高西全-丁玉美-數(shù)字信號處理(第六章)課件

第六章無線脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1數(shù)字濾波器的基本概念濾波的目的①

為了抑制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例。②廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計(jì)。信號的檢測：確定在干擾背景中信號是否存在。信號參量的估計(jì)：為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值。濾波技術(shù)①濾波器設(shè)計(jì)：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。②濾波過程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對輸入信號進(jìn)行濾波的目的。數(shù)字濾波器：是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。優(yōu)點(diǎn)：數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。6.1數(shù)字濾波器的基本概念

分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)加性噪聲若中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的頻帶,通過一個線性系統(tǒng)可將有效去除.一、數(shù)字濾波器的分類1、經(jīng)典濾波器與現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測、自適應(yīng)濾波器乘法性噪聲卷積性噪聲信號的頻譜和噪聲的頻譜混迭在一起，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。目標(biāo)：根據(jù)隨機(jī)信號的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復(fù)信號，從而達(dá)到最佳濾波的目的。現(xiàn)代濾波器一、數(shù)字濾波器的分類2、理想濾波器的頻率響應(yīng)一、數(shù)字濾波器的分類3、本課程數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的適用對象通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器，其有用信號和干擾信號的頻譜分別在不同的頻段。用IIR或FIR系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時，系數(shù)是固定的。

如果兩者的頻譜共用同一個頻段，則需使用自適應(yīng)濾波器實(shí)現(xiàn)，它與普通濾波器不一樣的地方是，它的濾波系數(shù)是隨輸入信號的變化而變化。

一、數(shù)字濾波器的分類

設(shè)輸入為一個低頻正弦波與一個高頻正弦波疊加而成。

左邊為時域波形，右邊為它的頻譜。濾波前：濾波后：一、數(shù)字濾波器的分類二、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的頻率特性：其中：

選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。若對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況

在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差逼近0，即在過渡帶內(nèi)，幅度響應(yīng)平滑地從通帶下降到阻帶。在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差逼近1，即二、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)上述表示不是很方便，在具體的技術(shù)指標(biāo)中，往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減表示，這里的兩個指標(biāo)都是正數(shù)。定義為：二、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

這里ω=0處幅度已歸一化到1。二、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)三、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：1.間接法:

首先設(shè)計(jì)一個合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。2.直接法： 直接在頻域或者時域中進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時需要計(jì)算機(jī)作輔助設(shè)計(jì)。6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)常用模擬濾波器:

1、巴特沃斯(Butterworth)濾波器

2、切比雪夫(Chebyshev)濾波器

3、橢圓(Ellipse)濾波器一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法設(shè)計(jì)模擬濾波器時，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)|Ha(jΩ)|給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。1、四個技術(shù)指標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：p:通帶截止頻率s:阻帶截止頻率p:通帶最大衰減s:阻帶最小衰減1、四個技術(shù)指標(biāo)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2來表示，即

由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而Ha(jΩ)滿足

2、由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)

巴特沃斯逼近又稱最平幅度逼近，它具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性,且隨Ω的增大，幅頻特性隨Ω單調(diào)下降。1、原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：巴特沃斯低通濾波器幅度特性與N之間的關(guān)系二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)由圖可知：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)以s替換jΩ，將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：

二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)上式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：2N個極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓上(該圓稱為巴特沃斯圓)，間隔是π/Nrad。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個，它們分別為：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)N=4，極點(diǎn)有8個，它們分別為：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(－s)。歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)令p=s/Ωc，（p稱為歸一化復(fù)變量），則巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，以及極點(diǎn)pk，可以由表6.2.1得到。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)階數(shù)N取大于或等于N的最小整數(shù)。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)3、低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp、p、Ωs和s，求出濾波器的階數(shù)N和Ωc。(2)求出歸一化極點(diǎn)pk，及歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。(3)將Ga(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ga(p)，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)

