參數(shù)方程為，〔t為參數(shù)〕．〔1〕求C和l的直角坐標(biāo)方程；〔2〕假設(shè)曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為〔1，2〕，求l的斜率．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f〔x〕=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．〔1〕當(dāng)a=1時，求不等式f〔x〕≥0的解集；〔2〕假設(shè)f〔x〕≤1，求a的取值范圍．2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔新課標(biāo)Ⅱ〕參考答案與試題解析一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．〔5分〕=〔〕A．i B． C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法那么化簡求解即可．【解答】解：==+．應(yīng)選：D．【點評】此題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是根本知識的考查．2．〔5分〕集合A={〔x，y〕|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z〕，那么A中元素的個數(shù)為〔〕A．9 B．8 C．5 D．4【分析】分別令x=﹣1，0，1，進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)x=﹣1時，y2≤2，得y=﹣1，0，1，當(dāng)x=0時，y2≤3，得y=﹣1，0，1，當(dāng)x=1時，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9個，應(yīng)選：A．【點評】此題主要考查集合元素個數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決此題的關(guān)鍵．3．〔5分〕函數(shù)f〔x〕=的圖象大致為〔〕A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：函數(shù)f〔﹣x〕==﹣=﹣f〔x〕，那么函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A，當(dāng)x=1時，f〔1〕=e﹣＞0，排除D．當(dāng)x→+∞時，f〔x〕→+∞，排除C，應(yīng)選：B．【點評】此題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進(jìn)行排除是解決此題的關(guān)鍵．4．〔5分〕向量，滿足||=1，=﹣1，那么?〔2〕=〔〕A．4 B．3 C．2 D．0【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：向量，滿足||=1，=﹣1，那么?〔2〕=2﹣=2+1=3，應(yīng)選：B．【點評】此題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于根底題5．〔5分〕雙曲線=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么其漸近線方程為〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a，b，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的離心率為e==，那么=====，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，應(yīng)選：A．【點評】此題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決此題的關(guān)鍵．6．〔5分〕在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，那么AB=〔〕A．4 B． C． D．2【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，那么AB====4．應(yīng)選：A．【點評】此題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計算能力．7．〔5分〕為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計了如圖的程序框圖，那么在空白框中應(yīng)填入〔〕A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的S=N﹣T，由此知空白處應(yīng)填入的條件．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后輸出的是S=N﹣T=〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕；累加步長是2，那么在空白處應(yīng)填入i=i+2．應(yīng)選：B．【點評】此題考查了循環(huán)程序的應(yīng)用問題，是根底題．8．〔5分〕我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有=45種，和等于30的有〔7，23〕，〔11，19〕，〔13，17〕，共3種，那么對應(yīng)的概率P==，應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查古典概型的概率的計算，求出不超過30的素數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．9．〔5分〕在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為〔〕A． B． C． D．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A〔1，0，0〕，D1〔0，0，〕，D〔0，0，0〕，B1〔1，1，〕，=〔﹣1，0，〕，=〔1，1，〕，設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，那么cosθ===，∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．應(yīng)選：C．【點評】此題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等根底知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是根底題．10．〔5分〕假設(shè)f〔x〕=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，那么a的最大值是〔〕A． B． C． D．π【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f〔x〕，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f〔x〕的一個減區(qū)間為[，]，結(jié)合條件即可求出a的最大值．【解答】解：f〔x〕=cosx﹣sinx=﹣〔sinx﹣cosx〕=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f〔x〕的一個減區(qū)間為[，]，由f〔x〕在[﹣a，a]是減函數(shù)，得，∴．那么a的最大值是．應(yīng)選：A．【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于根本知識的考查，是根底題．