高中數(shù)學(xué) 1.1.2、3四種命題間的相互關(guān)系精品同步導(dǎo)學(xué) 新人教A選修11

1．1.3四種命題間的相互關(guān)系1.1.2四種命題..1.了解四種命題的概念．2.認(rèn)識(shí)四種命題的結(jié)構(gòu)，會(huì)寫某命題的逆命題、否命題和逆否命題．3.認(rèn)識(shí)四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系．4.會(huì)利用命題的等價(jià)性解決問題..1.結(jié)合命題真假的判定，考查四種命題的結(jié)構(gòu)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.對(duì)條件式的結(jié)論進(jìn)行否定．(易錯(cuò)點(diǎn))3.理解四種命題的關(guān)系．(重點(diǎn))4.等價(jià)命題的應(yīng)用．(難點(diǎn))..下列語句中是命題的有

，是真命題的是

.(填序號(hào))①四邊相等的四邊形是平行四邊形；②ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程；③2是質(zhì)數(shù)嗎？④x2＋x＋1>0.①②④④.1．四種命題欄目內(nèi)容名稱定義表示形式互逆命題對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的

和

，那么這樣的兩個(gè)命題叫做

．其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；逆命題為“

”結(jié)論條件互逆命題逆命題若q，則p.欄目內(nèi)容名稱定義表示形式互否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的

和

，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；否命題為“

”互為逆否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的

和

，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；逆否命題為“若綈q，則綈p”條件的否定結(jié)論的否定否命題結(jié)論的否定條件的否定逆否命題若綈p，則綈q.2.四種命題之間的相互關(guān)系.3．四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況.原命題逆命題否命題逆否命題真真

真假

假真

假假

真假假真真真假假.(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有

的真假性．②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性

．相同關(guān)系沒有.1．命題“若p，則綈q”的逆否命題是()A．若p，則q B．若綈p，則qC．若q，則綈p D．若綈q，則綈p答案：C.2．命題“若a>2，則a>6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：若a>2，則a>6是假命題；逆命題：若a>6，則a>2是真命題；否命題：若a≤2，則a≤6是真命題；逆否命題：若a≤6，則a≤2是假命題．答案：B.3．命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為________．答案：若a≤b，則2a≤2b－1.4．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題．(1)正數(shù)的平方根不等于0；(2)當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．解析：(1)原命題：若a是正數(shù)，則a的平方根不等于0.逆命題：若a的平方根不等于0，則a是正數(shù)．否命題：若a不是正數(shù)，則a的平方根等于0.逆否命題：若a的平方根等于0，則a不是正數(shù)．.(2)原命題：若a≤2，則f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．逆命題：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a≤2.否命題：若a>2，則f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不單調(diào)遞增．逆否命題：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不單調(diào)遞增，則a>2...(2011·陜西高考)設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是()A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b

D．若|a|＝|b|，則a＝－b.解析：命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題為“若|a|＝|b|，則a＝－b”，故選D.答案：D.(1)如果直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于該平面；(2)如果x>10，那么x>0.[解題過程](1)逆命題：如果直線垂直于平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線；否命題：如果直線不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線不垂直于該平面；逆否命題：如果直線不垂直于平面，那么這條直線不垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線．.(2)逆命題：如果x>0，那么x>10；否命題：如果x≤10，那么x≤0；逆否命題：如果x≤0，那么x≤10..[題后感悟](1)寫命題的四種形式時(shí)，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題．(2)交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題．同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題．交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，得到逆否命題．.1.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若m·n＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)根；(2)“若x＝2，則x2＋x－6＝0”；(3)垂直于同一平面的兩直線平行．解析：(1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則m·n＜0.否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則m·n≥0..(2)逆命題：“若x2＋x－6＝0，則x＝2”．否命題：“若x≠2，則x2＋x－6≠0”．逆否命題：“若x2＋x－6≠0，則x≠2”．(3)原命題：若兩直線垂直于同一平面，則兩直線平行．逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個(gè)平面．否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行．逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面．.分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假．(1)若實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac；(2)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)時(shí)，loga2<0..[策略點(diǎn)睛]

.[解題過程](1)名稱命題真假原命題若實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac真逆命題若實(shí)數(shù)a，b，c滿足b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列假否命題若實(shí)數(shù)a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac假逆否命題若實(shí)數(shù)a，b，c且b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列真.(2)名稱命題真假原命題若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則loga2<0真逆命題若loga2<0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)真否命題若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則loga2≥0真逆否命題若loga2≥0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)真.[題后感悟](1)如何寫出一個(gè)命題的另外三種形式？①分清原命題的條件p和結(jié)論q；不是“若p，則q”形式時(shí)，最好改寫成“若p，則q”的形式；②“若p，則q”與“若q，則p”互逆，與“若綈p，則綈q”互否，與“若綈q，則綈p”互為逆否．(2)如何判斷四種命題的真假？互為逆否的命題同真假．特別地，一個(gè)命題的“逆命題”和“否命題”互為逆否命題．.2.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(3)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該二次函數(shù)圖象與x軸有公共點(diǎn)．.解析：(1)該命題為假．因?yàn)楫?dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2.逆命題：若ac2>bc2，則a>b，為真．否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，為真．逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，為假．(2)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，為真．否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真．.逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，為真．(3)該命題為假．∵當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無公共點(diǎn)．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2－4ac<0，為假．否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，為假．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2－4ac≥0，為假．.判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假..解答本題可先寫出已知命題的逆否命題，再利用判別式求出a的范圍，然后判斷命題的真假，另外也可利用集合的包含關(guān)系判斷．.[規(guī)范作答]方法一：原命題的逆否命題：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集.……………4分判斷真假如下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.………6分因?yàn)閍<1，所以4a－7<0.………8分即拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點(diǎn)，所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．故原命題的逆否命題為真.………12分.所以“若p，則q”的逆否命題“若綈q，則綈p”為真．即原命題的逆否命題為真.……12分.[題后感悟](1)由于原命題與其逆否命題是等價(jià)的，因此當(dāng)證明原命題感到困難或?qū)υ}不易判斷真假時(shí)，可考慮證明或判斷它的逆否命題是否成立．(2)利用逆否命題與原命題等價(jià)，可以省去否定條件和結(jié)論時(shí)的過程，簡化問題的求解．.3.證明：已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.證明：證法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，.即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．證法二：假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．這與已知條件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假設(shè)不成立，故a＋b≥0..1．正確寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題一般地用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p和q的否定，因此，若原命題為：“若p，則q”，則其逆命題為：“若q，則p”；否命題為：“若綈p，則綈q”；逆否命題為：“若綈q，則綈p”．.為了便于書寫各種命題，當(dāng)原命題不是“若p，則q”的形式時(shí)，應(yīng)先將命題寫成規(guī)范形式“若p，則q”，然后再進(jìn)行書寫．例如：寫出命題“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”的逆命題、否命題、逆否命題．由于原命題不是以“若p，則q”的形式給出，因此先把命題“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”改寫成“若函數(shù)f(x)為偶函