二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)例1、已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減

p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N和Ωc

取N=5二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)或直接查表可得極點(diǎn)：－0.3090±j0.9511，－0.8090±j0.5878,－1.0000歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中,

b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361

二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)(3)去歸一化將p=s/Ωc代入Ga(p)中,得到：二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié)：①上述歸一化公式和表格是相對3dB截止頻率給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo)，利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時，最關(guān)鍵的2個參數(shù)是濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率。②

N用來求巴特沃思多項(xiàng)式，用來去歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來逼近給定的指標(biāo)，該函數(shù)具有等波紋特性。它可將指標(biāo)要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設(shè)計(jì)出的濾波器階數(shù)較低。切比雪夫低通濾波器切比雪夫Ⅰ型切比雪夫Ⅱ型：通帶等波紋、阻帶單調(diào)：通帶單調(diào)、阻帶等波紋

巴特沃斯低通濾波器的缺點(diǎn)是階次較高，原因是它的頻率特性在通帶和阻帶內(nèi)都是隨Ω的增大而單調(diào)減小，如果在通帶（阻帶）滿足指標(biāo)，則在阻帶（通帶）內(nèi)肯定有富裕量。三、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，ε愈大，波動幅度也愈大;Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式。三、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)過程：

1)根據(jù)要求的濾波器指標(biāo)確定波紋參數(shù)和階數(shù)N。

2)求歸一化傳輸函數(shù)。

3)去歸一化。將代入歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)，即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。三、切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)四、橢圓濾波器橢圓(Elliptic)濾波器允許在通帶和阻帶內(nèi)都有等間隔的波動，可進(jìn)一步減少濾波器的階次，但通帶上的相位響應(yīng)非線性失真（波形）較大。五、三種濾波器比較

濾波器幅頻特性相頻特性巴特沃斯通帶和阻帶都單減接近線性相位切比雪夫通帶或阻帶單減介于兩者之間橢圓通帶和阻帶都波動線性相位最差復(fù)雜性:

在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高，橢圓濾波器的階數(shù)最低，而且階數(shù)差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高，應(yīng)用較廣泛。

當(dāng)階數(shù)相同時，對相同的通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫Ⅱ型濾波器的通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。五、三種濾波器比較六、模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

在模擬濾波器設(shè)計(jì)手冊中，各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)公式都是針對低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:

(1)通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；

(2)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；

(3)對Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)。從s平面到z平面的映射原則

利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z)，這是一個由s平面到z平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則： （1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸應(yīng)映射到z平面的單位圓上。 （2）Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變，即s平面的左半平面應(yīng)映射到z平面的單位圓內(nèi)。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器s平面和z平面之間的映射關(guān)系

s平面用直角坐標(biāo)表示為：

z平面用極坐標(biāo)表示為：又由于所以：因此:

即：z的模只與s的實(shí)部相對應(yīng),

z的相角只與s虛部Ω相對應(yīng)。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器（1）r與σ的關(guān)系：σ=0,σ>0,σ<0,r=1,即s平面的虛軸映射到z平面單位圓上；r>1,即s平面的右半平面映射到z平面單位圓外；r<1,即s平面的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)；6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器（2）ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）

，s平面寬的水平條帶對應(yīng)ω整個z平面。Ω=0，ω=0，s平面的實(shí)軸對應(yīng)z平面正實(shí)軸；6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器

s平面寬的水平條帶，同樣對應(yīng)ω整個z平面。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器一、用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)過程是：

（1）將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，按某一變換規(guī)則轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的性能指標(biāo)。（2）如要設(shè)計(jì)的不是數(shù)字低通濾波器，則需將步驟（1）中變換得到的相應(yīng)（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通性能指標(biāo)。（3）設(shè)計(jì)一個過渡模擬低通濾波器。（4）將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類型的過渡模擬濾波器。（5）再按照轉(zhuǎn)換規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器二、脈沖響應(yīng)不變法的變換原理

已知一個滿足濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)的模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)