11．〔5分〕f〔x〕是定義域為〔﹣∞，+∞〕的奇函數(shù)，滿足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，假設(shè)f〔1〕=2，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=〔〕A．﹣50 B．0 C．2 D．50【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f〔x〕是奇函數(shù)，且f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，∴f〔1﹣x〕=f〔1+x〕=﹣f〔x﹣1〕，f〔0〕=0，那么f〔x+2〕=﹣f〔x〕，那么f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=f〔x〕，即函數(shù)f〔x〕是周期為4的周期函數(shù)，∵f〔1〕=2，∴f〔2〕=f〔0〕=0，f〔3〕=f〔1﹣2〕=f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=﹣2，f〔4〕=f〔0〕=0，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+f〔4〕=2+0﹣2+0=0，那么f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔50〕=12[f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+f〔4〕]+f〔49〕+f〔50〕=f〔1〕+f〔2〕=2+0=2，應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決此題的關(guān)鍵．12．〔5分〕F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，那么C的離心率為〔〕A． B． C． D．【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A〔﹣a，0〕，F(xiàn)1〔﹣c，0〕，F(xiàn)2〔c，0〕，直線AP的方程為：y=〔x+a〕，由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，那么P〔2c，c〕，代入直線AP：c=〔2c+a〕，整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．應(yīng)選：D．【點評】此題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．〔5分〕曲線y=2ln〔x+1〕在點〔0，0〕處的切線方程為y=2x．【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=2ln〔x+1〕，∴y′=，當(dāng)x=0時，y′=2，∴曲線y=2ln〔x+1〕在點〔0，0〕處的切線方程為y=2x．故答案為：y=2x．【點評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等根底知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于根底題．14．〔5分〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=x+y的最大值為9．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過A時，z取得最大值，由，解得A〔5，4〕，目標(biāo)函數(shù)有最大值，為z=9．故答案為：9．【點評】此題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．〔5分〕sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，那么sin〔α+β〕=．【分析】把等式兩邊平方化簡可得2+2〔sinαcosβ+cosαsinβ〕=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡為2sin〔α+β〕=﹣1，可得結(jié)果．【解答】解：sinα+cosβ=l，兩邊平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，兩邊平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2〔sinαcosβ+cosαsinβ〕=1，即2+2sin〔α+β〕=1，∴2sin〔α+β〕=﹣1．∴sin〔α+β〕=．故答案為：．【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于根本知識的考查，是根底題．16．〔5分〕圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)△SAB的面積為5，那么該圓錐的側(cè)面積為40π．【分析】利用條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積．【解答】解：圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sin∠AMB==．△SAB的面積為5，可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2．那么該圓錐的側(cè)面積：π=40π．故答案為：40π．【點評】此題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答?！惨?必考題：共60分。17．〔12分〕記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1=﹣7，S3=﹣15．〔1〕求{an}的通項公式；〔2〕求Sn，并求Sn的最小值．【分析】〔1〕根據(jù)a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差數(shù)列{an}的公差，然后求出an即可；〔2〕由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn===n2﹣8n=〔n﹣4〕2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：〔1〕∵等差數(shù)列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴an=﹣7+2〔n﹣1〕=2n﹣9；〔2〕∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，∴Sn===n2﹣8n=〔n﹣4〕2﹣16，∴當(dāng)n=4時，前n項的和Sn取得最小值為﹣16．【點評】此題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題．18．〔12分〕如圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境根底設(shè)施投資額y〔單位：億元〕的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1，2，…，17〕建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)〔時間變量t的值依次為1，2，…，7〕建立模型②：=99+17.5t．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值；〔2〕你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．