以往年度期末試題-08數(shù)理考題總結(jié)答案

一、集合的證明(1)S=x,yy2x2（xy)、（xyS則有y2x2y2x 令f(x2x2則f(x)40，f(x)f(xt)tf(x1)(1t)f(x2f(x)2x2t(2x21t)(2x2ty1tyy,即2x2 (xt,ytS,S證明?。▁1y1、（x2y2S則有x1y13,x2y2而x0,y0,

3,y2 2令f(x)3則f(x)

0，x0f(x)f(xt)tf(x1)(1t)f(x2f(x)3t3 t)(3)ty1tyy,3 x

xtx而xt和yt分別是x1、x2和y1、y2的線性組合，x0y0xtyt(xt,ytS,S

Ai，即集合的笛卡爾乘x1x2nAi1x1(x1,x1,...,x1),x1A,i1,2,..., x2(x2,x2,...,x2),x2A,i1,2,..., tx11t)x2tx11t)x2tx11t)x2tx11t)x2n i1根據(jù)凸集的定義， A是凸集 i i i i i i1(2)niAnia|iRaA，即集合的線性組合。證：i i i i i i1i i i i i i1x1n x2n i i i i i i1A是凸集，ta11t)a2 tx1(1t)x2tnia1(1 ia2ni[ta1(1t)a2]niiinii

i 是凸

i i i 4.1)x1x2，對于t[0,1]xttx11 xttx11t)x2,tx11t)x2t1t (2)x0xx0x 取M

M，所以二、函數(shù)凹性證明證明：設(shè)該線性函數(shù)的形式為f(x)ax 在其定義域中任取x1,f(xt)axtba[tx1(1t)x2]bt(ax1b)(1t)(ax2tf(x1)(1t)f(x2f(x)既是凹函數(shù)又是凸函數(shù)f(x)既是擬凹函數(shù)又是擬凸函數(shù)假設(shè)f(x)既是嚴格擬凹函數(shù)又是嚴格擬凸函數(shù)min[f(x1),f(x2)]f(x)max[f(x1),f(x2)]min[f(x1),f(x2)]max[f(x1),f(x2對于線性函數(shù)來說，我們可以找到x1x2時，f(x1f(x2此時min[f(x1),f(x2)]max[f(x1),f(x2 0[若a21)b0取x1,x2,顯然f(x1f(x2 2

x1x 列出f(x)的海塞矩陣H

x1

(

1 ∵,0且 D(1)x2x Dx22x22[112 x22x22(1) f(x)當(dāng)1的時候，f(x) x xx 1 列出f(x)的加邊海塞矩陣H(x)x (1)x2 x1x

22 x1x (1)x 1 1 ∵,0且 D2x22x2 (1)D D(22)x32x32 (1)2D f(x)在1（課后習(xí)題）f(x)h(tx)g[tf(x)]tgf(x)h(tx)/xif(x)/ h(tx)/ f(x)/所以，該式關(guān)于t0水平集Ly0xh(x)y0xgf(x

(1,1),t1xt(3,2 4 f(xt)(9)21f(x1)

f(x2)111( (f(x證：（必要性f是集合CxyC[0,1]f(y(1)x)f(y)(1)ff(y(1)x)f(x)

f(y)f在上式中，令0f(y)f(x)(yx)Tf由給定的條件可知，對于任意的x1,x2C，和任意的[0,1，xx1(1)x2C，這樣由方程f(y)f(x)(yx)Tf f(x1)f(x)(x1x)Tf f(x2)f(x)(x2x)Tf x2x(x1x2) f(x)f(x1)(1)f(x2f是集合C&i i

n解：(1)∵f(kx)A(kxi)i

A xiii

f(x)f(x)

n

次的齊次函數(shù)。i1(2)∵g(kx)An(kx)v/Ak

x

v/ i1 i1i i kvAnxv/kvi g(x)是v次的齊次函數(shù)。t2(x2y2(tx)2x2t2(x2y2(tx)2x2f(xy

22

∵x

x2y222xx2y2

x，

x2y222yx2y222 2x y (x2y2)2x2(x2y2)2y2(x2y2)2f(x, 證明歐拉定理的推廣：當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)Q=fK,L為r次齊次函數(shù)時，證明：KQLQ 證明∵QfK,L為r次齊次Q=fK,LLrfK,1Lrgk 其中k QLrgk Lrgk gkLr1gk rQLgkrLr1gkLrgk

rLr1gkKLr2gkQLQKLr1gkrLrgkKLr1gkrLrgk 四、無約束極值問題f6xy4fx4y7S.O.C

駐點(x*y*1,H(x) 1，D60,D23 4 f(xyf(xy駐點(x*,y*)(12f(x,y)的全局唯一最五、等式約束極值問題 解：(1)U2x1 2x 2(1)x2

0 2(1)x22(1)x H(x)

2 2(1)x2

，由于D2(1)x20 D[2(1)x2][2(1)x2]4(1)2x2x 海賽矩陣負定。效用函數(shù)U(i)是嚴格凹構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(xx(Ipxpx 1 2L2x1p

p x Ip

Ip1

；

。2 2

p1p p1pLIpxpx 1 2

x Ip 1 Ip

1

(p )2 2 (p 1)21 2 p p (1)L1qq(pqpq41 1 2L1qp

4 L1qp

4 pqpqy 1 2q*y

q* y

* 2

2

8p 1y消費者的需求函數(shù)即q1y2

q22p (2)由上可得 4u q1q2 442p12 16p1u

216p1

8p1

* 7

33

16x4y

x4y41x3y 17

x4y4

77

D x4y40，D

x2y20

U(xyB考慮點(1,1)B，由于xy

(x1)

(y1)1(x1)1(y1)1(xy2) 六、不等式約束下的靜態(tài)優(yōu)化L1p x xL 1 Lp x L LIpxpx L 1 2 在此問題中，邊際效用u1和u2均為正，因此最后不會有收入剩余，否則可以02一定為正數(shù)。因此，只需要討論兩種情形：x1 x2

1p12Lp2 Ipx 2x0，xIp p2x2 Ix1 x2

1p1Lp2 LIpxpx 1 2求得消費者需求函xIp1

xp1 x2 Ip1Lx05x05(Lpxpx 1 2L0.5x05x05p

0.5x05x05 LLpxpx 1 2(Lp1x1p2x2)(x*x*L,L

2 2 2p05p0 H(x)

0.25(2p)15(2p)0 0.25(2p)05(2p)052p 2p 2p2p 2p 2p 2

0.25(L)05(L)0 0.25(L)05(L)15 0D

L)15(L)0

L)05(L)0

2p15p150