保角變換法求解定解問(wèn)題

保角變換法求解定解問(wèn)題第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

保角變換法解定解問(wèn)題的基本思想是：通過(guò)解析函數(shù)的變換（或映射，這部分知識(shí)在復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)）將平面上具有復(fù)雜邊界形狀的邊值問(wèn)題變換為平面上具有簡(jiǎn)單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問(wèn)題，而后一問(wèn)題的解易于求得．于是再通過(guò)逆變換就求得了原始定解問(wèn)題的解．第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

這就是本章將要介紹的一種解決數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題中的解析法――保角變換法，它是解決這類復(fù)雜邊界的最有效方法．它特別適合于分析平面場(chǎng)的問(wèn)題，例如靜電場(chǎng)的問(wèn)題，由于這種求解復(fù)雜邊界的定解問(wèn)題具有較大的實(shí)用價(jià)值，所以有必要單獨(dú)以一章的內(nèi)容進(jìn)行介紹．復(fù)變函數(shù)論中已經(jīng)系統(tǒng)介紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問(wèn)題。第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日16.1保角變換與拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的關(guān)系在復(fù)變函數(shù)論中我們已經(jīng)知道，由解析函數(shù)實(shí)現(xiàn)的從z平面到平面的變換在的點(diǎn)具有保角性質(zhì)，因此這種變換稱為保角變換．下面我們主要討論一一對(duì)應(yīng)的保角變換，即假定和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者如果它們之中有多值函數(shù)就規(guī)定取它的黎曼面的一葉．第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日定律

如果將由到的保角變換看成為二元（實(shí)變）函數(shù)的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界．我們能證明，如果程，則經(jīng)過(guò)保角變換后得到的滿足拉普拉斯方也滿足拉普拉斯方程．第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日【證明】

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

(16.1.1)同理第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

(16.1.2)兩式相加得到（）第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日利用解析函數(shù)的C-R條件

(16.1.4)以及解析函數(shù)的實(shí)部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì)

(16.1.5)將式（）和式（）代入到式（）化簡(jiǎn)后得到第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日注意到上式已經(jīng)使用了：對(duì)于保角變換因而只要滿足拉普拉斯方程，則）也滿足拉普拉斯方程，即為第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（）這樣我們就有結(jié)論：如果在平面上給定了的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題，則利用保角變換

，可以將它轉(zhuǎn)化為平面上的拉普拉斯方程邊值問(wèn)題．第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日同理可以證明，在單葉解析函數(shù)變換下，泊松方程

a)仍然變?yōu)椴此煞匠蹋╞）第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度發(fā)生了變化．同理可以證明，亥姆霍茲方程

a)經(jīng)變換后仍然變?yōu)楹ツ坊羝澐匠?/p>

b)第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日容易注意到方程要比原先復(fù)雜，且前的系數(shù)可能不是常系數(shù)．下面將舉例說(shuō)明如何通過(guò)保角變換法來(lái)求解拉普拉斯方程．

保角變換法的優(yōu)點(diǎn)不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將復(fù)雜邊界問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單邊界問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決．第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日16.2保角變換法求解定解問(wèn)題典型實(shí)例例

設(shè)有半無(wú)限平板，在邊界=0上，處保持溫度處保持溫度=0．求平板上的穩(wěn)定溫度分布．【解】根據(jù)題意可得出定解問(wèn)題第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（）作如下的保角變換．（1）作分式線性變換(16.2.2)第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日可以驗(yàn)證，考慮實(shí)軸

的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖16.1第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(i)若，則，故，即有(ii)若則或（a）首先討論的情況,考慮到題給條件則故第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（b）再考慮的情況,則故如圖16.1所示，根據(jù)(16.2.1)式中的邊界條件，對(duì)應(yīng)于處溫度為，故平面的負(fù)實(shí)軸（即）溫度保持為；而在處有，故第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日平面的正實(shí)軸溫度保持為零．（2）作變換

(16.2.3)把平面的上半平面變成平面上平行于實(shí)軸，寬為的一個(gè)帶形區(qū)域，

平面的正實(shí)軸變換為平面的實(shí)軸（正實(shí)軸輻角為零，故對(duì)應(yīng)于），

第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日平面的負(fù)實(shí)軸變換為平面的平行于實(shí)軸的直線,故對(duì)應(yīng)于）．（負(fù)實(shí)軸輻角為 于是，在變換(16.2.4)之下，定解問(wèn)題變換為

(16.2.5)第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日在這種情況下，等溫線是與實(shí)軸平行的直線=常數(shù)，熱流線則是與虛軸平行的直線

=常數(shù)．在(,)坐標(biāo)系中，由對(duì)稱性知拉普拉斯方程的解與無(wú)關(guān)，因此，定解問(wèn)題又簡(jiǎn)化為（）第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日方程的解是考慮邊界條件即得到（）回到平面，則第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

例

試求平面靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，其中（）

(16.2.9)【解】

變換使上半平面變成平面上的帶形域（圖16.2）,

然的，類似于上面定解問(wèn)題(16.2.6)的結(jié)果(16.2.7),則本定解問(wèn)題可歸結(jié)為而在帶形域上的解是顯第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

(16.2.10)圖１６．２第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日而

所以于是，作反變換便可求得所求問(wèn)題的解為進(jìn)一步討論：（1）同理可證第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日是下列定解問(wèn)題的解（說(shuō)明：這里的和下面的不代表求導(dǎo)，是指彼此不同的值）(2)同理可證是下列定解問(wèn)題的解第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日(3)可證是下列定解問(wèn)題的解：其中第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日又可改寫成（4）進(jìn)一步推廣是下列定解問(wèn)題的解第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例

若把柱面充電到第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日試用保角變換法求解一半徑為的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱殼內(nèi)的電場(chǎng)分布情況．【解】即求解定解問(wèn)題第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日

作如下的保角變換

(1)作變換

把原圖象縮小為倍．即將任意的圓周變換為單位圓．

(2)再作變換

把變換為，其邊界的變換是將下半圓周對(duì)應(yīng)于負(fù)半實(shí)軸，上半圓周對(duì)應(yīng)于正半實(shí)軸．第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D１６．３ （3）再作變換

把平面的上半平面變成平面上平行于實(shí)軸，寬為的一個(gè)帶形區(qū)域，其邊界的第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日變換是將平面的正半實(shí)軸變換為平面的實(shí)軸，平面的負(fù)半實(shí)軸變換為平面的平行于實(shí)軸的直線，如圖16.3所以，在變換之下，定解問(wèn)題變換為第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日定解問(wèn)題的解（仿上例）為將變量回