EMF邊值問題初步分界面上的邊界條件

會計學(xué)1EMF邊值問題初步分界面上的邊界條件靜電場中的電介質(zhì)什么是電偶極子？電偶極矩的大??？方向？如何解釋電介質(zhì)對靜電場的影響？極化電荷面密度極化電荷體密度第1頁/共28頁各向同性？線性？均勻電介質(zhì)？電場強度和電位移矢量之間的本構(gòu)關(guān)系是？高斯通量定理的積分形式？微分形式？高斯通量定理適用于任何電荷發(fā)布的情況？為何引入電位Ф？(√)第2頁/共28頁【微分形式】A)靜電場的基本方程10.1邊值問題初步【積分形式】【本構(gòu)關(guān)系】（線性，各向同性媒質(zhì)）靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。第3頁/共28頁B)Possion方程和Laplace方程【Laplace方程】在直角坐標(biāo)系中：【Possion方程】在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：第4頁/共28頁計算方法第5頁/共28頁C)一維泊松方程的解在靜電場中，一般求解以下各類問題：1）給定電場分布，要求電荷分布。在許多實際問題中，只有那些電荷分布具有某種對稱性，并且沒有邊界或有邊界，邊界也具有相似的對稱性的簡單問題才可用直接積分或高斯通量定理求解。在工程應(yīng)用中，許多電場總是要用間接方法求解。常遇場區(qū)域有限，在區(qū)域內(nèi)可能有電荷分布，也可能沒有電荷分布，而在區(qū)域的邊界上場量要受到某種邊界條件限制的問題。像這一類在給定邊界條件下求解場域內(nèi)的場（一定邊界條件下微分方程的解）的問題，稱為邊值問題。2）給定在有限區(qū)域內(nèi)的電荷分布，場域為無限大內(nèi)，且電介質(zhì)是均勻、線性和各向同性的，要求電場強度。第6頁/共28頁邊值問題第7頁/共28頁邊值問題求解方法第8頁/共28頁

泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)?！纠?】列出求解區(qū)域的微分方程圖1.4.1三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場第9頁/共28頁【例2-9】

已知導(dǎo)體球的電位為（無窮遠(yuǎn)處的電位為0)U，球的半徑為a，求球外的電位函數(shù)。解球外的電位滿足拉普拉斯方程，且電場具有球面對稱性，

第10頁/共28頁【例2-10】兩無限大平行板電極，板間距離為d，電壓為U0

，并充滿密度為0x/d

的體電荷。求板間電場強度和極板面上的電荷面密度。解

據(jù)題意，已知條件可表述為

比較例2-7第11頁/共28頁10.2靜電場的邊界條件(B.C.，BoundaryCondition)當(dāng)靜電場中有媒質(zhì)存在時，媒質(zhì)與電場相互作用（如極化等），使在介質(zhì)（dielectric）中的不均勻處出現(xiàn)束縛電荷，在導(dǎo)體（conductor）表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷。這些束縛電荷及感應(yīng)電荷又產(chǎn)生電場，從而改變了原來電場的分布。在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，束縛電荷和感應(yīng)電荷使分界面兩側(cè)的電場出現(xiàn)不連續(xù)。由于媒質(zhì)的特性不同，引起場量在兩種媒質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊界條件。介質(zhì)1介質(zhì)2r1r2r3r4

0

2

1金屬邊界第12頁/共28頁微分方程反映了空間點上靜電場的特性。但是，它們只適合于場函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)的情形。對于有媒質(zhì)突變的問題，場函數(shù)不再是連續(xù)可導(dǎo)，因此場方程的微分形式不再適用。有時研究的問題是有界的，在邊界上，場方程的微分形式也不再適用研究邊界問題的方法是從場方程的積分形式出發(fā)，因為積分形式的方程不受邊界約束。第13頁/共28頁

以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。1)、電位移矢量D的邊界條件分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時，D

的法向分量連續(xù)。則有

根據(jù)

是分界面上的自由電荷，an為分界面的法線方向單位矢量由介質(zhì)2指向介質(zhì)1。對于分界面兩側(cè)，得hSD1D2

2

1anP第14頁/共28頁對于各向同性的線性介質(zhì)，得

此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場強度的法向分量不連續(xù)的。還可導(dǎo)出邊界上束縛電荷與電場強度法向分量的關(guān)系為可見，在介質(zhì)分界面上法向電位移和電場強度之所以不連續(xù)是因為在分界面上分布有表面電荷。第15頁/共28頁2）、電場強度E的邊界條件

以點P作為觀察點，作一小矩形回路（）。分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律根據(jù)則有對于各向同性的線性介質(zhì)，得利用矢量恒等式求解Seep68第16頁/共28頁

表明：（1）理想導(dǎo)體(電壁，PEW,PerfectElectricWall)是等位體，導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；

當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的邊界條件為：

介質(zhì)1E1,D1導(dǎo)體2en導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時

（2）當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上;（3）導(dǎo)體表面上任一點的D就等于該點的自由電荷密度。第17頁/共28頁

理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：n矢量代數(shù)簡潔了復(fù)雜語言的描述？第18頁/共28頁因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3）、用電位函數(shù)表示分界面上的邊界條件

設(shè)點1與點2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖1.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的邊界條件應(yīng)是如何呢？第19頁/共28頁在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律圖1.3.3分界面上E線的折射4）、理想介質(zhì)分界面上電場的方向關(guān)系第20頁/共28頁解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）

【例4】

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強度。（a）（b）圖1.3.5平行板電容器

第21頁/共28頁【例2-12】

在聚苯乙烯()與空氣的分界面兩邊，聚苯乙烯中的電場強度為2500V/m，電場方向與分界面法線的夾角是20°，如圖所示。試求：（1）空氣中電場強度與分界面法線的夾角；（2）空氣中的電場強度和電位移。（2）由，即，可得

解：第22頁/共28頁【例5】已知半徑為r1

的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為r2

的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4

，介電常數(shù)為2

，外部區(qū)域為真空，如左下圖示。試求：①各區(qū)域中的電場強度；②各個表面上的自由電荷和束縛電荷。r1r2r3r4

0

2

1解由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。第23頁/共28頁

在r<r1及r2<r<r3

區(qū)域中，因?qū)w中不可能存靜電場，所以E=0。

在r1<r<r2

區(qū)域中，由，得r1r2r3r4

0

2

1同理，在r3<r<r4區(qū)域中，求得在r>r4區(qū)域中，求得第24頁/共28頁

根據(jù)及，可以求得各個表面上的自由電荷及束縛電荷面密度分別為r1r2r3r