，先離散化ha(t)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即

從這個關(guān)系式出發(fā)，找出Ha(s)和H(z)之間的關(guān)系式。這里Ha(s)表示ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)表示h(n)的z變換，即映射關(guān)系：

z平面S平面二、脈沖響應(yīng)不變法的變換原理

數(shù)字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系：

上式說明，H(ejΩT)是Ha(jΩ)以2π/T為周期的周期延拓函數(shù)（對數(shù)字頻率，則是以2π為周期）。三、頻譜混疊三、頻譜混疊

如果模擬濾波器的頻率特性是帶限信號，帶限于折疊頻率以內(nèi)時，即才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。

如果模擬濾波器的頻率特性不是帶限信號，或采樣頻率不滿足采樣定理時將會產(chǎn)生混疊。

由于實(shí)際的模擬濾波器，其頻率響應(yīng)都不可能是真正帶限的，因而數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不可避免地存在頻譜的混疊，從而帶有一定的失真。模擬濾波器頻率響應(yīng)在折疊頻率以上衰減越大，失真越小。這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。三、頻譜混疊三、頻譜混疊四、模擬濾波器的數(shù)字化

脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)傳遞函數(shù)。設(shè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)N＞M，則可表達(dá)為部分分式形式：其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)為Ha(s)的拉普拉斯反變換：

式中si是Ha(s)的單階極點(diǎn)。在脈沖響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于ha(t)的采樣，即四、模擬濾波器的數(shù)字化對h(n)取z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：四、模擬濾波器的數(shù)字化比較兩式：

四、模擬濾波器的數(shù)字化此時，四、模擬濾波器的數(shù)字化例題例5：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。例題

五、優(yōu)缺點(diǎn)脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)。優(yōu)點(diǎn)：（1）時域逼近好；（2）如線性相位關(guān)系不變。

缺點(diǎn)：存在頻譜混疊，只適合帶限的模擬濾波器，如低通、帶通，但不適合高通、帶阻濾波器。而且對低通、帶通應(yīng)充分的帶限。6.4用雙線性變換法一、變換原理

第一步：將整個s平面壓縮到另一個s1平面的一條橫帶里，橫帶的寬度為2π/T；

第二步：再通過變換將此橫帶變換到整個z平面上去。

由此建立s平面與z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混疊現(xiàn)象。一、變換原理z平面一、變換原理

先推理s與s1之間的關(guān)系式一、變換原理從s1平面轉(zhuǎn)換到z平面，得或二、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：

缺點(diǎn)：沒有頻譜混疊。

這種非線性關(guān)系如右圖所示，表現(xiàn)為：

所以，原來是線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到的卻是非線性數(shù)字濾波器。

在零頻率附近，近似為線性關(guān)系；隨著Ω的增加，非線性關(guān)系關(guān)系越來越嚴(yán)重，造成兩者的幅頻響應(yīng)不同（有畸變）。二、優(yōu)缺點(diǎn)

所以，雙線性變換適合用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。是目前使用的最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。頻率預(yù)校正

模擬濾波器的頻率點(diǎn)與數(shù)字濾波器的頻率點(diǎn)是非線性對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)按轉(zhuǎn)換，稱為頻率預(yù)校正。二、優(yōu)缺點(diǎn)例題解：（1）預(yù)畸變校正計(jì)算相應(yīng)模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為例題（2）設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器。

計(jì)算得N=5.3056，取N=6；Ωc=0.7663rad/s

查表得Ga(p)將p=s/Ωc代入Ga(p)，去歸一化得到實(shí)際的Ha(s)為例題（3）用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z),即例題6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

對于數(shù)字高通、帶通和帶阻的設(shè)計(jì)，通用方法為雙線性變換?？梢越柚谀M濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)一個所需類型的過渡模擬濾波器，再通過雙線性變換將其轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。

具體設(shè)計(jì)步驟：

（1）確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）將所需類型數(shù)字濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類型模擬濾波器的邊界頻率，轉(zhuǎn)換公式為

（3）將相應(yīng)類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。（4）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。（5）通過頻率變換將模擬低通轉(zhuǎn)換