【分析】〔1〕根據(jù)模型①計算t=19時的值，根據(jù)模型②計算t=9時的值即可；〔2〕從總體數(shù)據(jù)和2000年到2023年間遞增幅度以及2023年到2023年間遞增的幅度比擬，即可得出模型②的預(yù)測值更可靠些．【解答】解：〔1〕根據(jù)模型①：=﹣30.4+13.5t，計算t=19時，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用這個模型，求出該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值是226.1億元；根據(jù)模型②：=99+17.5t，計算t=9時，=99+17.5×9=256.5；．利用這個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額的預(yù)測值是256.5億元；〔2〕模型②得到的預(yù)測值更可靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2023年的環(huán)境根底設(shè)施投資額是逐年上升的，而從2000年到2023年間遞增的幅度較小些，從2023年到2023年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型②的預(yù)測值更可靠些．【點評】此題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是根底題．19．〔12分〕設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k〔k＞0〕的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【分析】〔1〕方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；〔2〕根據(jù)過A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程．【解答】解：〔1〕方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F〔1，0〕，當(dāng)直線的斜率不存在時，|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k〔x﹣1〕，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，整理得：k2x2﹣2〔k2+2〕x+k2=0，那么x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，那么k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F〔1，0〕，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，那么直線的斜率k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；〔2〕過A，B分別向準(zhǔn)線x=﹣1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點為D，過D作DD1⊥準(zhǔn)線l，垂足為D，那么|DD1|=〔|AA1|+|BB1|〕由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，那么r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=﹣1相切，且該圓的圓心為AB的中點D，由〔1〕可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，那么D〔3，2〕，過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=16．．【點評】此題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題．20．〔12分〕如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．〔1〕證明：PO⊥平面ABC；〔2〕假設(shè)點M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．【分析】〔1〕利用線面垂直的判定定理證明PO⊥AC，PO⊥OB即可；〔2〕根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．【解答】〔1〕證明：連接BO，∵AB=BC=2，O是AC的中點，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，那么PB2=PO2+BO2，那么PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；〔2〕建立以O(shè)坐標(biāo)原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：A〔0，﹣2，0〕，P〔0，0，2〕，C〔0，2，0〕，B〔2，0，0〕，=〔﹣2，2，0〕，設(shè)=λ=〔﹣2λ，2λ，0〕，0＜λ＜1那么=﹣=〔﹣2λ，2λ，0〕﹣〔﹣2，﹣2，0〕=〔2﹣2λ，2λ+2，0〕，那么平面PAC的法向量為=〔1，0，0〕，設(shè)平面MPA的法向量為=〔x，y，z〕，那么=〔0，﹣2，﹣2〕，那么?=﹣2y﹣2z=0，?=〔2﹣2λ〕x+〔2λ+2〕y=0令z=1，那么y=﹣，x=，即=〔，﹣，1〕，∵二面角M﹣PA﹣C為30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3〔舍〕，那么平面MPA的法向量=〔2，﹣，1〕，=〔0，2，﹣2〕，PC與平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【點評】此題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角，線面角的求解，建立坐標(biāo)系求出點的坐標(biāo)，利用向量法是解決此題的關(guān)鍵．21．〔12分〕函數(shù)f〔x〕=ex﹣ax2．〔1〕假設(shè)a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f〔x〕≥1；〔2〕假設(shè)f〔x〕在〔0，+∞〕只有一個零點，求a．【分析】〔1〕通過兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，〔2〕別離參數(shù)可得a=在〔0，+∞〕只有一個根，即函數(shù)y=a與G〔x〕=的圖象在〔0，+∞〕只有一個交點．結(jié)合圖象即可求得a．【解答】證明：〔1〕當(dāng)a=1時，函數(shù)f〔x〕=ex﹣x2．那么f′〔x〕=ex﹣2x，令g〔x〕=ex﹣2x，那么g′〔x〕=ex﹣2，令g′〔x〕=0，得x=ln2．當(dāng)x∈〔0，ln2〕時，g′〔x〕＜0，當(dāng)x∈〔ln2，+∞〕時，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕≥g〔ln2〕=eln2﹣2?ln2=2﹣2ln2＞0，∴f〔x〕在[0，+∞〕單調(diào)遞增，∴f〔x〕≥f〔0〕=1，解：〔2〕，f〔x〕在〔0，+∞〕只有一個零點?方程ex﹣ax2=0在〔0，+∞〕只有一個根，?a=在〔0，+∞〕只有一個根，即函數(shù)y=a與G〔x〕=的圖象在〔0，+∞〕只有一個交點．G，當(dāng)x∈〔0，2〕時，G′〔x〕＜0，當(dāng)∈〔2，+∞〕時，G′〔x〕＞0，∴G〔x〕在〔0，2〕遞減，在〔2，+∞〕遞增，當(dāng)→0時